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1、基于基于 MATLABMATLAB 抛体运动的分析抛体运动的分析 作者：昊学长作者：昊学长 本文将采用 MATLAB 对抛体运动中的有阻尼抛体运动和无阻尼抛 体运动的运动轨迹进行分析。 一一、理论分析理论分析 我们研究的抛体运动为斜抛运动，设物体斜抛的初速度为 0 v，重 力加速度为 g，在无阻尼抛体运动中，我们不计空气阻力， 在无阻尼抛体运动中，物体的斜抛运动是水平方向的匀速直线运 动和竖直上抛运动的合运动，物体的运动方程为 2 0 0 2 1 sin cos gttvy tvx 消除 t 可得轨迹方程 2 2 0 2 cos2 tan v gx xy 令0y，可得水平射程 g v X 2s
2、in 2 0 在有阻尼抛体运动中，设阻尼系数为 b，物体质量为 m，我们近似认 y x O v0 v0x v0y 为阻力 F 只与速度v的量值成正比，即bvF 抛体在xy平面内运动，其运动的微分方程为 y y x x bvmg dt dv m bv dt dv m 设当0t， 0xx vv ， 0yy vv ，对上式进行一次积分后，得到 b mg ev b mg vy evvx m bt m bt yy xx 0 0 再进行一次积分，并设0t，0x，0y，则得 t b mg e b mv b gm y e b mv x m bt m bt y x 1 1 0 2 2 0 消除 t，得到轨道方程
3、为 tan cos sin cos,sin ln 0 0 0 0 0000 0 0 2 2 0 0 0 v v v v vvvv bxmv mv b gm x v v bv mg y x y xy x x x y x 即 bxmv mv b gm x bv mg y x x x0 0 2 2 0 lntan 二、二、程序设计程序设计 （1）初速度 0 v 相同，不同，有阻尼与无阻尼的比较 clear v0=10; g=9.8; m=5; b=0.2; theta=15:15:75; th=theta*pi/180; x1=linspace(0,11,1000); x2=linspace(0,1
4、1,1000); TH,X1=meshgrid(th,x1); TH2,X2=meshgrid(th,x2); Y1=X1.*tan(TH)-g*X1.2/v02/2./cos(TH).2; Y2=(m.*g./b./v0./cos(TH2)+tan(TH2).*X2-m.2.*g./b.2.*log(m.*v0.*cos(TH)./ (m.*v0.*cos(TH)-b.*X2); plot(x1,Y1(:,1),x2,Y2(:,1) hold on plot(x1,Y1(:,2),x2,Y2(:,2) hold on plot(x1,Y1(:,3),x2,Y2(:,3) hold on pl
5、ot(x1,Y1(:,4),x2,Y2(:,4) hold on plot(x1,Y1(:,5),x2,Y2(:,5) hold on axis(0 11 0 5) title(有阻力与无阻力的抛体运动，初速度相同不同) xlabel(x/m) ylabel(y/m) grid on 01234567891011 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 有 阻 力 与 无 阻 力 的 抛 体 运 动 ， 初 速 度 相 同 不 同 x/m y/m （2）初速度相同， 0 v 不同，有阻尼与无阻尼的比较 clear theta=45; g=9.8; m=5; b=0.2;
6、 v0=10:10:50; th=theta*pi/180; x1=linspace(0,260,1000); x2=linspace(0,220,1000); V0,X1=meshgrid(v0,x1); V02,X2=meshgrid(v0,x2); Y1=X1.*tan(th)-g*(X1.2)./V0.2/2/cos(th).2; Y2=(m.*g./b./V02./cos(th)+tan(th).*X2-m.2.*g./b.2.*log(m.*V02.*cos(th)./ (m.*V02.*cos(th)-b.*X2); plot(x1,Y1(:,1),x2,Y2(:,1) hold
