概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案

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1、 1 第六章第六章参数估计参数估计习题习题 6.1 1 设 X1, X2, X3是取自某总体容量为 3 的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？（1） 3211 6 1 3 1 2 1 XXX+=；（2） 3212 3 1 3 1 3 1 XXX+=；（3） 3213 3 2 6 1 6 1 XXX+= 证：因=+=+= 6 1 3 1 2 1 )( 6 1 )( 3 1 )( 2 1 )( 3211 XEXEXEE， =+=+= 3 1 3 1 3 1 )( 3 1 )( 3 1 )( 3 1 )( 3212 XEXEXEE， =

2、+=+= 3 2 6 1 6 1 )( 3 2 )( 6 1 )( 6 1 )( 3213 XEXEXEE，故 321 ,都是总体均值的无偏估计；因 2222 3211 36 14 36 1 9 1 4 1 )Var( 36 1 )Var( 9 1 )Var( 4 1 )Var(=+=+=XXX， 2222 3212 3 1 9 1 9 1 9 1 )Var( 9 1 )Var( 9 1 )Var( 9 1 )Var(=+=+=XXX， 2222 3213 2 1 9 4 36 1 36 1 )Var( 9 4 )Var( 36 1 )Var( 36 1 )Var(=+=+=XXX，故

3、)Var()Var()Var( 312 = y yn n Y y n yp ，则 1 ) 1( )( e )( e )( 1 1 0 2 0 1 = = = = = + + n nn n n dyy n n dyy ny n Y n E X E n n yn n yn n ，故X/1不是的无偏估计 3 设是参数的无偏估计，且有0) (Var，试证 2 ) (不是 2的无偏估计证：因=) (E，有 2222 ) Var() () Var() (+=+=EE，故 2 ) (不是 2的无偏估计 4 设总体 X N ( , 2)， X1, , Xn是来自该总体的一个样本试确定常数 c 使 =

4、 + n i ii XXc 1 2 1 )(为 2的无偏估计解：因 E(Xi + 1 Xi )2 = Var (Xi + 1 Xi ) + E(Xi + 1 Xi )2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + E(Xi + 1) E(Xi )2 = 2 2， 2 则 22 1 1 2 1 1 1 2 1 ) 1(22) 1()()(= = + = + ncncXXEcXXcE n i ii n i ii ，故当 ) 1(2 1 = n c时， 2 1 1 2 1 )(= = + n i ii XXcE，即 = + 1 1 2 1 )( n i ii XXc是 2的无偏估

5、计 5 设 X1, X2, , Xn是来自下列总体中抽取的简单样本， + = ., 0 ; 2 1 2 1 , 1 );( 其他 x xp 证明样本均值X及)( 2 1 )()1(n XX+都是的无偏估计，问何者更有效？证：因总体 + 2 1 , 2 1 UX，有) 1, 0( 2 1 UXY+=，则 2 1 +=YX， 2 1 )1()1( +=YX， 2 1 )()( += nn YX，即 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )()1()()1( +=+ nn YYXX，可得=+=+= 2 1 )( 2 1 )()(YEYEXE， n Y n YX 12 1 )Var( 1 )Va

6、r()Var(=，因 Y 的密度函数与分布函数分别为 pY ( y) = I0 1 时， )2)(1(2 1 )( 2 1 Var 12 1 )Var( )()1( + = += nn XX n X n ，故)( 2 1 )()1 (n XX+比样本均值X更有效 6 设 X1, X2, X3服从均匀分布 U (0, )，试证 )3( 3 4 X及 4X (1)都是的无偏估计量，哪个更有效？解：因总体 X 的密度函数与分布函数分别为 )3()1( 3 4 Var)4Var(XX，故 )3( 3 4 X比 4X (1)更有效 7 设从均值为，方差为 2 0 的总体中，分别抽取容量为 n

