理论力学全套解疑10

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1、第十章 点的合成运动第十章 点的合成运动 题 10-1 静参考系是否一定是不动的，动参考系是否一定是运动的？ 解 答 不一定， 例如在题 10-1 图中， 机器中的轮盘以角速度相对于机器 器外壳作定轴转动，无论机器外壳相对地面是否运动， 均可选择固连于机器外壳的坐标系 Oxyz 为静参考系， 其 它一切相对于机器外壳有运动的坐标系都可选为动参考 系，即既可选固连于轮盘的坐标系 Oxyz为动参考系， 也可选固结于地而的坐标系（当地面与机座有相对运动 时）为动参考系。它们对于我们所选定的静参考系（即 机座）来说都是动参考系。因此，选哪一个坐标系为静 参考系，哪一个为动参考系是人为的，要看具体问题的

2、需要而定。 题 10-2 什么是绝对轨迹，相对轨迹？ 解 答 绝对轨迹是动点在静系中运动的轨迹， 或者说是人站在静系中所观 察到的动点运动的轨迹。 描写绝对轨迹的方程可由动点的绝对运动方程消去时间 t 而获得。 相对轨迹是动点在动系中运动的轨迹， 或者说是人站在动系中所观察到的动 点运动的轨迹。 描写相对轨迹的方程可由动点的相对运动方程消去时间t而获得。 题 10-3 在讲牵连速度和牵连加速度时为什么要引入重合点的概念？ 解 答 动点的绝对运动和相对运动都是指一个点（动点）对一个参考系的 运动，前者是指动点对静系的运动，后者是指动点对动系的运动，因此可以很自 然地定义绝对速度、绝对加速度和相对

3、速度、相对加速度。它们分别是动点对静 系的速度、加速度和动点对动系的速度、加速度。但是牵连运动并不是一个点的 运动，而是动系（相当于一个刚体）对静系的运动，而一般情况下动系上各点对 静系的运动是不相同的。 因此不能说牵连速度和牵连加速度是动系对静系的速度 和加速度。 考虑到动系给动点运动以直接影响的是此瞬时动系上与动点相重合的 点（重合点） ，于是就定义重合点对静系的速度和加速度为牵连速度和牵连加速 度。可见，不引入重合点的概念，就无法定义动点的牵连速度和牵连加速度。事 实上， 点的速度合成定理和加速度合成定理也表明这样定义牵连速度和牵连加速 度，使得这些定理具有最简单明了的形式。 题 10-

4、4 如何理解点的速度合成定理，应用时要注意哪些问题？ 解 答 点的速度合成定理是： 动点在每一瞬时的绝对速度等于其牵连速度 和相对速度的矢量和。即 va = ve + vr 对于这个定理的应用要注意如下几点： （1）不论牵连运动是何种运动，此定理都成立。 （2）定理所说明的是瞬时关系。也就是说，在动点运动过程中的每一瞬时， 动点的三种速度va、ve、vr，存在着上述矢量和的关系。 （3）由定理va = ve + vr，所述关系可作速度平行四边形，而绝对速度va必为 四边形的对角线。 （4）求解矢量方程：va = ve + vr，可用几何法，也可用解析法。所谓几何法 就是作速度平行四边形或速度三

5、角形。而解析法是将此矢量方程投影于坐标轴 上，可以得到两个独立的标量方程（即投影方程） 。由于矢量等式va = ve + vr中每 一项都有大小和方向两个量，总共有六个量。因此，不论用何种方法求解必须先 给出四个量，才能求出另外两个未知量。这是因为几何法必须知道其中四个量才 能作出速度四边形或速度三角形，而解析法只有两个独立的标量方程，所以也只 能求解两个未知量。 题 10-5 如何理解牵连运动为平动时点的加速度合成定理，应用时要注意 哪些问题？ 解 答 牵连运动为平动时的加速度合成定理是： 动点在每一瞬时的绝对加 速度等于其牵连加速度和相对加速度的矢量和。即 aa = ae + ar 对于这

