力学竞赛辅导-往届竞赛题研讨

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1、往届竞赛题研讨,全国周培源大学生力学竞赛第六届试题 （2007年） 全国周培源大学生力学竞赛第七届试题 （2009年）,从2007年起竞赛风格与往届相比有重大变化,个人赛： 考察学生面对复杂问题时能否抓住问题核心、 洞察问题实质的能力； 考查学生的力学建模能力； 在解题时考察学生能否灵活运用力学概念，简 单而巧妙地解题。 团体赛： 考察学生理论联系实际的能力，分工协作、相 互配合、动手制作的能力。,2007年试题特点： 1题量少，内涵多； 2趣味新颖； 3灵活； 4强调发散思维。,2007年试题一：声东击西的射击手（30分）,射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不

2、同的射击场。在这里，共有10个小球Pi(号码从0到9)，你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。,假设系统在同一竖直平面内 (如图所示)，不考虑摩擦。圆弧 AB的半径为R，B点与地面的高度 为H。均质细杆CD的质量为M， 长为L=0.5H，悬挂点C与B 处于 同一水平位置，BC距离为S。小 球Pi 质量均为m，不计半径，小球Pi 与CD杆或地面碰撞的恢复因数均为ei，且满足 (i=0,1,2,9)。,1.为使小球P1 击中杆上D点，试确定静止释放时的q，距离S 有何限制？ 2.假设某小球击中CD杆上的E点，为使E点尽可能远离D点，试确定该小球的号码及静止释放时的q，此时CE

3、 的距离 是多少？ 3.假设某小球击中CD杆上 的E点，为使悬挂点C处的冲量 尽可能小，试确定该小球的号 码及静止释放时的q，此时CE 的距离是多少？冲量有多大？,2007年试题一：声东击西的射击手（30分）,设小球P1 到达B处时速度为vB,小球P1离开B 处后作平抛运动,1.为使小球P1 击中杆上D点，试确定静止释放时的q，距离S 有何限制？,小球P1 如何击中杆上的D点？,先与地面碰撞， 后回跳时撞击杆？,直接撞击杆？,链接,P1直接与杆上D点碰撞,小球P1直接击中D点时,小球P1 在 x 方向作匀速运动，在 y 方向作匀加(减)速运动。,小球P1与地面碰撞前的速度,小球P1与地面碰撞后

4、的速度,碰撞前阶段：,h回跳高度,碰撞后阶段：,P1回跳时无法碰到D点,P1直接与杆上D点碰撞,小球P1 先与地面碰撞,返回,S的限制,2.假设某小球击中CD杆上的E点，为使E点尽可能远离D点，试确定该小球的号码及静止释放时的q，此时CE 的距离 是多少？,当 时反弹最高，可击中C点。,此时点E（与点C重合）离D点最远，CE = 0。,9号小球,球落下多少就回跳多少,设小球P9从离开B处到与地面碰撞所需的时间为t2,当 时，球落下的轨迹与回跳的轨迹对称。,设小球与地面碰撞n次击中E,3.假设某小球击中CD杆上的E点，为使悬挂点C处的冲量尽可能小，试确定该小球的号码及静止释放时的q，此时CE的距

5、离是多少？冲量有多大？,当碰撞冲量 IE CE ，且 作用于撞击中心，,即,时，C 处的 IC = 0。,小球回跳至最高点时碰撞，碰撞点距地面 。,设小球离开B与地面碰撞前的速度为 vx 、vy,vx = vB,小球与地面碰撞后的速度,小球回跳至最高点时,6号小球,设小球从离开B处到与地面碰撞所需的时间为t3,设碰撞结束小球回跳至最高点所需的时间为t4,一个好的试题应该有不同的途径解决，而采用不同的途径可以反映出学生对问题的理解程度、对力学概念的掌握程度。 解题时，可能的处理方式有： 直接法、直觉、猜测、近似分析、定性分析等,如果说趣味性是为了吸引学生对力学的兴趣，灵活性则是为了考查学生力学素