7、1和 n2的两独立样本， 1 X和 2 X分别是这两个样本的均值试证，对于任意常数 a, b（a + b = 1）， 21 XbXaY+=都是的无偏估计，并确定常数 a, b 使 Var (Y ) 达到最小解：因=+=+=+=)()()()( 21 babaXbEXaEYE，故 Y 是的无偏估计；因 2 22 2 21 21 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 12 )1 ()(Var)(Var)(Var + + =+=+= n a n a nn nn n a n aXbXaY，令0 2 2)(Var 2 221 21 = + = n a nn nn Y da d ，得

8、21 1 nn n a + =，且02)(Var 2 21 21 2 2 + = nn nn Y ad d ，故当 21 1 nn n a + =， 21 2 1 nn n ab + =时，Var (Y ) 达到最小 2 21 1 nn + 8 设总体 X 的均值为，方差为 2，X1, , Xn是来自该总体的一个样本，T (X1, , Xn)为的任一线性无偏估计量证明：X与 T 的相关系数为)Var()Var(TX 证：因 T (X1, , Xn)为的任一线性无偏估计量，设 = = n i iin XaXXT 1 1 ),(L，则= = n i i n i ii aXEaTE 11

9、 )()(，即1 1 = = n i i a，因 X1, , Xn相互独立，当 i j 时，有 Cov (Xi, Xj) = 0，则 n a n XX n a XaX n XaX n TX n i i n i ii i n i iii n i ii n i i 2 1 2 1111 ),Cov(, 1 Cov, 1 Cov),Cov( = = = = ，因),Cov()Var( 1 )Var( 2 TX n X n X= ，故X与 T 的相关系数为 )Var( )Var( )Var()Var( )Var( )Var()Var( ),Cov( ),Corr( T X TX X TX TX

10、 TX= 9 设有 k 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i（i = 1, , k）用这些仪器独立地对某一物理量各观察一次，分别得到 X1, , Xk ，设仪器都没有系统误差问 a1, , ak应取何值，方能使 = = k i iiX a 1 成为的无偏估计，且方差达到最小？ 5 解：因 = = = k i i k i i k i ii k i ii aaxEaxaEE 1111 )() (，则当1 1 = = k i i a时， = = k i iix a 1 是的无偏估计，因 = = = k i ii k i ii k i ii axaxa 1 22

11、 1 2 1 )(VarVar) (Var，讨论在1 1 = = k i i a时， = k i ii a 1 22 的条件极值，设拉格朗日函数 += = 1),( 11 22 1 k i i k i iik aaaaLL，令 = =+= =+= = , 01 , 02 , 02 1 2 2 11 1 k i i kk k a L a a L a a L LLLLL 得 22 1 2 + = k L ， 22 1 2 + = k i i a L ，i = 1, , k，故当 22 1 2 + = k i i a L ，i = 1, , k 时， = = k i iix a 1 是的无

13、1)的样本，由正态分布可加性知X服从正态分布 n N 1 ,，则 + + =dxxS n dx n xSSE xnx nn x n 222 22 )( 2 e)(e 2 e 2 )()(，因 E(S) = | |，可知对任意的，反常积分 + + dxxS xnx n 2 2 e)(收敛， 6 则由参数的任意性以及该反常积分在与+两个方向的收敛性知 + + dxxS xnx n | 2 2 e)( 收敛，因xnxSxS xnx n xnx n = + 22 22 e)(e)(，且| y | e | y |，有 |)1| ( 22 22 ee xnx n xnx n xn + ，则由 + + dxxS xnx n |)1|(| 2 2 e)( 的收敛性知 + + dxxS xnx n 2 2 e)(一致收敛，可得 + + =dxxS n SE xnx nn 22 22 e)(e 2 )(关于参数可导，与 E(S) = | |在 = 0 处不可导矛盾，故 g( ) = | | 没有无偏估计 11设总体 X 服从正态分布 N ( , 2

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