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1、,预测与概率,一门开始于研究赌博机会的科学，居然成了人类知识中最重要的学科，这无疑是令人惊讶的事情。 PS拉普拉斯 （ Pierre Simon Laplace）,卡当（15011576）意大利数学家、医生，并在医学、哲学、物理学和星占学中都有一定成就。 他的童年相当不幸，这就造成了他个性孤僻，自负，并且往往在言谈中，表现得冷漠无情。他为了逃避穷困、病痛、毁谤和不公平的待遇，曾在25年之中，每天玩骰子，并天天玩棋达40年之久。,他从很早就认为，除了花时间研究学问外，如果一个人不玩牌赌博，那么他就枉活一生。他不希望把时间花在不能获利的事情上，因此认真的研究获得7点以及在一副牌中获得“A”的概率。
2、他把自己的研究成果编成了一本手册，题为赌博的游戏，这是世界上第一部研究概率论的著作。例如，他指出，把牌擦上肥皂，那么在抽牌时，得到一张特殊牌的机会将会大大增加。卡当在这种情况下所创立的这一数学分支，现在已是气体分子理论、保险业和原子物理学的基础。但由于卡当等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。,7点研究,把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。已知骰子的六个面上分别为16点，那么，赌注下在多少点上最有利？,7点研究,列表得： 如表中所示，在所有36个点数和中，“7”出现6次，有P（7）=6/36,而其余点数出现次数均少于6次，其猜 中的概率也应少于P
3、（7）， 下7点最有利因为和为7点机率最大,大约100年以后，另一位赌徒梅累继续研究概率问题。可是他不具有向卡当那样的数学天分，所以不得不就这一问题去请教数学奇才帕斯卡。帕斯卡就梅累的问题与费马进行通信研究，因此，帕斯卡和费马创立了概率论的一些基本结果。,布莱士帕斯卡（Blaise Pascal ，16231662）是法国数学家、物理学家、思想家。帕斯卡的科学生涯充满了冲突与戏剧性。由于担心过度用脑会损害儿子的健康，父亲禁止幼小的帕斯卡学习数学。最终，在12岁那年，当帕斯卡提出想了解数学到底讲的是什么玩意时，父亲居然同意了。于是，他开始如饥似渴的学习数学。两年后，他被允许参加当时伟大数学家的每
4、周科学会议。16岁他就证明出了射影几何中帕斯卡定理。梅累向他提出概率论问题时，他已经31岁了，而他一生只活了39岁。,帕斯卡处于历史的转折点，当时正是新科学开始向旧信仰发动强有力挑战的时候。他卷入了这场科学与宗教的冲突活动，而且致力于寻求解决这一冲突的哲学方法论。一方面，他那不可抑止的本性使他热衷于宗教信仰，另一方面，他又热衷于科学研究。他对这场冲突的感受要比任何其他人深刻的多。他对双方都观察的十分清楚，而且对双方都有感情，因此在他的脑海中就形成了一个战场。他感到十分迷茫。,帕斯卡赌注,一张彩票的价值，就是中奖概率与奖金的乘积。中奖的概率可能很小 ，但如果奖金巨大，那么这张彩票的价值依然很大。
5、所以，富于理性的帕斯卡认为，尽管上帝存在的概率和基督教教义找正确的概率微乎其微，但是作为信仰的奖赏却是永恒的欢乐。因此，这张天堂的彩票其价值仍然是非常大的。另一方面，如果基督教义是错误的，那么由于坚持这一点而失去的价值，恐怕就是整个生命乐趣的丧失了。因为，我们还是把赌注压在上帝存在这一方吧。,概率论的潜在作用是十分明显的。一分钟后，我们脚下的地面可能就会裂开。但是，这种宣称吓唬不了我们，因为我们知道，出现这种情况的概率极小。一个事件是否发生的概率，决定了我们对该事件的态度和行动。,在日常生活中，我们所使用的概率思想，仅仅满足于估计他是高还是低而已。但是，这种估计过于宽泛，不能满足一些诸如在大规
