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1、第3章 矩阵的分解,Matrix Factorization and Decomposition,矩阵分解的概述,矩阵的分解：两种常见的形式 A=A1+A2+Ak 矩阵的和 A=A1A2 Am 矩阵的乘积，如FFT 矩阵分解的原则与意义： 实际应用的需要,理论上的需要 计算上的需要,显示原矩阵的某些特性 矩阵化简的方法与矩阵技术 主要技巧： 各种标准形的理论和计算方法 矩阵的分块运算和初等变换,3.1 常见的矩阵标准形与分解,常见的标准形 等价标准形 相似标准形 合同标准形,本节分解： 三角分解 满秩分解 可对角化矩阵的谱分解,AT=A,相似标准形,等价标准形,一、矩阵的三角分解（triang
2、ular decomposition),方阵的LU和LDV分解（P.61） 解方程 LU分解：AFnn， 有下三角形矩阵L ，上三角形矩阵U ，使得 A = LU。 LDV分解：AFnn， L、V分别是主对角线元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为对角矩阵，使得 A = LDV。 已知的方法：Gauss-消元法 基本性质 LU LDV,由LDV可得LU,一、矩阵的三角分解（triangular decomposition),方阵的LU和LDV分解（P.61） 解方程 例题1（P.61eg1）设 求A的LU和LDV分解。,结论：如果矩阵A能用两行互换以外的初等行变换化为阶梯形（上三角阵），则A有
3、LU分解。,一、矩阵的三角分解（triangular decomposition),方阵的LU和LDV分解（P.61） 解方程 例题1（P.61eg1）设 求A的LU和LDV分解。,进一步，可得LDV分解：,三角分解的存在性和惟一性 定理3.1（P.62） ： 矩阵的k阶顺主子式：取矩阵的前k行、前k列得到的行列式，k=1，2， ，n。 定理: AFnn有惟一LDV分解的充要条件是A的顺主子式|Ak|非零，k =1，2，n-1，|A0|=1, 其中 D = diag(d1,d2,dn), dk = |Ak| / |Ak-1|, k=1, , n。,讨论 （1） LDV分解的存在 LU分解存在
4、（2）矩阵可逆与顺序主子式非零的关系,定理3.2（P.64）设矩阵AFnn，rank(A) = k（ n），如果A的前k阶顺序主子式均非0，则 A有LU分解。 考虑：LDV分解与LU分解的关系。 例题2（P.65 例2） LU分解的应用举例（例3）：求解线性方程组AX=b。,LY=b, UX=Y,二、矩阵的满秩分解,定义3.2 （P.66 ） 对秩为r 的矩阵AFmn ，若存在秩为r的矩阵 B Fmr，CFrn ，使得A=BC，则称此式为A 的满秩分解。,令,列满秩,行满秩,定理3.2：任何非零矩阵AFmn都有满秩分解。 证明：价标准型求法（行列变换） 设通过行及列的初等变换把A变为等价标准型
5、，即存在可逆矩阵P，Q，使得,得,B，C满足要求。证毕。,二、矩阵的满秩分解,例题2 （P.69，eg5）,满秩分解的求法：初等变换 方法1：等价标准型求法（行列变换）：求两个逆矩阵！ 方法2：阶梯型求法（行变换）：只求一个逆矩阵！ 例题1（P.68，eg4） 方法3：求列的极大无关组及表示（行变换）：不用求逆,例题3（P.70，eg6）,法2,二、矩阵的满秩分解,满秩分解的求法：初等变换 方法1：等价标准型求法（行列变换）：求两个逆矩阵！ 方法2：阶梯型求法（行变换）：只求一个逆矩阵！ 方法3：求列的极大无关组及表示（行变换）：不用求逆,法3,二、矩阵的满秩分解,满秩分解的求法：初等变换 例
6、题1-2（P.68-69，例4-5,）法2，法3：求A的满秩分解,与书上的不同！ 少了一步计算。,二、矩阵的满秩分解,满秩分解的求法：初等变换 例题1-2（P.68-69，例4-5,）法2，法3：求A的满秩分解,二、矩阵的满秩分解,满秩分解的求法：初等变换 例题1-2（P.68-69，例4-5,）法2，法3：求A的满秩分解,法3,二、矩阵的满秩分解,满秩分解的求法：初等变换 例题1-2（P.68-69，例4-5,）法2，法3：求A的满秩分解,法3,三、可对角化矩阵的谱分解,将方阵分解成用谱加权的矩阵和 谱：设 则称 1，2，s为矩阵A的谱 。,1. 可对角矩阵的谱分解 分析： P-1AP =,
