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1、4.4 超静定结构内力分析,Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures,遵循材料力学中同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问题的思想，可有不同的出发点：,以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种分析方法称为力法（force method）。,以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题，这种分析方法称为位移法（displacement method）。,如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑位移协调，位移的部
2、分考虑力的平衡，这样一种分析方案称为混合法（mixture method）。,在本节主要介绍力法,超静定次数 = 未知力的个数-静力平衡方程个数 = 多余约束数 = 变成基本结构所需解除的约束数,(1) 确定结构的超静定次数和基本结构(体系),基本结构静定结构,(1 次）,切断一个链杆相当于去掉一个约束。,（3 次）,或,切断一个连续杆相当于 去掉三个约束。,增加一个单铰相当于去掉一个防止转动的约束,(6 次),(4 次),(b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。因此，要选取工作量较少的基本结构。,确定超静定次数时应注意：,(c) 可变体系不能作为基本
3、结构,切断弯曲杆次数3、链杆1，刚结变单铰1，拆开单铰2。 总次数也可由计算自由度得到。,基本原理举例,转化,未知力的位移,“载荷”的位移,总位移等于已知位移,8,（c）,力法基本方程,系数求法,单位弯矩图,载荷弯矩图,代入力法方程,（1）,（2）,9,绘内力图（以弯矩图为例，采用两种方法）,单位弯矩图,载荷弯矩图,基本体系有多种选择；,（a）,（b）,),（c）,10,力法的基本思路,超静定计算简图,解除约束转化成静定的,基本结构承受荷载和多余未知力,基本体系受力、变形解法已知,力法的基本思路,用已掌握的方法，分析单个基本未知力作用下的受力和变形,同样方法分析“荷载”下的受力、变形,位移包含
4、基本未知力Xi,为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件,由此可解得基本未知力，从而解决受力变形分析问题,或,基本未知力引起的位移,载荷引起的位移,1、基本体系与基本未知量：,2、基本方程,18,27,9,6,6,3,6,6,3、系数与 自由项,15,4、 解方程,5、内力,2,1.33,4.33,5.66,如计算第4点的水平位移,荷载作用,例 2. 求解图示结构,解法1:,有两个多于约束,解除约束代以未知力,作单位和载荷弯矩图,求系数、建立力法方程并求解,仅与刚度相对值有关,由叠加原理求得,力法基本思路小结,根据结构组成分析，正确判断多余约束个数超静定次数。,解除多余约束，转化为静定的基
5、本结构。多余约束代以多余未知力基本未知力。,分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件力法典型方程。,从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。,由于从超静定转化为静定，将什么约束看成多余约束不是唯一的，因此力法求解的基本结构也不是唯一的。,解法 2：,解法3：,单位和载荷弯矩图,由单位和载荷弯矩图可勾画出基本体系变形图,FP,由单位和载荷 M 图可求得位移系数、建立方程,单位和载荷弯矩图,问题：,(),(2) 建立力法典型方程,或写作矩阵方程,小结：力法的解题步骤,(1) 确定结构的超静定次数和基本结构(体系),(
6、3) 作基本结构在单位力和载荷作用下的弯矩（内力）图,(4) 求基本结构的位移系数,(5) 求基本结构的广义载荷位移,(6) 解方程求未知力,(7)根据叠加原理作超静定结构的内力图,(8) 任取一基本结构，求超静定结构的位移,（9）对计算结果进行校核,对结构上的任一部分，其力的平衡条件均能满足。,如：,问题：使结构上的任一部分都处于平 衡 的解答是否就是问题的正确解？,假如：,由,可证：平衡条件均能满足。,但：,结论：对计算结果除需进行力的校核外， 还必需进行位移的校核。,例 1. 求解图示两端固支梁。,解：取简支梁为基本体系,力法典型方程为：,FP,单位和荷载弯矩图 为：,EI,由于,所以,
7、又由于,于是有,两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力,典型方程改写为,图乘求得位移系数为,代入并求解可得,n次超静定结构,3） 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；,4）柔度系数及其性质,对称方阵,系数行列式之值0,主系数,副系数,5)最后内力,位移的地点,产生位移的原因,13,P,1,2,3,4,5,6,EA=c,1,P,P,P,0,（1）基本体系与未知量,（2）力法方程,（3）系数与自由项,20,超静定桁架,0.396P,0.396P,0.396P,-0.604P,-0.854P,-0.56P,思考：若取上面的基本体系，力法方程有没有变化?,21,力法方程：,（4
8、）解方程,（5）内力,10-5 力法计算的简化,一、对称性的利用,对称的含义：,1、结构的几何形状和支座情况对某轴对称；,2、杆件截面和材料（E I 、EA）也对称。,4,5,6,正对称荷载,反对称荷载,1、奇数跨对称结构的半边结构,2、偶数跨对称结构的半边结构,正对称荷载作用下，对称轴截面只产生轴力和弯矩。,反对称荷载作用下，对称轴截面只产生剪力。,1）正对称荷载作用下,不考虑轴向变形条件下，可简化为：,2）反对称荷载作用下,7,（2）未知力分组和载荷分组,力法典型方程成为：,对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：,（3）取半结构计算：,问题：偶数跨对称刚架如何处理？,（d）,（c
9、）,例 1. 试用对称性对结构进行简化。EI为常数。,方法 1,无弯矩， 不需求解,方法 2,无弯矩， 不需求解,二、 使单位弯矩图限于局部,三、 合理地安排铰的位置,对称结构按跨数可分为,返 回,支座移动时的计算,h,1,“c”,1,基本方程的物理意义？,基本结构在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。,（1）等号右端可以不等于零,（2）自由项的意义,（3）内力仅由多余未知力产生,（4）内力与EI 的绝对值有关,讨论:,2,方程的物理意义是否明确？,例 5. 求解图示刚架由于支座移动所产生的内力。,解：取图示基本结构,力法典型方程为：,其中 为由于支座移动所产生的位移,即,EI常数,最后内力（M图）：,这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？,支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度 EI 有关 吗？,单位基本未知力引起的弯矩图和反力,1、2、3等于多少？,ij与荷载作用时一样,由自乘、互乘求,问题：如何建立如下基本结构的典型方程？,
