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1、高三数学(理科答案) 第 1 页(共 7 页) 北京市西城区高三模拟测试 数学(理科)参考答案及评分标准 2019.5 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分. 1B 2C 3D 4A 5B 6C 7D 8C 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分分. 910 10 2 2 1 4 y x , 2yx 11 2 4 122 13答案不唯一,如4 n an 14 注:第注:第 10 题第一问题第一问 3 分,第二问分,第二问 2 分分;第第 14 题题漏选、多选或错选均不得分
2、漏选、多选或错选均不得分. 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 80 分分. . 其他正确解答过程,请参照评分标准给分其他正确解答过程,请参照评分标准给分. . 15 (本小题满分 13 分) 解: ()因为 ( )cos(2)2sin cos 6 f xxxx cos2 cossin2 sinsin2 66 xxx 4 分 33 sin2cos2 22 xx 3sin(2) 6 x. 6 分 所以函数( )f x的最小正周期 2 2 T . 8 分 ()由() ,知 ( )3sin(2) 6 f xx, 所以 5 ( )3sin2()3sin(2) 366 g x
3、xx. 10 分 由 5 2 22 262 kxk,kZ, 得 2 36 kxk , 所以( )g x的单调增区间为 2 , 36 kk,kZ. 13 分 (注:单调区间写成开区间不扣分) 高三数学(理科答案) 第 2 页(共 7 页) 16 (本小题满分 14 分) 解: ()将从 A,B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的 1 部手机记为甲和乙,记 事件“甲手机为 T 型号手机”为 1 M,记事件“乙手机为 T 型号手机”为 2 M, 依题意,有 1 122 () 6 123 P M , 2 93 () 695 P M ,且事件 1 M, 2 M相互独立. 2 分 设“抽取的 2
4、部手机中至少有 1 部为 W 型号手机”为事件M, 则 12 233 ()1()1 355 P MP MM . 即抽取的 2 部手机中至少有 1 部为 W 型号手机的概率为 3 5 . 4 分 ()由表可知:W 型号手机销售量超过 T 型号的手机店共有 2 个, 故X的所有可能取值为:0,1,2. 5 分 且 03 23 3 5 CC1 (0) C10 P X , 12 23 3 5 CC3 (1) C5 P X , 21 23 3 5 CC3 (2) C10 P X . 所以随机变量X的分布列为: X 0 1 2 P 10 1 5 3 10 3 8 分 故 5 6 10 3 2 5 3 1
5、10 1 0)(XE. 10 分 ().9 2 ms 13 分 17 (本小题满分 14 分) 解: ()在图 1 中,由2AE ,2 2AF ,45A ,得AEEF. 所以在图 2 中 1 AEEF. 1 分 因为平面 1 AEF 平面BCDEF,平面 1 AEF 平面BCDEFEF, 所以 1 AE 平面BCDEF. 3 分 又因为CD平面BCDEF, 所以 1 AECD. 4 分 高三数学(理科答案) 第 3 页(共 7 页) ()由()可得 1 ,EF ED EA两两垂直,故以 1 ,EF ED EA分别为x轴、y轴和z轴,如 图建立空间直角坐标系, 5 分 则(0,0,0)E,(2,
6、0,0)F,(0,2,0)D,(4,2,0)B,(4,6,0)C, 1(0,0,2) A,(2,3,1)M. 所以(4,0,0)DB ,(2,1,1)DM . 设平面MBD的一个法向量为( , , )x y zm, 由0DB m,0DM m,得 40, 20, x xyz 令1y ,得(0,1, 1)m. 7 分 易得平面BCD的法向量(0,0,1)n. 所以 2 cos, |2 m n m n m n . 由图可得二面角MBDC为锐二面角, 所以二面角MBDC的大小为45 . 9 分 ()当N为线段 1 AD的中点(注:表述不唯一)时,平面/NEF平面MBD. 10 分 证明如下: 由N为线
