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1、构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节本文举例归纳几种方法如下，供参考一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ） 二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓
2、住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考浙江卷)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.例3(2005年全国高考天津卷)如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_1. 解：连B1G，则A1EB1G，知B1G F就是异面直线A1E与GF所成的角在B1GF中，由余弦定理，得 cosB1GF0， 故B1G F90，应选(D)2评注：
3、本题是过异面直线FG上的一点G，作B1G，则A1EB1G，知B1G F就是所求的角，从而纳入三角形中解决解：取AE中点G, 连结GM、BGGMED，BNED，GMED，BNED GMBN，且GMBNBNMG为平行四边形，MN/BGA的射影为BAB面BCDEBEABAE45，又G为中点，BGAE即MNAEMN与AE所成角的大小等于90度故填903解：将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小，在RtPDB中，即故填点评：本题是将三棱柱补成正方体，从而将问题简化异面直线练习一、 选择题1分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ）（A）不平行的直线 （B）不相交的
4、直线（C）相交直线或平行直线 （D）既不相交又不平行直线2已知EF是异面直线a、b的共垂线，直线lEF，则l与a、b交点的个数为 （ ）（A）0 （B）1 （C）0或1 （D）0，1或23两条异面直线的距离是 （ ）（A）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B）和两条异面直线都垂直的直线（C）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D）两条直线上任意两点间的距离4设a, b, c是空间的三条直线，下面给出三个命题： 如果a, b是异面直线，b, c是异面直线，则a, c是异面直线； 如果a, b相交，b, c也相交，则a, c相交； 如果a, b共面，b, c也共面，则a, c共面上述命题中，真命题
5、的个数是 （ ）（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个ABCSEF5异面直线a、b成60，直线ca，则直线b与c所成的角的范围为 （ ）（A）30，90 （B）60，90 （C）30，60 （D）60，1206如图:正四面体SABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于 （ ）（A）90（B）45（C）60（D）30ABCDD1C1B1A1MN7在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 （ ）（A）（B）（C）（D） 8右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， BM与ED平行； C
6、N与BE是异面直线； CN与BM成角；DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）（A） （B） （C） （D）9梯形ABCD中AB/CD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是 （ ）（A）平行 （B）平行和异面 （C）平行和相交 （D）异面和相交10在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE ：EFAF ：FD1 ：4，又H、G分别为BC、CD的中点，则 （ ） （A）BD/平面EFGH且EFGH是矩形 （B）EF/平面BCD且EFGH是梯形（C）HG/平面ABD且EFGH是菱形 （D）HE/平面ADC且EFGH是平行四边形二、填空题11如
7、图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点， G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 12在四面体ABCD中，若AC与BD成60角，且ACBDa，则连接AB、BC、CD、DA的中点的四边形面积为 BACDA13在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC3，AA14，则异面直线AB1与 A1D所成的角的余弦值为 14把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，使A、C的距离等于a，如图所示，则异面直线AC和BD的距离为 三、 解答题15已知AB、BC、CD为不在同一平面内的三条线段，AB，BC，CD的中点P、
8、Q、R满足PQ2，QR，PR3，求AC与BD所成的角16已知P为ABC所在平面外的一点，PCAB，PCAB2，E、F分别为PA和BC的中点（1）求证：EF与PC是异面直线；（2）EF与PC所成的角；（3）线段EF的长17如图，AB和CD是两异面直线，BD是它们的公垂线，ABCD，M是BD的中点，N是AC的中点（1）求证：MNAC；（2）当ABCDa，BDb，ACc时，求MN的长18（如图）已知P、Q是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的面AA1D1D和A1B1C1D1的中心（1）求线段PQ的长；（2）证明：PQAA1B1B1异面直线一、复习要点1本节内容要点为：异面直线的定义和判定，异面
9、直线所成的角，异面直线的距离2异面直线的定义和判定及异面直线所成的角是频考点，也是本节的重点3要把“不同在任何一个平面内的两条直线”和“分别在两个平面内的两条直线”的含义区别开，后者不一定是异面直线4在进一步复习理解异面直线的同时，要注意把这部分内容和平面联系在一起，即和线面、面面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性5对异面直线所成的角，要注意：深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想；异面直线所成角的范围为090，故有时平移后需求其补角；解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成；应熟练掌握“平
10、移”这个通法，平移的途径有取中点、作平行线、补体（形）等；理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角6高考求异面直线的距离仅限于给出公垂线的情形例见1999年高考立体几何解答题的第2问二、例题讲解例1已知、是两两异面的三条直线，且，是、的公垂线若，那么与有何位置关系?并说明理由讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点根据本题的特点，可考虑构造正方体构造正方体-，如图7-1所示，因为AB与CC异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记、分别为、 图7-1因为与、均异面，且，注意到侧面，因此侧面内的任一直线均与垂直从图中可以看出，侧面内的和
11、均与、异面，且均与垂直，所以可记或为此时由知；由与BC异面知与为异面直线综上可知与平行或异面正方体是一个很简单且很重要的几何模型构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决下面一组题目供读者思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）A两条平行直线B两条相交直线C一条直线和直线外一点D两个点（2）在空间中，记集合M=与直线l不相交的直线，集合N=与直线l平行的直线，则M与N的关系是（）AM=NBMNCMND不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）A若ab,bc，则acB若ab,bc,则acC若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）A异面直线B相交直线C平行直线D垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-中，EF是异面直线和AC的公垂线，则直线EF和B的关系是（）图7-2异面平行相交且垂直相交且不垂直 例2在正三棱柱-中，若，则AB与所成的角的大小为（）609010575讲解：根据题设作出图形（图7-3）欲求异面直线AB与C所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1设、