6、模的工程、医疗、商业冒险中的基本需要。因为在上述情形中，必须知道特殊事件的准确概率值。要达到这个目的，就只好求助于数学了。 我们来看看如何利用数学得到准确的概率值？,例如，单独抛一枚骰子，出现“4”的概率是多少？解决这个问题的一种方法是，掷100000次骰子，然后计算出现“4”的次数。出现“4”的次数与100000的比就是所求的答案，或者差不多会接近真实的答案。但是，数学家们一般不会采用这种方法，而是静坐默思去找出解决这个问题的方法。不过有时也许会有例外，如卡当在赌场上。这样就不仅要动手、动脑，还要加上赌金呢。,帕斯卡和费马是如何考虑这个问题的：,一个骰子有6个面，由于在骰子的形状上或者在扔骰
7、子的方式中，没有任何因素有利于某一面的出现，所以得到每一面正面朝上的可能性是相同的。六面出现的可能性相同，而仅仅只有一面也就是出现“2”的一面是有利情形，因为这就是要求的那一面，因此出现“2”的概率就是1/6。如果我们对出现“4”或“5”这两面都感兴趣，则得到其概率为2/6，即6种可能性中的两种对我们有利；如果我们对出现“4”或“5”不感兴趣，那么将有4种有利的可能性，因此概率应该为4/6。,概率值的定义：,如果有n中等可能性，而有利于一定事件发生的情形是m种，那么这个事件发生的概率是m/n，而该事件不发生的概率是（n-m）/n。在这个概率的一般定义之下，如果没有有利的可能性发生，即，如果事件
8、是不可能的，则事件的概率为0；而如果n种可能性都是有利的，即，如果事件是完全确定的，则概率为1。因此，概率值在从0到1的范围内变化，即从不可能性到确定性。,抽取A的可能性：,我们考虑从52张普通的一副扑克牌中，选取一张牌“A”的可能性。这里有52种等可能选择，其中有4种是有利的，因此，这个概率是4/52，即为1/13。,关于抽取A可能性的疑问：,从52张一副扑克牌中选取“A”的概率是1/13。围绕着这一命题，经常会产生一些疑问。这个命题是否意味着，如果一个人在这副扑克牌中取了13次（每一次都重复取牌，即将取过的牌又放回），那么将一定会选中一张“A”呢？事实并不是这样，他可能取了30次或40次，
9、也没有得到一张“A”。不过，他取的次数越多，则取得“A”的次数与取牌总次数之比将会越趋近于1/13。这是个合理的期望，因为选取的数目越大，每一张牌被取出的次数就越会相等。,关于抽取A可能性的疑问：,一个相关的错误想法是，假定一个人取了一张“A”，比如说正好是在第一次取得的，那么下一次取出一张“A”的概率就必定小于1/13吗？实际上，概率依然是相同的，仍为1/13，即使当3张“A”被连续抽中时也是如此。一副牌或一枚硬币，它们既没有记忆也没有意识，因此已经发生的事情不会影响未来。,关于抽取A可能性的疑问：,需要注意的是，我们这里所讨论的问题要具有等可能性。例如，假定我们断言，一个人安全通过街头人行
10、道的概率是1/2，因为只有2种可能性：安全通过或没有安全通过。如果这个命题成立，那我们就什么事情也别干了。这个命题错误在于“安全通过或没有安全通过”这两种可能性不是等可能的。,需要注意的是，我们这里所讨论的问题要具有等可能性。例如，假定我们断言，一个人安全通过街头人行道的概率是1/2，因为只有2种可能性：安全通过或没有安全通过。如果这个命题成立，那我们就什么事情也别干了。这个命题错误在于“安全通过或没有安全通过”这两种可能性不是等可能的。,由于机会均等在概率定义的应用中如此重要，我们应该重新考虑抛掷骰子的过程中各面出现的可能性是否完全相同。这就是我们常常看到掷骰子者仔细瞧瞧骰子的原因，原来他们
11、是在检查各面出现的次数是否会真正均等。,抛掷硬币问题,两枚正面，1/4;一正一反,2/4；两枚反面，1/4。,抛掷硬币问题,三枚正面，1/8;两正一反,3/8；两反一正，3/8；三枚反面，1/8。,抛掷硬币问题,作为一种纯粹的智力游戏，我们可以考虑抛掷4枚、5枚硬币时所涉及的概率。但是随着硬币数目的增多，可能的情形也大大增加，因而增加了问题的难度。令人欣慰的是，为此，帕斯卡造出了一个非常有趣的三角形，为数学家解决这样的问题帮了大忙。这就是著名的“帕斯卡三角形”。,帕斯卡三角形,在这个三角形中，每个数都是上一行最邻近的两个数之和（必须补上0，否则两个数会漏掉一个）。因此，仅仅利用加法，我们就能够