7、段 1 AD的中点,得(0,1,1)N. 所以(0,1,1)EN ,又因为(2,0,0)EF , 设平面NEF的法向量为( , , )a b cu, 由0EN u,0EF u,得 0, 20, bc a 令1c ,得(0, 1,1)u. 12 分 又因为平面MBD的法向量为(0,1, 1)m, 所以mu,即/mu, 所以平面/NEF平面MBD. 14 分 M A1 B C D E F z x y N 高三数学(理科答案) 第 4 页(共 7 页) 18 (本小题满分 13 分) 解: ()求导,得( )2lnfxx, 1 分 所以曲线( )yf x在点 00 (,()xf x处的切线的斜率为
8、00 ()2lnfxx. 3 分 由题意,得 0 2ln1x, 解得 1 0 0ex . 5 分 () “ 1 ( )() 2 f xk x对(0,)x恒成立”等价于“当0x 时, 1 ( )()0 2 f xk x恒成立”. 令 11 ( )( )()ln(1) 22 g xf xk xxxk xk, 7 分 求导,得( )ln2g xxk, 由 ( )0g x ,得 2 ekx . 8 分 随着 x 变化, ( )g x 与 ( )g x的变化情况如下表所示: x 2 (0,e) k 2 ek 2 (e,) k ( )g x 0 ( )g x 极小值 所以 ( )g x在 2 (0,e)
9、k 上单调递减,在 2 (e,) k 上单调递增. 所以函数( )g x的最小值 22 1 (e)e0 2 kk gk . 10 分 令 2 1 ( )e 2 k h kk ,则 2 2 1 (2)2e0 2 h , 当2k 时, 因为( )g x的最小值 2 (e)(1)0 k gg , 所以 1 ( )() 2 f xk x 对于0x 恒成立,符合题意; 11 分 当2k 时, 由 22 2 11 ( )ee0 22 k h k ,得函数 2 1 ( )e 2 k h kk 在(2,)单调递减, 所以( )(2)0h kh, 故此时 ( )g x的最小值 2 (e)( )0 k gh k
10、,不符合题意. 所以整数 k 的最大值是2 13 分 高三数学(理科答案) 第 5 页(共 7 页) 19 (本小题满分 14 分) 解: ()由题意,可知1 2 p ,所以2p . 1 分 所以抛物线方程为 2 4yx,焦点为(1,0)F. 不妨设 00 (,)A x y,则 0 |15AFx ,解得 0 4x . 代入抛物线方程,得 0 4y ,则点A的坐标为(4,4)或(4,4), 所以| 4 2OA . 3 分 故以OA为直径的圆的方程为 22 (2)(2)8xy或 22 (2)(2)8xy. 5 分 ()结论:四边形OABC不可能为等腰梯形. 6 分 理由如下: 假设四边形OABC为
11、等腰梯形, 由题意,可知直线OA的斜率k存在且不为零, 故设直线OA的方程为ykx,直线BC的方程为(1)yk x, 11 ( ,)B x y, 22 (,)C xy, 7 分 联立 2 , 4 , ykx yx 消去 y,得 22 40k xx, 解得0x 或 2 4 x k , 所以点 2 44 (,)A kk ,线段OA的中点M的坐标为 2 22 (,) kk . 9 分 联立 2 (1) 4 yk x yx , , 消去 y,得 2222 (24)0k xkxk. 因为直线BC过焦点(1,0)F,斜率存在且不为 0,所以0 恒成立, 所以 2 12 2 24k xx k , 12 1x
12、 x . 11 分 设线段BC的中点为 33 (,)N x y, 则 2 12 3 2 2 2 xxk x k , 33 2 (1)yk x k ,故 2 2 2 2 (, ) k N kk . 12 分 因为直线MN的斜率 2 22 22 0 22 MN kk k k kk ,OA的斜率为k, 高三数学(理科答案) 第 6 页(共 7 页) 所以1 MN kk ,故直线MN与直线OA不垂直. 这与等腰梯形上下底中点的连线垂直于上下底矛盾, 所以四边形OABC不可能为等腰梯形. 14 分 20 (本小题满分 13 分) 解: () 100 (1,1,0)X. 3 分 ()假设, iii a b c三个数中有 2 个为 0,或三个数均为 0. 4 分 (1)当, iii a b c三个数中有 2 个为 0 时,显然i1. 不妨设0(1) ii abi,0 i c , 则 11 | 0 iii aab , 11 | 0 iii bbc ,即 111iii abc . 这与 11 | 0 iii cca 矛盾;