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1、矩阵代数知识复习 Joe Shen Email: Phone: 15018711931 术语与概念 矩阵：对数字的矩形排列，一般记为 向量：被排成一行或一列的有序数集，一般 用小写字母代表列向量。 = nKnn K K aaa aaa aaa ,., . , , 21 22221 11211 A A A A 术语与概念 对称矩阵对称矩阵(symmetric matrix)(symmetric matrix)(symmetric matrix)(symmetric matrix)：对所有i 与k，都有aik=aki 对角阵对角阵(diagonal matrix)(diagonal matrix
2、)(diagonal matrix)(diagonal matrix)：所有非零元 素都出现在主对角线主对角线上的方阵；方阵； 单位矩阵单位矩阵(identity matrix)(identity matrix)(identity matrix)(identity matrix)：主对角线元 素都为1的对角阵，记为I I I I，有时用下标 表示其阶数，记为I I I In； 矩阵运算 矩阵相等 转置： kiikabki=都有和 ,A A A AB B B B AAAAA A A AA A A A=为对称阵 A A A A) ) ) )(A(A(A(A = 矩阵运算 矩阵加法：满足交换律、结合
3、律以及 (A+B)(A+B)(A+B)(A+B) =A=A=A=A +B+B+B+B 向量乘法： ,),.,(,),2121nnaaa= （对矩阵 正交： 标量内积： )(: 1 Scalaraii n i = = )(: ,. : , ),.,( : 1 111 21 2 1 matrix baba baba bbb a a a nnn n n n 矩阵 外积： = = 矩阵运算 矩阵乘法 列 第 行 第 ij kjik nj j j inii cj ba b b b aaai n k = =1 : . 2 1 21 ABABABABC C C CB B B BA A A A 为正交矩阵。，
4、称满足正交矩阵：若方阵Q Q Q QI I I IQ Q Q QQ Q Q QQ Q Q Qn n n nn n n nn n n n= 矩阵运算 矩阵乘法 矩阵乘法的性质： （ABABABAB）C=AC=AC=AC=A（BCBCBCBC） A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC (AB) (AB) (AB) (AB) =B=B=B=B A A A A (ABC) (ABC) (ABC) (ABC) =C=C=C=C B B B B A A A A ii n n i kn = = = 1 , ),.,(21 x x x x XXXX ,
5、.x,.x,.x,.xx x x x, , , ,x x x xX X X XX X X X1 1 1 1n n n nk k k k2 2 2 21 1 1 1k k k kn n n n 则（），矩阵，为令 矩阵运算 标量求和的矩阵表 示： y y y yx x x xx x x xx x x x y y y yx x x x = = = iii nn yxx yyyxxx n i n i11 , ),(, ),( 2 2121 矩阵运算 一个有用的幂等矩阵： 定义：若一个矩阵MMMM等于其平方，即 MM=MMM=MMM=MMM=M，则称其为幂等矩阵（Idempotent Matrix)
6、很多情况我们遇到的幂等矩阵都是对称 的，即MMMM M=MM=MM=MM=M 矩阵运算 一个有用的幂等矩阵： 故M0应为对称幂等矩阵。 iiiiiiiiI I I IMMMM 0 0 0 0 n 1 = 0 0 0 0 MMMMiiiiiiii i i i i) ) ) )(i(i(i(i ) ) ) )(ii(ii(ii(ii iiiiiiiiI I I I MMMM= nnnn 111 ) 1 ( 0 0 0 0 0 MMMMiiiiiiiiiiiiiiiiI I I Ii)ii)ii)ii)ii(ii(ii(ii(iiiiiiiiiI I I IiiiiiiiiI I I Iiiiiii
7、iiI I I IMMMM=+=+= nnnnnn 1212 ) 1 )( 1 ( 2 0 且 矩阵运算 一些有用的结论： 0 0 0 0i) i) i) i)i(ii(ii(ii(ii i i i)i )i )i )iiiiiiiiiI I I Ii i i iMMMM 0 0 0 0 nn 11 (= = = xx xx xx x x x x x nn n n : 1 : 1 1 : ) 1 () 1 ( 2 1 2 1 0 i i i ix x x xx x x xi i i ii i i ix x x xx x x xiiiiiiiiI I I Ix x x xMMMM x x x x