12、将此三角形逐行写出来。,帕斯卡三角形,帕斯卡三角形有趣的特点是，它立刻给出了抛掷硬币中所涉及的概率。例如，第四行的数字，1,3,3,1，相加为8，这就是抛掷3枚硬币时落下的所有可能数目。而且，如果把这一行中的每个数字除以8，就有1/8,3/8,3/8,1/8,这样就得到了各种不同的可能性。,帕斯卡三角形,这样，抛掷5枚，6枚硬币的概率我们也能够很快写出来了。三角形顶端的数1，表示抛掷0枚硬币时的情形。事实上，它的确给出了抛掷9枚硬币将不会输钱的概率。,概率论最早实际应用孟德尔遗传定律,修道院院长孟德尔1822年7月20日出生于奥地利西里西亚，是遗传学的奠基人，被誉为现代遗传学之父。孟德尔通过豌
13、豆实验，发现了遗传规律、分离规律及自由组合规律。,概率论最早实际应用孟德尔遗传定律,概率论最早实际应用孟德尔遗传定律,假设有两种纯种豌豆，高茎的和矮茎的。如果让它们杂交，则第二代都是高茎的。对于这种现象，孟德尔解释说，这是高茎控制了矮茎的结果。 第二代高茎豌豆是杂交种的。如果第二代豌豆杂交，则可能出现的情形有：,这与抛掷硬币的正反面有着明显的联系。,利用这一类的知识，园艺学、动物畜牧学方面的专家现在已经在实际中产生了极好的效果。他们培植了新的水果、花卉，培养出了更加高产的奶牛，改进了动植物的品种，还培育出了抗锈病的小麦、无筋的菜豆，而且哺育出了体型小、含肉量高且适合储存在家用电冰箱中的火鸡。,
14、概率论决定了美国最大的企业保险业所作出的每一项决策。 考虑一家保险公司面临的与琼斯的问题：在琼斯缴纳年度保险费的前提下，保险公司同意，在20届满或在这之前如果他死去了，将付给他或者其亲属1000美元。那么公司要求琼斯先生支付的年度保险费用应该是多少呢？,概率论与保险业,解决方法：琼斯正好是保险公司所投保的数十万人中的一员。要是公司知道，在一个非常小的误差范围之内，对一般人最有可能发生的是什么，则公司的经营就一定是安全的。因为在琼斯身上的损失，可以在史密斯身上得到补偿。这种情况很像赌博，但最终保险公司将是赢家。,概率论与保险业,保险公司所做的工作，乃是在随机选取的10岁以上的100000人中，研
15、究他们的死亡记录。譬如说，在40岁时，这些记录表明100000人中有78106人依然活着。这样，公司就决定取78106/100000作为任何年龄为10岁的人活到40岁的概率。,概率论与保险业,我们前面所考虑的问题只涉及为数不多的几种可能性发生的情形。但是，在大量的概率问题中，可能出现的结果或者是无穷，或者数目很大以致在数学上当做无穷来处理比较合适。 处理可能结果是无穷的问题的理论连续概率论是一流的数学家PS拉普拉斯创立的。他对天体方面非常有兴趣。利用概率论，他确定某些天文现象应归于某种确定的原因，而不是纯粹的偶然出现。,连续概率论,在一种特定现象发生的可能性为无限的情形中，各种可能性的概率分布
16、常常呈正态分布。,正态分布,0.341,0.341,0.136,0.136,0.022,0.022,0.001,0.001,某地区的统计表明，在3600个样本中，出生男婴的数目是1890，女婴是1710。这种情况偏离了1:1的情形，是否意味着男女婴不是等可能出生的呢？未必如此，因为在大量的选样中，男女婴的出生比率才大致一样多。那么，从对3600个选样的数据中我们究竟能得出什么结论呢？,男女婴的出生是否等可能,首先，假定男女婴的出生是等可能的，然后我们在计算3600名婴儿中男婴为1890名的概率。在3600名婴儿中，可能出现0个男孩，1个男孩以此类推直到3600个男孩。由于一个男孩的概率与一枚硬币出现正面的概率一样，所以我们可以利用帕斯卡三角形的第3601项得出出生1860个男孩的概率。借助帕斯卡三角形来进行这样的计算，即使通过快速的代数方法，也是一件繁重而无聊的事情。,男女婴的出生是否等可能,我们可以将3600名出生的婴儿考虑为包含巨大数目的集合中的一个子集合。其中每个集合都有3600名婴儿。在这许多集合中，有些集合将出
