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1、概率论第一章习题解概率论第一章习题解 3（1）设 A，B，C 是三个事件，且 1 ( )( )( ) 4 P AP BP C，()()0P ABP BC， 1 () 8 P AC ，求 A，B，C 至少有一个发生的概率。 （2） 1 ( ) 2 P A ， 1 ( ) 3 P B ， 1 ( ) 5 P C 1 () 10 P AB ， 1 () 15 P AC ， 1 () 20 P BC ， 1 () 30 P ABC ，求AB；AB；ABC；ABC；ABC；ABC的概率。 （3）已知 1 ( ) 2 P A ， （）若 A，B 互不相容，求()P AB， （）若 1 () 8 P AB
2、，求()P AB 解因为事件“A，B，C 至少有一个发生”ABC 而ABCAB，()0P AB ，所以()0P ABC 故()( )( )( )P ABCP AP BP C ()()()()P ABP ACP BCP ABC 11115 000 44488 （2）()()( )( )()P ABP AP BP AB 11111 231015 ； () 114 ()()1()1 1515 P ABP ABP AB ； ()()( )( )( )P ABCP AP BP C ()()()()P ABP ACP BCP ABC 111111117 2351015203020 ； ()()()1()P
3、 ABCP ABCP ABC 173 1 2020 ； ()因为()()()ABCAB CsAB CCACBC 且()() )P ABCP AB C( )()()P CP ACP BC 111 51520 7 60 ()因为()()( )()P ABCP ABP CP ABC 已知 4 () 15 P AB ， 7 () 60 P ABC ，故 ()()( )()P ABCP ABP CP ABC 417 15560 217 6020 ； （3） 1 ( ) 2 P A ， （）若 A，B 互不相容，求()P AB， （）若 1 () 8 P AB ，求()P AB （）因为若 A，B 互不相
4、容，所以AB ，ABA， 1 ()( ) 2 P ABP A； （）因为()AA BBABAB，且ABAB ， 所以( )()()()P AP ABABP ABP AB，代入已知条件，得 11 () 28 P AB，即 3 () 8 P AB 。 4 设 A，B 是两个事件。 （1）已知ABAB，验证AB； （2）验证 A 与 B 恰有一个发生的概率为( )( )2 ()P AP BP AB。 解（1）因为AAS，BBS ()AA BBABAB， 已知ABAB， 所以()AABABAA BB （2）因为事件“A 与 B 恰有一个发生”ABAB 所以“A 与 B 恰有一个发生”的概率为()P A
5、BAB 而()ABA SBASABAAB， ()ABSA BSBABBAB 且ABA，ABB 故()()()P ABABP AABP BAB ( )()( )()P AP ABP BP AB ( )( )2 ()P AP BP AB 510 片药片中有 5 片是安慰剂， （1）从中任意取 5 片，其中至少有 2 片是安慰剂的概率。 （2）从中每次取 1 片，作不放回抽样，求前 3 次都取到安慰剂的概率。 解（1）设B“所取的 5 片药片中至少有 2 片安慰剂” 设 Ai“5 片中有 i 片是安慰剂”， （i=1，2，3，4，5） ，则 样本空间所饮食的基本事件数： 5 10 10!10 9 8
6、 7 6 252 5!5!5 4 3 2 1 C 0 A含有的基本事件数： 5 5 1C ； 41 155 25AC C 1 0001011 ( )()()1()1()()P BP A AP AAP AAP AP A 125226113 1 252252252126 。 （2）设 C“前 3 次取到的都是安慰剂” 样本空间所饮食的基本事件数：1098720 事件 C 所包含的基本事件数为：54360 5 4 31 ( ) 10 9 812 P C 6在房间里有 10 个人，分别佩带从 1 号到 10 号的徽章，任选 3 人记录其徽章的号码。 （1）求最小号码为 5 的概率； （2）求最大号码为
7、 5 的概率。 解A“最小号码为 5”，B“最大号码为 5” 样本空间所包含的基本事件数： 3 10 10 9 8 120 3 2 1 C ； 事件 A 所包含基本事件数（即 5 固定，再从 6，7，8，9，10 这 5 个数中任选 2 个） ： 2 5 5 4 10 2 C 事件 B 所包含的基本事件数（即 5 固定，再从 1,2，3,4 这 4 个数中任选 2 个） ： 2 4 4 3 6 2 C 故 101 ( ) 12012 P A ； 61 ( ) 12020 P B 7某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶，黑漆 4 桶，红漆 3 桶，在搬运的过程中所 有标签脱落，交货人
