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1、习题选解 习题 1 8 解 设,则得 9 解 设,则 11 解 由 矩阵的秩为2,所以的维数是2,的最大无关的行向量组 对 应 于的 基 , 从 而均 为 的基. 14 证明 由 , 得. 所 以 ,由线性无关, 所以,从而的最大无 关组与的列向量组的最大无关组对应,从而的结论. 习题 2 2 证明(1) 直接验证内积的四条公里成立. (2) 3 证 明 (1) (2) 类似证明. 10 证明 11 证明证明 由 得 即 由 的任意性知 是单位阵,所以是 的规范正交基. 12 证明 13 证明 14 证明(1)，所 以，从而是线性子空间。 （2）先取，再取，最后取 ，则就是 的基。所以。 习题
2、 3 9 证明 （1）， 所以， 从而。反过来， ，所以。 （2）， 所以 ， 又， 所以。 10 证明 设的特征值为，相应的特征向 量为，则是相应于特征值的特征子空间的基，从而 相应于特征值的特征子空间的所有向量都可由表示。 由，从而，所以存 在， 所 以也 是的 特 征 向 量 ， 而 线性无关，所以是的基，且在基 下的表示矩阵为。 13 证明 有相同 的秩和行列式因子，注意到，所以最后一个等 价条件是显然的。 18 证明 由，无重根， 所以是最小多项式。记，由 ， 得。 由 ，所以可逆。 由于，所以可由的低次幂表示。故不防设 ， 则， 所 以 也 是 最 小 多 项 式 ， 比 较 系
3、数 得 。 19 证 明 。 20 证明 。 21 证明 由知的最小多项式是的因子。 由无重根，所以无重根，从而与对角阵相似。 25 证明 取 ，使得，从而。对 作列分块， 即令，将 的列向量组规范正交化得， 其中是一个酉矩阵，是一个上三角阵。从而， 注意到上三角阵的逆矩阵也是上三角阵， 上三角阵的乘积也是上三角 阵，所以。 26 证明 由 25 题知道存在酉矩阵 使得。若是对 角阵， 则从而， ，所以正规。 反过来， 若正规， 则由前面同样计算可得， 注意到 是 上三角矩阵，直接计算知，从而是对角阵。 习题 4 1 证明 （1） （2） （3） 2 证明 充分性 ， 所 以 线性相关，且。必
4、要性显然。 3 直接计算 4 直接验证范数的三条公里 5 证明 令， 验证是内积， 从而是 向量范数。 6 证明 直接验证矩阵范数的 4 条公里，前三条显然。看相容性 8 证明（1） 。 （2）。 10 证 明 设的 特 征 值 为， 注 意 到 立得结果。 习题 5 1 2 证明 必要性显然。 充分性 取 使得，则，从而， 所以， 从而，所以。 4 证明 ，所以， 从而时，。 17 解， 对 于 ，若，则 （1），取，则，所以 记，则,注意到 所以 (2) ,取,则，所以 记，则,其中 .由,直接计算知的最 小 多 项 式 为. 取 辅 助 多 项 式 .则 另解: 18 解 , 其 中 满足.若,则. 对本题的,取,则,有,所以,由 所以 习题 7 11 证明 。事实上， 由得 ， ，即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，从而 原方程组相容。 习题 8 1 证 明 存 在 正 交 阵使 得, 从 而 .所以正(负)定的充要条件是的特征 值恒正(负),由于的对角线上的元素含于,因而,这等价于 . 2 证明 若,则存在使得,从而 正定,同理可得时, 负定,从而的特征值必在区间上. 3 按提示做即可. 8 证明 ,直接计算知 是的一个特征值,所以 .