6、养的高低。 力学素养好的学生，应该是力学概念清楚，能够领悟问题的实质，了解处理问题的方法和思路，有时可以不经过复杂分析就能看出或猜出一部分答案。,第2问求碰撞点与杆上D点距离的极大值。 这一问的关键在于可以直接看出部分答案：采用完全弹性小球有可能得到最优解，因为其它小球都不能反弹到平抛时的初始高度。 第3问求悬挂点冲量的极小值。 如果学生猜测最小值是否可以为零？这样自然会引出碰撞中心的概念，从而顺利求解。,但绝大部分学生会按正常顺序做，即小球从某位置释放落下反弹与杆碰撞求极值。如果这样做，要联立大量复杂的公式，还要对两个变量求极值（其中一个是连续的角度变量，一个是离散的号码变量）！,2007年

7、试题四：技高一筹的魔术师（25分）,魔术正式开始，仍用上一题中的道具(板和球的具体参数见第三题)。 魔术师首先撤去了滚轴D，观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放，都会从板的B端掉下去。但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相同位置，掉下去所需时间却明显不同。 魔术师解释说，虽然两 水晶球的尺寸和重量完全相 同，但有一个水晶球的表面 涂了透明的新型材料，很光 滑。说完在后落下的水晶球 O1表面贴上了小纸片以示区别(假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量)。,2007年试题四：技高一筹的魔术师（25分）,只见魔术师对两个水晶球吹了吹，声称已经把魔力注入其中，然后小心地把贴有纸片的O1 球静

8、止放在板上(接触点为B点)，同时让纸片远离接触位置，松手后水晶球O1竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B点。 在观众的掌声中，魔术师撤走了O1 球，把O2 球拿了起来。“这个水晶球不太听话， 我的魔力只能管1分钟” 魔 术师说完把O2 球转了转， 然后更加小心地把O2 球也 放在板上(接触点为B点)。 观众发现，O2球在B点停留 了大约1分钟，然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B端掉了下来,2007年试题四：技高一筹的魔术师（25分）,根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？ 水晶球O1 可在 B点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。

9、 水晶球O2 只能在 B点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的 关键参数，以及各参数应 满足的必要条件或关系。, 根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？, 水晶球O1可在B点一直 稳稳地停留，简要叙述其原理， 分析其中所涉及的关键参数， 以及各参数应满足的必要条件 或关系。,水晶球O2 涂了新型材料,光滑，先落下。,在板自重、球重力作用下，板发生弯曲变形。,小量,只要 （自锁条件）,即,水晶球O1就静止于板上的B点,qB 是小量,小纸片贴在球的其他位置时,小纸片贴在球的最左侧,只要小纸片与水晶球的重心落在过B点的铅垂线上， 水晶球O1就能静止于板上的B点。,取大于号时，小纸

10、片与球心的连线非水平，但重心都要落在过B点的铅垂线上。,要使小纸片与水晶球的重心落在过B点的铅垂线上，必须,小纸片贴在球的其他位置时,设小纸片离O点的水平距离为, 减小,P0 增大, = r 时， P0 = P0min,取等号时，小纸片与球心的连线水平；, 水晶球O2 只能在 B点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及 各参数应满足的必要条件或关系。,没贴纸片的水晶球O2 是动平衡问题,球在板上打滑，在一段时间内球心速度为零，从而实现动平衡。,在一段时间后，球心速度不为零，球从板上掉下。,补充,解出,常,常,积分,水晶球O2可以停留在板上,但是，随着时间t 增大，角速度

11、w 减小。,水晶球O2 会从板上掉下,当w = 0 即角速度w 改变转向时，摩擦力F 也改变方向。,当t =1 min =60 s 时，w = 0。,试题以人物为主体，有简单的情节，有看似冲突的结果。 学生面对的是奇怪的现象或结果，需要的条件或参数在叙述中给出。某些条件可能是没有用的。,同一问题，可以有不同的提问方式。 正问题比较容易，偏重集中性思维。 逆问题比较困难，偏重发散性思维。 魔术师的问题是典型的逆问题，令人回味。 真正的魔术表演，往往令观众百思不得其解，可是一旦解密，又很简单。,平时的作业绝大部分是集中性思维，很容易有思路，剩下的只是补充细节。但发散性思维的问题往往让学生不容易找到