8、随意将这些油漆发给顾客，问一个订货为 4 桶白漆，3 桶黑漆，2 桶红 漆的顾客，能按所订颜色得到订货的概率是多少？ 解设 A“顾客能按所订的颜色如数拿到订货”，则 样本空间所包含的基本事件数： 9 17 17 16 15 14 13 12 11 10 24310 8 7 6 5 4 3 2 1 C 事件 A 所包含的基本事件数： 432 1043 10 9 8 7 4 32520 4 3 2 1 C C C 所以 2520252 ( ) 243102431 P A 。 8在 1500 件产品中有 400 件次品，1100 件正品，任取 200 件： （1）求恰有 90 件次品的概率； （2）
9、至少有 2 件次品的概率。 解设 A“所取的 200 件产品中有 90 件次品”， B“所取的 200 件产品中恰有 2 件次品” 样本空间包含的基本事件数： 200 1500 C， 事件 A 所包含的基本事件数： 90110 4001100 CC， 事件B所包含的基本事件数： 2001199 11004001100 CCC （1） 90110 4001100 200 1500 ( ) CC P A C （2） 2001199 11004001100 200 1500 ( )1( )1 CCC P BP B C 9从 5 双不同的鞋中任取 4 只，问这 4 只鞋至少能配成一双的概率是多少？ 解
10、设 A“4 只鞋不能配成双”，则A“4 只鞋至少能配成一双” 样本空间所包含的基本事件数： 4 10 210C 事件 A 包含的基本事件数： 41111 52222 80CCCCC （即： 先从 5 双鞋中任取 4 双， 然后从所取的 4 双鞋中各任取一只， 这样取得的 4 只鞋， 都不能配成双。 ） 于是， 41111 52222 4 10 808 ( ) 21021 CCCCC P A C 813 ( )1 2121 P A 说明：本题有多种解法，总的思路是从 5 双鞋中任取一只后，再取时不考虑与已经取了 的那一只能配成双的哪一只。如 考虑 4 只鞋了是有次序的一只一只取出的： 从 10
11、只鞋中任取 4只共有10 9 8 7 种取法，即样本空间所包含的基本事件数：( )10 9 8 7N s ；现在来求( )N A：第一只 鞋可以从 10 只鞋中任意取， 有 10 种不同的取法， 第二只鞋只能从剩下的 9 只中且除去与已 取的第一只配对的 8 只鞋中去取，有 8 种取法，同理，第三只、第四只各有 6 种取法、4 种 取法。从而( )10 8 6 4N A 。 于是 10 8 6 48 ( ) 10 9 8 721 P A ； 813 ( )1 2121 P A 。 10在11张卡片上写有probability这11个字母， 从中任意抽7张， 求其排列结果为ability 概率。
12、 解设 A“抽到 7 张卡片能排列成 ability”， 则 样本空间所包含的基本事件数： 7 11 11 10 9 8 7 6 5P 事件 A 所包含的基本事件数： 1111111 1221111 4CCCCCCC （即在 11 个字母中只有 1 个 a，2 个 b，2 个 i,1 个 l，已经取了一个 i， 只剩下 1 个 i，同样 t、y 也只有 1 个可取。 ） 于是 7 11 4 ( )0.0000024P A P 。 11将 3 只球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为 1,2，3 的概率。 解设 i A“放入杯子中球的最大个数”， （1,2,3i ） 由于每个球
13、可以任意地放入 4 个杯子中的任何 1 个中， 且每个杯子可以放入的球的个数 没有限制，于是“将 3 只球随机地放入 4 个杯子中去”共有 3 4种放法，即 3 ( )4N S 。 3 A： 只有3 个球都放入一个杯子中才能发生， 且有 4全杯子可任意选择， 则 3 ()4N A； 3 3 41 () 416 P A 1 A：只有当每个杯子最多放入 1 个球时才能发生，因而 1 ()4 3 2N A 1 3 4 3 26 () 416 P A 又 123 AAAS，且 ij A A ， （ij） 故 123 ()1P AAA 从而 2 169 ()1 161616 P A 。 1250 只铆钉
14、随机地取来用在 10 个部件上，其中有 3 只铆钉强度太弱，每个部件用 3 只铆钉。若将 3 只强度太弱有铆钉都装在一个部件上，则这个部件的强度就太弱。问发生一 个部件强度太弱的概率是多少？ 解将 10 部件自 1 至 10 编号。则随机试验 E：随机地取铆钉，各部件都装 3 个铆钉。 i A“第i号部件强度太弱”， （1,2,3,10i ） 由题设知，只有当 3 只强度太弱的铆钉同时装在第i号部件上时， i A才能发生。由于从 50 只铆钉中任取 3 只装在第i号部件上共有 3 50 C种取法，强度太弱的铆钉仅有 3 只，它们都 装在第i号部件上，只有 3 3 1C 种取法。 故 3 50
15、11 () 19600 i P A C ， （1,2,3,10i ） 。 又 1210 ,A AA两两互不相容，因此，10 个部件中有一个强度太弱的概率为 1210 ()P AAA 1210 ()()()P AP AP A 101 196001960 。 13一个俱乐部有 5 名一年级的学生，2 名二年级的学生，3 名三年级的学生，2 名四 年级的学生。 （1）在其中任选 4 名学生，求一、二、三、四年级各有一名学生的概率； （2）在其中任选 5 名学生，求一、二、三、四年级的学生都包含在内的概率。 解（1）设 A“4 名学生中，一、二、三、四年级各有一名学生”； 样本空间所包含的基本事件数：
