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1、河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷一. 单项选择题（每题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.1. 函数的定义域为 （ ） A. B. C. D. 解：.2. （ ） A.1 B. 0 C. D. 解：.3. 点是函数的 ( ) A.连续点 B. 跳跃间断点 C.可去间断点 D. 第二类间断点解: .4.下列极限存在的为 （ ） A. B. C. D. 解:显然只有,其他三个都不存在,应选B.5. 当 时，是比的（ ）A低阶无穷小 B高阶无穷小 C等阶无穷小 D.同阶但不等价无
2、穷小解: ,. 6.设函数，则 （ ）A在处连续，在处不连续 B在处连续，在处不连续 C在，处均连续 D在，处均不连续解: 在处连续; 在处不连续;应选A.7.过曲线上的点(0,1)处的法线方程为 （ ）A. B. C. D. 解: .8.设函数在处可导，且，则（ ）A. -1 B.1 C. -3 D. 3 解：,应选C.9.若函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 解：,应选B. 10.设函数由参数方程确定，则 （ ）A.-2 B.-1 C. D. 解： ,应选D.11.下列函数中，在区间-1,1上满足罗尔中值定理条件的是 （ ）A. B. C. D. 解：验证罗尔中值定理的条件,只有满
3、足,应选C. 12. 曲线的拐点是 （ ）A. B. C.无拐点 D. 解: ,应选B.13. 曲线 （ ）A. 只有水平渐进线 B. 既有水平渐进线又有垂直渐进线C. 只有垂直渐进线 D. 既无水平渐进线又无垂直渐进线解： .14.如果的一个原函数是,那么 （ ） A. B. C. D. 解：,应选D.15. ( )A . B.C. D. 解: ,应选A.16.设，则的取值范围为 ( )A . B. C. D. 解:此题有问题,定积分是一个常数,有,根据定积分的估值性质,有,但这个常数也在其它三个区间,都应该正确,但真题中答案是B.17. 下列广义积分收敛的是 （ ）A. B. C. D.
4、解:显然应选D.18. （ ） A. B. C. D. 解：,应选D.19.若可导函数，且满足，则 （ ） A. B. C. D. 解：对两边求导有:,即有 ,还初始条件,代入得,应选A.20. 若函数满足，则 （ ）A. B. C. D. 解：令,则,故有,应选C.21. 若 则 ( )A B C D 解: ,应选C.22.直线与平面的位置关系为 A. 直线与平面斜交 B. 直线与平面垂直 C. 直线在平面内 D. 直线与平面平行 解： ,而点(-2,-4,0)不在平面内,为平行,应选D.23. （ ） A. 2 B.3 C. 1 D.不存在 解: ,应选A.24.曲面在点（1，2，5）处切
5、平面方程（ ）A B C D解:令,也可以把点（1，2，5）代入方程验证,应选A.25.设函数，则 （ ）A. B. C. D. 解: ,应选B.26.如果区域D被分成两个子区域和且，,则 ( )A. 5 B. 4 C. 6 D.1解:根据二重积分的可加性, ,应选C.27.如果是摆线从点到点的一段弧，则 ( )A. B. C. D. 解:有此积分与路径无关,取直线段从变到0,则 ,应选C.28.以通解为（为任意常数）的微分方程为 ( ) A. B. C. D. 解: ,应选B.29. 微分方程的特解形式应设为 （ ）A . B. C. D.解:-1是单特征方程的根,是一次多项式,应设,应选A
6、.30下列四个级数中，发散的级数是 （ ）A. B. C. D. 解:级数的一般项的极限为,是发散的,应选B.二、填空题（每题2分，共30分）31的_条件是. 解：显然为充要(充分且必要).32. 函数在区间单调 ，其曲线在区间内的凹凸性为 的. 解：在内单调增加,在内大于零,应为凹的. 33.设方程为常数)所确定的隐函数 ,则_.解： .34. .解: .35. .解：函数在区间是奇函数，所以.36. 在空间直角坐标系中,以为顶点的的面积为_ .解：，所以的面积为.37. 方程在空间直角坐标下的图形为_.解:是椭圆柱面与平面的交线,为两条平行直线.38.函数的驻点为 . 解: . 39.若，
7、则 . 解: .40.解: .41.直角坐标系下的二重积分(其中为环域)化为极坐标形式为_.解：.42.以为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为 .解:由为通解知,有二重特征根-3,从而,微分方程为.43.等比级数,当_时级数收敛,当_时级数发散.解: 级数是等比级数, 当时,级数收敛,当时,级数发散.44.函数展开为的幂级数为_解: .45.的敛散性为_的级数. 解:,级数发散.三、计算题（每小题5分，共40分）46求.解： .47. 求.解：.48.已知,求.解： .49. 计算不定积分.解：.50.求函数的全微分. 解：利用微分的不变性,.11251计算，其中是由所围成的闭区域. 解：积分
8、区域如图所示:把区域看作Y型,则有,故 .52求微分方程满足初始条件的特解. 解:这是一阶线性非齐次微分方程,它对应的齐次微分方程的通解为,设是原方程解,代入方程有,即有,所以,故原方程的通解为,把初始条件代入得:,故所求的特解为.53求级数的收敛半径及收敛区间(考虑区间端点).解：这是标准的不缺项的幂级数,收敛半径,而,故收敛半径.当时,级数化为,这是调和级数,发散的;当时,级数化为,这是交错级数,满足莱布尼兹定理的条件,收敛的;所以级数的收敛域为.四、应用题（每题7分，共计14分）1154. 过曲线上一点作切线，是由曲线，切线及轴所围成的平面图形，求（1）平面图形的面积;（2）该平面图形绕
9、轴旋转一周所成的旋转体的体积. 解：平面图形D如图所示：因,所以切线的斜率,切线的方程为,即取为积分变量，且.（1）平面图形D的面积为.（2）平面图形D绕轴旋转一周所生成旋转体的体积为 .55.一块铁皮宽为24厘米,把它的两边折上去,做成一正截面为等腰梯形的槽(如下图),要使梯形的面积最大,求腰长和它对底边的倾斜角. 解: 梯形截面的下底长为,上底长为,高为,所以截面面积为 ,即,令得唯一驻点.根据题意可知,截面的面积最大值一定存在,且在内取得,又函数在内只有一个可能的最值点,因此可以断定时,截面的面积最大.五、证明题（6分）56. 证明方程在区间内仅有一个实根.证明：构造函数 ,即有,显然函数在区间连续,且有,由连续函数的零点定理知方程即在区间有至少有一实数根.另一方面, 在