7、三、可对角化矩阵的谱分解,1. 可对角矩阵的谱分解 分析：P-1AP =,三、可对角化矩阵的谱分解,1. 可对角矩阵的谱分解 结果：,Qi，Pi 具性质：,幂等矩阵,2、 矩阵可以对角化的一个充要条件 定理3.5（P.73）矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解 满足条件：,必要性前面已证。 充分性的证明(利用x=Ix及充分条件)： 在A有谱分解时 Cn=V1V2 Vn,3. 幂等矩阵的性质 定理3.4（P.72）PFnn ，P2 = P，则 矩阵 PH 和矩阵（IP）仍然是幂等矩阵。 P 的谱 0, 1，P 可相似于对角形。 Fn = N(P) R(P) N(P) = V=0 ，R(P)
8、 = V=1 P 和（I P）的关系 N(I P) = R(P)，R(I P) = N(P),Hermite 矩阵(AH=A)的基本性质 Hermite 阵的特征值为实数； Hermite 阵不同的特征值对应的特征向量正交； 对任一Hermite 阵A存在酉矩阵U使得A酉相似于对角阵（可由定理3.10得出）； 半正定（正定）Hermite 阵的特征值非负（为正）。 Hermite 矩阵的谱分解 定理3.6（P.73）设AFnn是秩为k的半正定的Hermite 矩阵，则A可以分解为下列半正定矩阵的和： A = v1v1H + v2v2H + + vkvkH， 其中 v1，v2，vk 是Fn中的正
9、交向量组。,3.2 Schur 分解和正规矩阵,已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交 相似于对角形。 讨论：一般方阵A ，在什么条件下可以 酉相似于对角矩阵？ 在内积空间中讨论问题，涉及： 空间 Cn、 Cnn， 酉矩阵U，UHU=I， U 1=UH 酉相似： UHAU=J U1 AU=J 相似关系,重点：理论结果,U的列向量是空间Cn中的标准正交基,一、 Schur 分解,1、 可逆矩阵的UR分解 定理3.7（P.74）ACnn为可逆矩阵，则存在酉矩阵U和主对角线上元素皆正的上三角矩阵R，使得A=UR。（ 称A=UR为矩阵A的酉分解） 证明：源于Schmidt正交化方法（P.18）,定理3.
10、8（P.76）：设矩阵ACnr是列满秩的矩阵，则矩阵A可以分解为A=QR，其中Q Cnr的列向量是标准正交的向量组，R Crr是主对角线上元素为正数的上三角形矩阵。,列满秩矩阵的QR分解(Th3.8(r=n) Th3.7),例题1（例7）求矩阵A的UR分解。,列满秩矩阵的QR分解的推导 设A = ( 1，2，r )，rank(A) = r，则由Schmidt正交化方法（P.18）可将A的列化为标准正交的向量组：( 1， 2，r )， 记Q = ( 1， 2，r )，则有关系式： (1, 2, , r) = (1, 2, , r) 即得QR分解A=QR。,UR分解和前面某些分解结合，可导出一些新
11、的分解。,一、 Schur 分解,2 、Schur 分解（Jordan形+UR） 定理3.9（P.76）对矩阵ACnn，存在酉矩阵U和上三角矩阵T，使得 UHAU = T =,证明要点： A = PJAP1 , P = UR, A = PJAP1 = U(RJR1 )UH = UTUH。 A = UTUH 称为A的Schur分解。,QR或UR分解的应用：其它一些分解 (1) A行满秩（可逆），则 A = LV，L为正线下三角矩阵，V的行标准正交（V为酉阵）； (2) 满秩分解，Amn = QmrDrn，rank(A)=r, 其中Q的列标准正交，rank(D)=r； (3) Br可逆, U和V为
12、酉矩阵。,二、正规矩阵（Normal Matrices）,1、定义3.3 方阵A是正规矩阵 AHA=AAH。 常见的正规矩阵（P78，例9） 对角矩阵 实对称和反对称矩阵：AT=A，AT= A Hermite矩阵和反Hermite矩阵：AH=A，AH= A 正交矩阵和酉矩阵：ATA=AAT=I，AHA=AAH=I 例题1 （P.78，eg10）设A为正规矩阵，B酉相似于A，证明B也是正规矩阵。,正规是酉相似的不变性质,例题2、AFmn，矩阵AHA 和矩阵AAH是正规矩阵。,2、正规矩阵的基本特性 定理3.10 （P.78） ACnn正规 A酉相似于对角形。 推论：ACnn是正规阵 A有n个标准正交的特征向量构成空间Cn 的标准正交基。 定理3.11（P.80）（正规矩阵的谱分解） A正规 A有如下谱分解：,Hermite性,3、正规性质的应用举例 利用正规阵酉相似于对角阵，可方便地证明一些相关命题。 例题1(P.79，eg11) Hermite阵的特征值为实数; 例题2(P.79，eg12) 酉矩阵的特征值的模为1; 例题3 设ARnn，AT = A，证明 A的特征值是零和纯虚数。 矩阵A的秩是偶数。,实系数多项式的复数根成对出现。,
