立体几何考点

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1、七彩教育网 http:/本资料来源于七彩教育网http:/ 立体几何 棱 锥（含答案解析）考试目标 主词填空1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体.2.分类：按底面边数分：三棱锥、四棱锥特例：正棱锥底面是正多边形并且顶点在底面上射影是底面中心的棱锥.3. 性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积之比等于截得棱锥的高和已知棱锥高的平方比.即(类推：).对于正棱锥：（1）各条侧棱相等；（2）各侧面是全等的等腰三角形；（3）棱锥的高和斜高及斜高在底面上的射影构成一个直角三角形；棱锥的高和侧棱的底面上的射影也构成一个直角三角形.4.侧面积和体

2、积：.一、考点概要：1、空间向量及其运算(1)空间向量的基本知识：定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。空间向量基本定理：定理：如果三个向量 不共面，那么对于空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组x、y、z，使 。且把 叫做空间的一个基底， 都叫基向量。正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用 表示。 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一

3、点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使 。共线向量(平行向量)：定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 。规定：零向量与任意向量共线;共线向量定理：对空间任意两个向量 平行的充要条件是：存在实数，使 。共面向量：定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量;空间的任意两个向量都是共面向量。向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或 在内，则说向量 平行于平面，记作 。平行于同一平面的向量，也是共面向量。共面向量定理：如果两个向量 、 不共线，则向量 与向量 、 共面的充要条件是：存在实数对x、y，使 。空间的三个向量共面的条件：

4、当 、 、 都是非零向量时，共面向量定理实际上也是 、 、 所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得 ，或对于空间任意一定点O，有 。空间两向量的夹角：已知两个非零向量 、 ，在空间任取一点O，作 ， (两个向量的起点一定要相同)，则叫做向量 与 的夹角，记作 ，且 。两个向量的数量积：定义：已知空间两个非零向量 、 ，则 叫做向量 、 的数量积，记作 ，即： 。规定：零向量与任一向量的数量积为0。注意：两个向量的数量积也叫向量 、 的点积(或内积)

5、，它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。数量积的几何意义： 叫做向量 在 方向上的投影(其中为向量 和 的夹角)。即：数量积 等于向量 的模与向量 在 方向上的投影的乘积。基本性质：运算律：(2)空间向量的线性运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：加法：减法：数乘向量：运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律： 二、复习点睛：1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。2、根据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间

6、直角坐标系，形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循“三步”：一化向量问题，二进行向量运算，三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然适用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面两个公式较为常用，请务必记住并学会应用： 。2、空间向量的坐标表示：(1)空间直角坐标系：空间直角坐标系O-xyz，在空间选定一点O和一个单位正交基底 ，以点O为原点，分

7、别以 的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，点O叫做原点，向量 叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向;构成元素：点(原点)、线(x、y、z轴)、面(xOy平面，yOz平面，zOx平面);空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系O-xyz时，一般使xOy=135(或45), yOz=90，z轴垂直于y轴，z轴、y轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的一半;(2)空间向量的坐标表示：已知空间直角坐标系

8、和向量 ，且设 为坐标向量(如图)，由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组 叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作 。在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量 ，若 ，则有序数组(x，y，z)叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。空间任一点的坐标的确定：过P分别作三个与坐标平面平行的平面(或垂面)，分别交坐标轴于A、B、C三点，x=OA，y=OB，z=OC，当 与 的方向相同时，x0，当 与 的方向相反时，x0，同理可确y、z(如图)。规定：一切空间向

9、量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。设 ， ，则：(3)空间向量的直角坐标运算：空间两点间距离： ;空间线段 的中点M(x，y，z)的坐标： ;球面方程：二、复习点睛：4、过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别叫做z轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴。通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。5、空间直角坐标系中的特

10、殊点:(1)点(原点)的坐标：(0,0,0);题型示例 点津归纳【例1】 棱锥PABCD的底面是正方形，侧面PAB，PAD都垂直于底面，另两侧面与底面成45角，M，N分别为BC，CD的中点，最长的侧棱为15 cm.求:(1)棱锥的高；（2）底面中心O到平面PMN的距离.【解前点津】 棱锥的概念在本题求解中并无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系.【规范解答】 如图所示.(1)设高为h,由平面PAB，平面PAD都垂直于底面，得PA底面AC.例1题图又PBA=45，PA=AB=h,AC=h .由PA2AC2PC2及PC15，得h=5(cm );(2)BDAC,BDPA,BD平面PAC.又MNBD

11、,MN平面PAQ，平面PAQ平面PMN.作OHPQ于H，则OH之长即为所求.作AGPQ于G.在RtPAQ中，AQ,PQ=AG=再由得OH= (cm).【解后归纳】 由于在棱锥中，随处可以找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识往往成为正确解题的关键.例2题图【例2】 如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，棱长为4a,且ABC=60,PC平面ABCD，PC=4a,E是PA的中点.（1）求证：平面BDE平面ABCD；（2）求：E点到平面PBC的距离；（3）求：二面角AEBD的平面角的大小.【解前点津】 （1）证平面BDE平面ABCD，需证平面BDE过平面ABCD的一条垂线OE；（2

12、）欲求E到平面PBC的距离可转化为求直线OE到平面的距离，进一步转化为求点O到平面PBC的距离.（3）利用三垂线定理作出二面角的平面角AGO,从而解出AGO可求得AGO的大小.【规范解答】 证明:（1）连结AC、BD交于O，连OE、BE、DE.ABCD为菱形，OA=OC.又E为PA中点，OEPC.PC平面ABCD，OE平面ABCD.又OE平面BDE,平面BDE平面ABCD.(2)解:OEPC,PC平面PBC,OE平面PBC.E到平面PBC的距离与O到平面PBC的距离相等.PC平面ABCD，平面PBC平面ABCD，过O作OFBC于F，则OF平面PBC，即OF是O到平面PBC的距离.ABC=60,

13、AC=AB=BC=4a,OC=2a,OF=OCsin60=2a=.点E到平面PBC的距离为.（3）解:过O作OGBE于G，连AG，OEAC,BDAC,AC平面BDE，AGBE.AGO是二面角ABED的平面角.OE=PC=2a,OB=2,BE=4a.由三角形面积相等得：OG=,又AO=AC=2a.RtAOG中，tanAGOAGO=arctan.二面角AEBD的平面角的大小为arctan.【解后归纳】 本题考查线线平行、垂直、线面平行与垂直、面面垂直的判定及性质，点到面的距离、二面角大小的求法，综合运用知识的能力，转化能力.【例3】 如图，设三棱锥SABC的三个侧棱与底面ABC所成角都是60,又B

14、AC=60,且SABC.例3题图（1）求证SABC为正三棱锥；（2）已知SAa,求SABC的全面积.【解前点津】 (1)正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上射影是底面的中心，两个条件缺一不可.（2）只要求出正三棱锥SABC的侧高SD与底面边长，则问题易于解决.【规范解答】 (1)证明：作三棱锥SABC的高SO，O为垂足.连结AO并延长交BC于D.因为SABC,所以ADBC,又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为ABC的外心,OD为BC的垂直平分线，所以ABAC.又BAC60,故ABC为正三角形，且O为其中心，所以SABC为正三棱锥.（2）在RtSAO中，由于SAa,SAO=60,所以SO=,AO=a, 因O为重心，所以AD.BC=2BD=2ADcot 60=,OD=AD=.在RtSOD 中，SD2SO2OD2，则.SSABC全=【解后归纳】 求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底cosS正棱锥