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1、7.8 多元函数的极值及其求法,7.8.1 极值及最大值、最小值,7.8.2 条件极值,7.8.1 极值及最大值、最小值 1 极值概念,定义7.10,设函数,的定义域为D,为D的内点.,若存在,的某个邻域,使得对于该邻域内异于,的点,都有,则称函数在,有极大值,点,称为函数的,极大值点；,若有,则称函数在,有极小值,点,称为函数的,极小值点.,极大值、极小值统称为极值.,使得函数取得,极值的点称为极值点.,例,例,例,在,处有极小值.,在,处有极大值.,在,处无极值.,2 取极值的必要条件,定理7.10,设函数,在点,具有偏导数，,且在点,处有极值，,则它在该点,的偏导数必然为零：,驻点,极值
2、点,注意：,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零,的点，均称为函数的驻点.,例如, 点(0,0)是函数,的驻点，,证,定理7.10,设函数,在点,具有偏导数，,且在点,处有极值，,则它在该点,的偏导数必然为零：,从几何上看，这时如果曲面,在点,处有切平面，则切平面,3 取极值的充分条件,定理7.11,设函数,在点,的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又,令,则,在点,处是否取得极值的条件如下：,（1）,时具有极值，,当,时有极大值，,当,时有极小值；,（2）,时没有极值；,（3）,时可能有极值,也可能没有极值，,还需另作讨论,求出实数解，得驻点.,求出二阶偏导数的值A、B、C.,例1,解
3、,先解方程组,再求出二阶偏导数,如果三元函数u =f (x,y,z)在点,考虑三元函数的极值,偏导数，,则它在点,有极值的必要条件为,满足上述条件的点仍称为驻点.,若点M0是f(x, y, z)的驻点, f(x, y, z)在点M0处所有的二阶偏导数都连续, 则当矩阵,具有,为正定阵时,点M0为极小值点;,为负定阵时,点M0为极大,值点;,如矩阵不是正定阵,也不是负定阵, 则点M0不是极,值点.,最大值，最小值,将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,在
4、通常遇到的实际问题中，所确定的函数只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是最大值(最小值).,求最值的一般方法：,例2,求函数,在闭区域D,的最大值与最小值，其中D是,由,得f (x,y)在区域D内的唯一驻点(1,0),且 f (1,0)=1.,在该圆上函数值均为零，因此,解,例3 某厂要用铁板做成一个体积为,的有盖长,方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.,解,设水箱的长为,则其高应为,此水箱所用材料的面积,即目标函数为,令,解得,根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一 定存在，又函数只有唯一的驻点，因此函数取得最 小值.,所用的材料最省.,将一个正数a 表为三个正
5、数之和, 使这三个正数的积为最大.,例4,解,设这三个正数分别是x、y、z, 则x+y+z=a.,它们的积为xyz，由于z =axy,所以问题就变为求函数,在区域D=(x, y)|x0, y0, x+ya内的最大值问题.,解方程组,得到四个驻点,但前三个点都不在区域D内, 在D内只有一个驻点,在该点,故,是函数在D内唯,一的极值点,且为极大值点,也就是函数的最大值点.,这时,可见当三个数相等时,其乘积最大.,7.8.2 条件极值,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,条件极值：对自变量有附加条件的极值,对于有些实际问题，可以把条件极值化为无条件极值.但在很多情形下，将条件极
6、值化为无条件极值并不简单.我们另有一种直接寻求条件极值的方法，可以不必先把问题化到无条件极值的问题，这就是拉格朗日乘数法.,要找函数,在条件,下的可,能极值点，先构造函数,其中,为某一常数，可由,解出,其中,就是可能的极值点的坐标.,拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：,要找函数,在条件,下的极值，,先构造函数,其中,均为常数，可由 偏导数为零及条件解出,即得极值点的坐标.,例5 某厂要用铁板做成一个体积为,的有盖长,方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.,解,目标函数为f(x, y, z)=2(xy+xz+yz),约束条件为,xyz2=0.,由拉格朗日乘数法,构造拉