6、个定理的应用需要注意如下几点： （1）只有当动参考系作平动时，点的加速度合成定理aa = ae + ar才成立，也 就是说当动系作除平动以外的任何运动时，上式均不成立。 （2）定理所说明的是瞬时关系，即动点在运动过程中的每一瞬时，动点的 三种加速度aa、ae、ar，存在着上述矢量和的关系。 （3）因为动系作平动，所以牵连加速度ae只有一项，而动点的绝对加速度 aa与相对加速度ar都可能由其切向分量和法向分量两部分组成。例如，当动点的 绝对运动是变速曲线运动时， 则动点的绝对加速度aa就由切向分量与法向分量 组成，同理，当动点的相对运动是变速曲线运动时，则动点的相对加速度a a a n a a

7、r就 由切向分量与法向分量组成。这时矢量等式就可写成 r a n r a nn arrea aaaaa+=+ （4）在求解矢量方程时，一般用解析法，与在求解速 度合成定理时相似，由于投影所得为两个独立的标量方程，因此，也只能求解两 个未知量。 nn arrea aaaaa+=+ 题 10-6 在应用点的速度合成定理及动系为平动时点的加速度合成定理求 解速度和加速度时，用几何法与解析法哪一种较为简捷？ 解 答 因为点的速度合成定理va = ve + vr只有三个矢量，因此用几何法较 为方便，所作出的图形是速度平行四边形或速度三角形，图形简单。而动系为平 动时点的加速度合成定理aa = ae +

8、ar中aa与ar可能均有切向和法向分量， 也就是说 矢量数目较多，如用几何法，作出的图形将是矢量多边形，计算不便，因此一般 应采用投影法求解。 题 10-7 举例说明三种运动，三种速度和三种加速度的分析。 题 10-7 图 解 答 今以题 10-7 图(a)所示具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构为例。 已知： R = 100mm，OA = 100mm，曲柄的转速 n = 120(r/min)。求 = 30时滑道 BCD 的 速度和加速度的大小及滑块 A 的相对加速度的大小与方向。 解： （1）运动分析。 动点：滑块 A。 动系：与弧形滑道固连的坐标系 Oxy。 静系：与机架固连的坐标系 Oxy。 绝

9、对运动：滑块 A 的圆周运动，圆心为 O。 相对运动，滑块A相对于弧形滑道BCD的圆周运动，圆心为O1。 牵连运动，弧形滑道 BCD 的直线平动。 （2）速度分析。 绝对速度： 26. 1 30 120100=OAva（m/s） 方向垂直了 OA。 相对速度：vr大小未知，方向垂直于O1A。 牵连速度：ve大小未知，方向水平。 由速度合成定理va = ve + vr，可作速度平行四边形，图中三个矢量构成等边 三角形（见题 10-7 图d） ，因此得 ve = va = 1.26 (m/s) 此即为滑道 BCD 的速度。 （3）加速度分析。 绝对加速度： = 1 . 0 )26. 1 ( 22

10、a a R v a15.9（m/s2） 方向指向 O。 相对加速度：其中方位沿圆弧在 A 点的切线，大小未知，而且也难以确 定其向上还是向下，但可先假设它向上（题 10-7 图 b） ，计算结果如得正值，则 说明假设的指向与实际指向相同，若得负值，则说明图中假设的指向与实际指向 相反。其中 r a = 1 . 0 )26. 1 ( 22 r r R v a n 15.9（m/s2）方向指向O1 牵连加速度：ae方向水平，大小未知，且难以确定其向左还是向右，但可以 假设，如设向左（题 10-7 图b） ，实际上是否真正向左，可由计算后所得正负号 决定。 由牵连运动为平动时的加速度合成定理 aa

