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1、第七章 空间解析几何与向量代数第一节 向量及其线性运算1,;,;2 ；3 、 、4 ；5 第二节 数量积 向量积1 2 3 4 解：5 解： ，第三节 曲面及其方程1 ，旋转抛物面；，圆锥面； 和，旋转双叶双曲面和旋转单叶双曲面2 即第四节 空间曲线及其方程 1 2 3 或第五节 平面及其方程1 （1） z=3； （2） ； （3） ； （4）2 解：平面与向量和都平行，则平面的法线向量与和都垂直，所以所以平面的点法式方程为：即 3 解：平面的法线向量所以平面的点法式方程为：即 第六节 空间直线及其方程1 ，2 3 4 5 解：方法1：过点作平面和直线垂直的平面方程，此平面的法线向量为则此平面
2、方程为 平面与直线的交点由方程组求得所以点与直线之间的距离方法2：如图所示：直线上有一点则向量直线的方向向量所以距离方法3：直线的参数方程为：，则垂足的坐标则向量而，所以即所以6 解：平面过原点，所以可设平面的一般方程为 （1）已知的两个平面的交线上 有点 则点在平面上，将坐标代入（1）中，有 所以方程（1）为：即平面方程为 综合题1、 解：如图 =+=+，=+=+,故四边形为平行四边形。2、3、解：（1） 当01，即时，与夹角是锐角。（2） 当-10，即时，与夹角是钝角。（3） 当=0，即时，与垂直。（4） 当=0，即时，与同向。（5） 当，即时，与平行。6、解：过两平面交线的平面束方程为，
3、即，的方向向量。两个平面的法向量为，由，求得。角平分面方程为：。7、解：平面的法向量为=直线的方向向量为=，故=，所以直线与平面垂直。8、解：直线的方向向量为=平面的法向量为=（1）若平行，与垂直，数量积为0，得到。：，：取上一点（0，1，2），过点垂直于的直线方程为：， 与的交点为（，），则（2）当时，相交。，求得交点坐标为（，）第七章 测验题1、 填空题（1）（，）（2）（，），（，）（3）；，（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）2、证明: =()+= 共线。3、证明：由，则/，所以共面。 ，设平面的法向量为，则可取=所求平面方程为。4、解：过的平面束方程为，即，平面的法向量为。原
4、平面的法向量为，则=，求得。将代入平面束方程，可得所求平面方程为。5、解：设所求点为，记直线：，直线：，到距离的平方为。的方向向量为，过垂直于的平面为，与的交点为。到的距离平方为，得=，整理得。轨迹方程为，双曲抛物面。6、解：过点且平行于平面的平面方程为,取上的点，则，过和的平面的法向量可取=，过和的平面方成为：。的方程为。7、解：直线记为，点记为，的方向向量（即过点且垂直的平面的法向量）为=，平面的方程：。求出与的交点为，=。8、解：yoz坐标平面上的投影曲线为zox坐标平面上的投影曲线为xoy坐标平面上的投影曲线为河北工程大学高等数学同步练习第九章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的
5、基本概念1. 求定义域(1)(x,y) ；(2)2k；(3)(x,y,z).2.求极限(1);(2)0 ;(3);(4).3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值(1)沿直线y=kx趋于点（0，0）时，,不存在;(2)沿直线y=0,极限为1；沿曲线y=,极限为0，不存在 ;(3).极限为0 .4.因当时， ,所以，故连续.第二节 偏导数1. 求下列函数的偏导数(1); 2x(1+xy);(2)yzcos(xyz)+2xy ; xzcos(xyz)+;(3) , .2. .3.4.5.第三节 全微分1. 求下列函数的全微分解：(1)(2)2.解：第四节1.解：2.解：(1)(2)3. 解：4
6、. 解：第五节1.解：令2. .解：令3.证明：6.（1）解：方程两边对y求导，得：（3）7.证明： 由， 代入，得 第六节 多元函数微分学的几何应用1 解：切向量 切线：, 法平面：. 在任一点 处，是定数， 所以交成定角。2 解： 令 , , , 切平面方程为： (x-1)-(z-1)=0,即x-z=0法线方程为：. 3. 证明：令 切平面：即 截距和为 . 第七节 方向导数与梯度1 . 解：M1M2, .2.解： , .3.解： |u | . 第八节 多元函数的极值1 解：令得驻点： , , , 当时，只有驻点,不取极值; 当时，在点，, ，无极值 ;在点，,，无极值.同理，在点无极值.
7、 在点, 取极大值.2.解：令 , 得驻点 , .在边界上，当时，,取最大值16，最小值； 当时,取最大值17，最小值;当时,取最大值最小值;当时, 取最大值17，最小值16 ;所以在该区域上的最大值为，最小值为.3.8816解：点到三直线的距离的平方和为：, 令 , 解得唯一驻点， 故所求点为：.4解：设椭圆上的点的坐标为， 到原点的距离的平方为： 距离的平方的最值点也是距离的最值点，令： 由 解得， 代入： 解出： 坐标是可能的两个极值点，由题意： 距离的最大值和最小值一定存在，最值一定是极值，可能取极值的点只有个， 所以最长距离为，最短距离为. 第九章综合题答案1.解:矩形的对角线为:
8、当时, 所以矩形的对角线约减少5厘米.2.解:因为,且所以,.所以函数在点连续同理可得,所以函数在点偏导数存在.在点,函数增量与全微分的差为:,所以函数在点可微.3.(1)解: (2)解: 4.解: 5证明:, 所以 又因为 所以6证明：因为 所以7证明：，所以，8（1）解：方程两边对x求导，得：所以，（2）解：方程两边对x求导，得： ，所以，同理可得：，9解：设曲线的参数方程为，切向量为： 原方程两边对y求导，得： 解得：，。 切向量为： 切线方程为： 法平面方程为：10证明：，在任一点的切平面的法向量为： 切平面方程为： 点(a,b,c)满足平面方程，所以曲面上任一点的切平面通过点(a,b
9、,c)。11解：令 12解：的参数方程为： 相应的切向量为： 逆时针旋转得内法线得方向向量为： 所求方向导数为：13.解:令 14.解:设矩形的一边长为x,则另一边长为(p-x)，绕(p-x)旋转,则体积V为: 由问题的实际意义知有最大值,且驻点唯一,所以当边长为时,绕短边旋转体积最大.注:本题也可用条件极值的方法完成.第九章测试题答案1.选择题(1):B (2):B (3):B (4):C (5):D2.填空题: (1): (2): (3): (4):极大值 (5):3求函数的偏导数(1):解 (2)解:令(3)解:4.解:对方程两边求微分得: 5解: 6.解:7解:令: 第九章 重积分第一
10、节 二重积分的概念与性质11）、；2）、. 2 . 31）、；2）、；3)、；4解： 是有界闭区域，又. 于是由二重积分中值定理，知：，使= =.第二节 二重积分的计算法1（1）解： （2）解：=3（1）、；（2）、（3）、4（1）解：= （2）解：= （3）解： （D关于x轴对称）=2=2=5解：=第三节 三重积分1（1）解一：= 解二：因为被积函数关于变量是奇函数，积分区域关于面对称， 所以 （2）解：=2解：由题设，知：； 又由对称性，有 而 ； 故，3（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：因为被积函数关于变量z是奇函数，积分区域关于面对称，所以积分为零.第四节 重积分的应用1 解：2 解：由，有 ，所以 又 ； 因此，3解：因为，所以4（1）解：因为所以 ； 故，所求