7、格朗日函数,x0,y0,z0,得到方程组,将方程组中的第一、二、三个方程的两端分别乘上,x、y、z后即可以得到x=y=z，,再将此结果代到最后一,个方程中，即得x=y=z=,例6,求椭球面,使长方体的体积为最大.,的内接长方体,解,设长方体与椭球面在第一卦限内的接点坐标为,(x, y, z),则内接长方体的体积为8xyz,构造函数,x0,y0,z0,得方程组,（1）,由方程组的前三个方程得到,将其代入到最后一个方程中,即得,由于体积最大的内接长方体一定存在,方程组(1)的解,又是唯一的,故,就是所求的最大值,点.,所求的最大体积为,例7.抛物面,椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.,解,设椭
8、圆上点的坐标为,满足,令,并使之为零，再结合条件，得,解出,例8.,求函数f(x, y)=xy在闭区域,上的,最大值与最小值,解,由fx(x, y)=y=0, fy(x, y)=x=0,得到函数在区域内,的唯一驻点为(0,0),且 f(0,0)=0.,的边界x2+ y2=1上的最大值与最小值.设,下面考虑函数在区域,则,该方程组的解为,所求的点由四个,在P1和P2两个点上, 函数值为,在P3和P4两个点上,函数值为,因此函数z =xy在闭区域,上,它们都是在边界上取得的.,例9 某公司通过电视和报纸两种媒体作广告, 已知销售收入R(万元)与电视广告费x(万元)、报纸广告费y(万元)的关系为 R
9、(x, y)=15+14x+32y8xy-2x210y2 . (1) 在广告费用不限的情况下,求最佳的广告策略; (2) 如果提供的广告费用为1.5万元, 求最佳的广告策略.,根据题意, 最佳的广告策略一定存在,故点(1.5, 1)就是所求的最大值点.即当电视广告费与报纸广告费分别为1.5万元和1万元时,销售收入最高,为R(1.5,1)=41.5万元.,解,(1) 求最佳广告策略即求R(x, y)的最大值.,解方程组,解得唯一驻点x=1.5, y=1.,根据题意, 最大值存在,故当广告费用为1.5万元时销售收入最高为R(1.5, 0)=40.5万元. 即只做报纸广告为最佳的策略.,(2) 求广
10、告费用为1.5万元时的最佳广告策略,就是,在x+y=1.5的条件求R(x, y)的最大值.设,F(x, y)= 15+14x+32y8xy-2x210y2+,解得唯一驻点x=0, y=1.5.,例10 设某电视机厂生产一台电视机得成本为c，每台电视机得销售价格为p，销售量为x .假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量.根据市场预测，销售量x与销售价格p 之间有下面的关系：,(1),其中M 为市场最大需求量，a 是价格系数.同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c 有如下测算：,(2),根据上述条件，应如何确定电视机的售价p，才能使该厂获得最大利润？,其中c0
11、是只生产一台电视机的成本，k是规模系数.,例10 解,设厂家获得的利润为,作拉格朗日函数,将（1）代入（2），得,（3）,（4）,（5）,将（3）、（4）、（5）代入,由此得电视机的最优价格,练习1,有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽.,练习3,练习2,问怎样折法才能使断面的面积最大.,求二元函数,在直线 x+y =6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域上的最 大值与最小值.,练习4,练习5,在第一卦限内作椭球面,的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体,体积最小，求切点坐标.,将正数12分成三个正数x、y、z之和使得,为最大.,练习1,解,练习2 有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽.问怎样折法才能使断面的面积最大.,解,设折起来的边长为,如图,那么梯形断面的下底长为,即目标函数为,令,解方程组，得,目标函数只有一个驻点，因此可以断定，,就能使断面的面积最大.,练习3,解,练习4,解,则,练习5,解,可得,即,