7、 on plot(x1,Y1(:,2),x2,Y2(:,2) hold on plot(x1,Y1(:,3),x2,Y2(:,3) hold on plot(x1,Y1(:,4),x2,Y2(:,4) hold on plot(x1,Y1(:,5),x2,Y2(:,5) hold on axis(0 270 0 65) title(有阻力与无阻力的抛体运动，相同初速度不同) xlabel(x/m) ylabel(y/m) grid on 050100150200250 0 10 20 30 40 50 60 有 阻 力 与 无 阻 力 的 抛 体 运 动 ， 相 同 初 速 度 不 同 x/m
8、 y/m （3）在 0 v 、相同的情况下，改变阻尼系数 b 的情况 clear theta=45; g=9.8; m=5; b=1:4; v0=10; th=theta*pi/180; x=linspace(0,9); B,X=meshgrid(b,x); Y=(m*g./B/v0/cos(th)+tan(th).*X-m.2.*g./B.2.*log(m.*v0.*cos(th)./ (m.*v0.*cos(th)-B.*X); figure plot(x,Y(:,1) hold on plot(x,Y(:,2) hold on plot(x,Y(:,3) hold on plot(x,Y
9、(:,4) hold on axis(0 9 0 2.5) title(v0、相同，改变 b（阻尼系数）的情况) xlabel(x/m) ylabel(y/m) grid on 0123456789 0 0.5 1 1.5 2 2.5 v0、 相 同 ， 改 变 b（ 阻 尼 系 数 ） 的 情 况 x/m y/m （4）在 0 v 、相同的情况下，改变质量 m 的情况 clear theta=45; g=9.8; m=1:4; b=0.2; v0=10; th=theta*pi/180; x=linspace(0,15,1000); M,X=meshgrid(m,x); Y=(M*g./b/
10、v0/cos(th)+tan(th).*X-M.2.*g./b.2.*log(M.*v0.*cos(th)./ (M.*v0.*cos(th)-b.*X); plot(x,Y(:,1) hold on plot(x,Y(:,2) hold on plot(x,Y(:,3) hold on plot(x,Y(:,4) hold on axis(0 15 0 3) title(v0、相同，改变 m（质量）的情况) xlabel(x/m) ylabel(y/m) grid on 012345678910 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 v0、 相 同 ， 改 变 m（ 质 量 ） 的 情 况
11、 x/m y/m （5）在 0 v 、相同的情况下，我们发现当 45的时候，射程最大， 所以程序设计如下： clear v0=10; g=9.8; b=0.2; theta=15:15:75; th=theta*pi/180; x=linspace(0,11,1000); TH,X=meshgrid(th,x); Y=X.*tan(TH)-g*X.2/v02/2./cos(TH).2; plot(x,Y(:,1) hold on plot(x,Y(:,2) hold on plot(x,Y(:,3) hold on plot(x,Y(:,4) hold on plot(x,Y(:,5) hol
12、d on axis(0 11 0 5) xlabel(x/m) ylabel(y/m) thm=asin(max(sin(2*th)/2; text(v02*sin(2*thm)/g)/2,v02*sin(thm)2/2/g,h=2.5510m,FontSize, 12) text(v02*sin(2*thm)/g-0.5,-0.4,Sm=10.2041m,FontSize,12) text(8,3,m=pi/4,FontSize,12) grid on 01234567891011 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x/m y/m h=2.5510m Sm=10.2041m m=pi/4 三、三、心得体会心得体会 此次程序设计， 是用 MATLAB 研究抛体运动的有阻尼与无阻尼的运 动轨迹，看似简单，实际操作时候却一点都不简单，我在设计中遇到 很多问题，其中让我印象最深刻的就是在代码的输入时，由于对代码 的不熟悉，所以输入的代码显得冗长，后来经过大量查找资料，才把 代码精简到现在的程度，另外，还有在设计有阻尼抛体运动时候，对 于阻尼系数与运动轨迹存在什么样的关系并不了解， 在推导运动方程 的时候遇到障碍，后来是参考了周衍柏的理论力学一书，才完成 了有阻尼抛体运动的分析理解。
