《梁保松《线性代数》习题二解答(本人亲自求解)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《梁保松《线性代数》习题二解答(本人亲自求解)（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章矩阵 26 习题二习题二 5.求与下列矩阵可交换的矩阵： （1） 010 001 100 ； 解 设与之可交换的矩阵为 111213 212223 313233 aaa aaa aaa ，即 111213111213 212223212223 313233313233 001001 100100 010010 aaaaaa aaaaaa aaaaaa ， 121311313233 222321111213 323331212223 aaaaaa aaaaaa aaaaaa ， 123113321133 221123122113 322133223123 , , , aaaaaa aaaa
2、aa aaaaaa 123123133221331122 ,aaaaaaaaa 令 331122123123133221 ,aaaaaaabaaac，则 111213 212223 313233 aaaabc aaacab aaabca ，, ,a b c为任意实数； 6.计算： （1） k cossin sincos ，k是正整数； 解1k时， 1 cossincossin , sincossincos 第二章矩阵 27 2k时， 2 cossincossincossincos2sin2 sincossincossincossin2cos2 ， 设1kn时， 1 cos1sin1cossin
3、 sin1cos1sincos n nn nn ， 则kn时， 1 cossincossincossin sincossincossincos cos1sin1cossin sin1cos1sincos cossin sincos nn nn nn nn nn 故 cossin sincos k kk kk cossin sincos . （2）2, 000 100 010 n n . 解2n时，原矩阵 000 000 100 ； 当3n时, 原矩阵=O. 7.判断下列命题是否正确并说明理由. （1） 22 )(BABABA； 不正确，因 22 ()()ABBAABABAB , 一般地，因AB
4、BA,则 22 ()()AB ABAB . （2）AB = O，则A= O或B = O； 第二章矩阵 28 不正确，例如，OAB 00 00 00 10 10 00 ,但 OA 10 00 ，OB 00 10 . . （3）AB = E，则A= B = E； 不正确，例如， 421 412 311 A， 113 214 124 B.满足 EBAAB （4） 2 ,AE则 AE； 不正确，例如， 1010 , 0101 A或，满足 2 ,AE （5）设A，E为n阶方阵，则)()(EAEAEAEA； 正确, 2 2 ()()()(); ()()()(). AEAEAE AAE EAE AEAEAE
5、 AAE EAE （6）若矩阵A有一行为零，则乘积矩阵AB也有一行为零； 正确, 1 12 1 1 =, m nin pp p m m A AOBBBB A ，则 11121 1 12 12 000= p m nn pip mmmp m m p ABA BABA ABOBBB A BA BA BA （7）若矩阵A有一列为零，则乘积矩阵AB也有一列为零. 第二章矩阵 29 不正确, 11121 21222 1 1 12 = p p m njnn p n nnnp n p bbb bbb AAOAB bbb ，则 11121 21222 1 12 1 11111 1 1 p p m nn pjn
6、nnnp jjnnpjjpnnp p bbb bbb ABAOA bbb AbO bA bAbO bA b 8.如果 1 () 2 AB+ E，证明 2 AA的充分必要条件是 2 BE . 2 2 222 2 2 2 11 ()() 22 111 2() 442 1111 () 4242 11 44 AAB+ EB+ E BBE + EB+ EBB+ EB+ E BB+EB+ E BE BE 证 10.对于任意方阵A，证明： （1） T A+ A 是对称矩阵， T AA 是反对称矩阵； （2）A可以表示为对称矩阵和反对称矩阵的和. 证证（1） TT TTTTT A+ AA + AAAA+ A
7、， TT TTTTT AAAAAAAA. （2） TT + 22 AAAA A 11.判断下列命题是否正确并说明理由. （1）设A，B，E为n阶方阵，则行列式0 BAA的充要条件是0A或 第二章矩阵 30 0 EB； 正确，00000ABAA EBAEBAEB或 （2）设A为1n矩阵，B为n1矩阵，则BAAB ； 不正确，AB， 都不存在。 （3）设P为可逆矩阵，若APPB 1 ，则AB ； 正确， 111 BP APBP APBP PAAAB （4）若A为n阶方阵且 1T AA ，则1A. 正确， 12 1T1T 11 AAAAAAAA 12.设A为n阶反对称矩阵，证明 2 2 ( 1)n
8、AEA+ E. 证证因A为n阶反对称矩阵，即 T AA， 2 T T T 2 ( 1)n AEAEAEAEAE AEAE AEAE AEAE AEAE AEAE A+ E 13.设A，B为n阶可逆矩阵，0k，证明： （4） *11* )()( AA； 证 * T1 TT1TT1T * ()()()()()A AA AAA AA. 第二章矩阵 31 14.A为n阶可逆矩阵，2A，计算 1 * 1 3 2 AA. 解 1 *11111 1 1 1 323264 2 4 44 2 n nn AAAA AAAA AA 16.（1）若OEAAA 23 2，证明A可逆，并求 1 A ； 解 32322 2
9、22AAAEOAAAEA AAEE， 22 221A AAEA AAE，A可逆，且 12 2 AAAE . （2）若OEAA4 2 ，证明AE可逆，并求 1 )( EA. 解 2 42222OAAEOAEAEEAEAEE 2 2 , 2 AE AEE A AEEE 1 22 AA AEEAEE，AE可逆，且 1 2 A AEE. 19.设矩阵A，B满足关系式ABAB 2，且 410 011 103 A，求矩阵B. 解222EABBAABBAABA 1 22EE ABABAA. 第二章矩阵 32 20.用分块法求AB. （1） 0011 1401 1021 2301 , 1011 0121 00
10、10 0001 BA； 解 10001032 01001201 12101041 11011100 AB 1 12 EOB AEB 1 112 B ABB （2）. 0300 2011 1501 0020 0032 , 00020 00041 22310 12101 BA 解 2300 10121 0200 01322 1051 14000 1102 02000 0030 B A 11 232 BOEA BBAO 11213 21 BABAB A BO 21.设, 2000 4200 0034 0043 Ak为正整数，求 22 , kk AA. 解 1 2 3400 4300 0024 0002 A A A, 2 2 1 2 1 2 2 2 2 k k k k k A A A A A， 第二章矩阵 33 2 2 22 211 2 1212 2 2 2 2 k k kk k k k k AA AAA A A A A。 22.用分块法求下列矩阵的逆矩阵： （1） 1400 5200 0012 0013 ； 解A
