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1、,的方程称为变量可分离方程。,1.2 积分法与可变量可分离方程,这里,是连续函数.,该方程的特点:方程的右端是两个独立的一元函数之积.,一、 变量可分离方程的求解,当,方程（1.2.1）两边同除以,得,这样对上式两边积分得到,时得y值也可能为方程的解。所以要考虑,的情况，,解：变量分离后得,上式两边积分得,该解,在,无定义, 故通解在,中有定义.,该方程对应的解我们称为常数解,解: 变形为,积分得:,求积分得:,解得:,故所有的解为:,二、 齐次方程,引入一个新变量化为变量可分离方程,求解思想:,求解。,例1.2.3 求下面初始值问题,解：方程为一齐次方程，令,求导后得,分离变量得,故有,即,
2、积分上式得,代入上式解出,注:当方程右端是一些线性分式函数时，可化为,齐次方程。,三、 可化为齐次方程的方程,(1),此时二元方程组,有惟一解,引入新变量,此时, 方程可化为齐次方程:,或者有,不妨是前者, 则方程可变为,4. 对特殊方程,令,代入原方程可得到齐次方程,还原后得原方程通解为,变量分离后积分,例:雪球融化问题,设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比 例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在 开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩 小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。,解:设t时刻雪球的体积为,，表面积为,，由题得,球体与表面积的关系为,1.2.3变量可分离方程的应用,分离变量积分得方程得通解为,再利用条件,确定出常数C和r代入关系式得,