8、MMMMx x x xx x x xMMMM MMMMx x x xx x x xMMMMx x x xMMMMi i i ix x x xi i i ix x x x 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 = = )()()()()( 1 2 xxxx n i i 行列式 定义:一个nn矩阵的方阵方阵定义为： 为逆序数（其中)21njjj 行列式 展开余子式： nkaikik ki n k ,2 , 1|,|) 1(| 1 = + = A A A AA A A A )cofactor|) 1(minor)(被称为余子式（，子式 为列之后得到的矩阵，称行第第为
9、删除其中 ik ik ki ki A A A A A A A AA A A A + |D D D DC C C CCDCDCDCDD D D DC,C,C,C, =都为方阵，应有 若 | | |AAAA| | | | |A A A A| | | = 矩阵的逆 定义定义：对方阵方阵A A A A，若存在B B B B使得 AB=BA=IAB=BA=IAB=BA=IAB=BA=I，则称B B B B为矩阵A A A A的逆，记 为B=AB=AB=AB=A-1 -1-1-1 计算方法： 非奇异矩阵非奇异矩阵：存在逆矩阵，|A A A A|0 为伴随矩阵。其中*, 1 1 A A A AA A A A
10、 A A A A A A A A= 矩阵的逆 一些运算性质： , 1 . . 1 1 , . . 2 1 2 1 1 = = KKd d d d d d D D D DD D D D则若 11111 )()( ,)( 1 =D D D DD D D DD D D DD D D D D D D D D D D D， 1111111 )( ,)(, =A A A AB B B BC C C CABCABCABCABCA A A AB B B BABABABABC C C CB B B BA,A,A,A,都存在逆矩阵，应有若 分块矩阵的逆 可逆，则，若定理：若2211 2221 1211 ,A A
11、A AA A A A A A A AA A A A A A A AA A A A A A A A = = 1 1 1 22 11 22 11 0 0 0 0 A A A A A A A A A A A A A A A A 推论： 矩阵的迹 = = n i iia tr nn 1 )( A A A A (trace)(trace)(trace)(trace)即是其对角线元素之和，的定义：一个 KItr trtrtr trtrctrctr K= +=+ = )(v)i )()()(iii) )() (ii);()(i) 性质： B B B BA A A AB B B BA A A A A A A
12、AA A A AA A A AA A A A 矩阵的迹 )()(BABABABAABABABABB B B BA A A Atrtrnmmn=，与定理：对 )()()(CABCABCABCABBCABCABCABCAABCABCABCABCtrtrtr=推论： ) ()(2 trtrn=，有的向量：对推论 证明： 特征根与特征方程 。的为。 的为，的称为则，满足的数 与相对应若存在非零向量定义：对方阵， 0 , A A A AI I I IA A A A A A A Ax x x xA A A Ax x x xAxAxAxAx x x x xA A A A = = nnn 的根。 为特征方程的
13、特征根的充要条件是为显然，0= I I I IA A A AA A A A 特征根与特征方程 = = = n i n i ii i tr ni 11 ii);)(i) ),.,2 , 1 A A A AA A A A A A A A ，应有：的为（定理：若 证明： 可得结论对照(*),(*), 矩阵的对角化 是可对角化的。，则称得 ，使，若存在可逆矩阵定义；对一个方阵 A A A AAPAPAPAPP P P P P P P PA A A A ),(. 21 1 ndiag nn = 的特征向量。的每列为 的特征根，为可对角化，则定理：若 A A A AP P P P A A A AA A A An,. 21 ).2 , 1 )()( 1 ni ei iii= = = （ ， 使得存在可逆矩阵可对角化证明： p p p pApApApAp