12、思路，需要在各种可能的方法中试探比较。 发散性思维问题可以激发学生思考的积极性，同时让学生在思考过程中把学过的知识进行分类、组合、过滤，提高学生处理问题的能力。 一个设计得很好的发散性思维问题应该是开始时让学生百思不得其解，想到点子上立刻豁然开朗。,试题中最明显的发散思维问题是所谓的魔术师的问题：水晶球为什么能停留在明显倾斜的水晶板上，需要学生从各种角度去解释这看似不可能的现象。 第2问中魔术师看似不经意贴的小纸片对水晶球的平衡有重要影响。这是静力学平衡问题。 第3问的要点是动力学平衡。如果知道本问可以用刚体平面运动微分方程来解释，相信很多学生可能会惊讶为什么当时想不到这一点。,2009年试题

13、一：小球在高脚玻璃杯中的运动(20分),一半球形高脚玻璃杯，半径r=5 cm，其质量m1=0.3 kg， 杯底座半径R=5 cm，厚度不计，杯脚高度h=10 cm。如果有 一个质量m2=0.1 kg 的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后 沿杯的内侧滑下，小球的半径忽 略不计。已知杯子底座与水平面 之间的静摩擦因数 fs=0.5。试分 析小球在运动过程中：高脚玻 璃杯会不会滑动；高脚玻璃杯 会不会侧倾（即一侧翘起）。,分析杯子滑动情况,假设杯子不滑动,小球,小球在杯子未运 动前不脱离杯子,动能定理,牛顿第二定理,方程、,分析杯子滑动情况,杯子,最大静滑动摩擦力,因,杯子不滑动,所以假设成立,分析杯

14、子侧倾（一侧翘起）情况,当杯子处于侧倾的临界平衡状态时,x = 0,C,综上，当小球自杯子的边缘由静止释放后 沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角j =63.4O 时，高脚玻璃杯侧倾（一侧翘起）。,解,即,时，杯子侧倾。,小球先经过,的位置,解方程,返回,或,或,2009年试题二：杂耍圆环(40分),1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？ 2.杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自动返回到演员跟前。设圆环与地面接触瞬时圆环中心O 的速度大小为v0，圆环的角速度为w0，圆环半径为r，质量为m，圆环与地面间的静摩

15、擦因数为 fs，不计滚动摩阻，试问： 圆环能自己滚回来的条件是什么？ 圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动， 在此运动过程中，圆环所走过的距离是多少？,2009年试题二：杂耍圆环(40分),当圆环在水平地面上无滑动地滚动时，其中心的速度 大小为v1，圆环平面保持在铅垂平面内。试分析圆环碰到高为h(hr/2)的无弹性台阶后，能不脱离接触地爬上该台阶所应满足的条件。 3.演员又用细铁棍推动题2中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环保持在铅垂平面内滚动，如图所示。又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为 ft ， 圆环与地面间的滚动摩阻系数为d。试 求为使铁棍的推力(铁棍对圆环的作用 力)最小，圆环上与铁棍

16、的接触点的位 置。,1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？,圆环不是匀质的，质心不在圆环的中心。 开始滚动角速度大，圆环一跳一跳地向前滚动； 随后角速度减小，所以圆环不离开地面向前滚动。,2.圆环能自己滚回的条件,圆环与地面接触点D,刚开始,圆环与地面有相对滑动,匀减速运动,2.圆环能自己滚回的条件,圆环匀减速转动,由于摩擦力存在,v 和w 都随时间而减小,随时间减小,时刻开始摩擦力为零,即,此时质心速度大小为,要使圆环能够返回，必须,圆环自己 滚回的条件,即,2.从开始向回滚动直到无滑动地滚动，圆环走过的距离是多少？,圆环到达最远距离时： 质心速度,圆环开始纯滚动时：,此时,所需时间为,所需时间为,圆环从开始向回滚动直到纯滚动的过程中：,所求距离,质心作初速度为零、加速度为 的加速运动,圆环的运动：碰撞阶