11、= ae + ar 这里 n rrr aaa+= 则上式写为 n rrea aaaa+= 这个矢量等式中只有两个未知量， 所以是可解的。 用解析法求解时， 可选择与 相垂直的投影轴 A（这是为了避免在投影式中出现两个未知量，否则就需要求 解联立方程） 。将矢量等式投影于 A轴，得 r a n aaa rea += 即 n aaa rea 30cos60cos= ? 解出 = + = + = 2/3 9 .15 2 1 9 .15 30cos 60cos ra e ? ?n aa a27.4（m/s2） 所得正值说明ae实际方向与图中所设相同。此即为滑道BCD的加速度。 将矢量等式投影于A轴得

12、rea 60cos30cosaaa+= ? 解出 )m/s(11. 0 2 3 9 .15 2 1 4 .2730cos60cos 2 aer = = ? aaa 负号说明的实际方向与图中所设相反，即应向下。 r a 本例中曲柄OA是作匀速转动， 故动点A的绝对加速度只有法向分量而无切向 分量，所以aa指向转轴O点。如曲柄OA是作变速转动的话，则动点A的绝对加速 度除了法向分量外，还应有切向分量。 n a a a a 题 10-8 如何理解牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理，应用时要注 意哪些问题？ 解 答 牵连运动为定轴转动时点的加速度定理是： 动点在每一瞬时的绝对 加速度等于其牵连加速度

13、、相对加速度和哥氏加速度三者的矢量和。即 aa = ae + ar + ak 对于这个定理的应用需要注意如下几点： （1）只要牵连运动为定轴转动，求加速度时就应考虑哥氏加速度ak （2）哥氏加速度ak = 2 vr，根据矢积定义，ak的大小为 ak = 2 vr sin 式中为 与vr两矢量之间小于180的夹角，而ak的方向垂直于和ak，所确定的 平面，指向按右手规则确定。因此如果相对速度vr不为零，且动系的转动角速度 与相对速度vr不平行，则哥氏加速度ak必不为零，切不可遗漏。 （3）定理所说明的也是瞬时关系。 （4）顺便指出，当牵连运动为刚体的更为复杂的运动（如刚体的平面运动 等）时，其加

14、速度合成公式与牵连运动为定轴转动时的公式相同。 （5）因为牵连运动为定轴转动或往复摆动，所以牵连加速度ae除了有法向 分量外，可能还有切向分量（当牵连运动为非匀速的定轴转动时） ，至于a n e a e a a 与ar仍与前题分析相同，可能各有法向分量与切向分量。因此，矢量等式可以写 成 k n rr n ee n aa aaaaaaa+=+ （6）求解时当然宜用解析法。投影后也可得两个独立的标量方程，可求解 两个未知量。 题 10-9 如果将速度合成定理va = ve + vr，对时间t求一次导数得 tttd d d d d d re vvv a+= 我们能否断言， 绝对加速度等子牵连加速度

15、与相 对加速度的矢量和。 解 答 不能这样断言。 等式的左边确是绝 对加速度，这是没有问题的。但是， t d d e v 是不是 牵连加速度， t d d r v 是不是相对加速度，还需要进 行仔细的分析， 而且从分析中我们还会看到哥氏 加速度是怎么得到的。下面就对这问题加以分析。 设Oxyz代表静参考系，Oxyz代表动参考系（题10-9图1） 。动参考系绕定 轴Oz转动的角速度和角加速度分别为 e和 e，动点M的相对速度和相对加速度分 别为 kjiv + + = t z t yx d d d d d d r (1) kjia + + = 2 2 2 2 2 2 r d d d d d d t

16、 z t y t x (2) 点M的牵连速度和牵连加速度分别为动系上与动点M相重合的那一点的速 度和加速度，它们分别是 ve = er (3) ae = er + eve (4) 因为动点在某瞬时的绝对加速度等于它的绝对速度对时间的一阶导数， 而绝 对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和，于是有 tttd d d d d d rea a vvv a+= (5) 先分析右端第一项，将(3)式代入，得 ttttd d d d )( d d d d e e e e r r r v += 由于动参考系的角速度 e，对时间的一阶导数等于它的角加速度矢 e，动点矢径 r对时间的一阶导数等于绝对速度，于是上式可改写为 reeeaee e d d vvrvr v +=+= t 对照式(4)可知，上