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1、习 题 二2-1 质量为m的子弹以速率水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。解 设任意时刻子弹的速度为v，子弹进入沙土的最大深度为s，由题意知，子弹所受的阻力 f= - kv(1) 由牛顿第二定律 即 所以 对等式两边积分 得 因此 (2) 由牛顿第二定律 即 所以 对上式两边积分 得到 即 2-2 质量为m的小球，在水中受到的浮力为F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为fkv(k为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v与时间的关系为
2、证明 任意时刻t小球的受力如图所示，取向下为y轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即 整理得 对上式两边积分 得 即 2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即。求跳伞员的运动速率v随时间t变化的规律和极限速率。解 设运动员在任一时刻的速率为v，极限速率为，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。此时 即 有牛顿第二定律 整理得 对上式两边积分 得 整理得 2-4 一人造地球卫星质量m=1327kg，在离地面m的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f的大小；(2)卫星的速率v；(3)卫
3、星的转动周期T。解 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力由上面两式得(2) 由牛顿第二定律 (3) 卫星的运转周期2-5 试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。解 设同步卫距地面高度为h，距地心为R+h，则所以 代入第一式中 解得 2-6 两个质量都是m的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周期。解 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此，他们受到的合力必须指向圆形轨道的圆心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有这两个星球间的万有引力提供向心力。所以两个星球必须分布在直径的两个端
4、点上，且其运行的速度周期均相同(1)每个星球所受的合力(2) 设运动周期为T 联立上述三式得 所以，每个星球的运行周期 2-72-82-9 一根线密度为的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离s时对桌面的瞬时作用力。解 链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的s段对桌面的压力，另一部分是正在下落的段对桌面的冲力，桌面对段的作用力为。显然时刻，下落桌面部分长s。设再经过，有落在桌面上。取下落的段链条为研究对象，它在时间之内速度由变为零，根据动量定理 (1) (2) (3)由(2)、(3)式得 故链条对
5、桌面的作用力为2-10 一半径为R的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。一质量为m的小球正以角速度沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。求小球的运动水平面距离碗底的高度。分析 小钢球沿碗内壁作圆周运动，其向心力是由内壁对它的支承力的分力提供的，而支承力的方向始终与该点内壁相垂直，显然，不同的角速度对应不同大小和方向的支承力。解 设小球的运动水平面距碗底的高度为h，小球受力如图所示，则 由以上四式得 2-11 自动步枪连发时每分钟射出120发子弹，每颗子弹的质量为m7.90g，出口速率为735，求射击时(以分钟计)抢托对肩的平均压力。解 取时间之内射出的子弹为研究对象，作用在子弹上的平均
6、力为，根据动量定理得 所以 故枪托对肩部的平均压力为2-12 水力采煤是利用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。设水柱直径为D=30mm，水速v=56，水柱垂直射到煤层表面上，冲击煤层后速度变为零。求水柱对煤层的平均冲力。解 取长为dx的一段水柱为研究对象，设它受到的煤层的作用力为，根据动量定理 所以 故水柱对煤层的平均冲力 2-13 F30+4t的力作用在质量为10kg的物体上，求： (1)在开始两秒钟内，此力的冲量是多少?(2)要使冲量等于 300，此力作用的时间为多少?(3)若物体的初速度为10 ，方向与F相同，在t=6.86s时，此物体的速度是多少?解 根据冲量定义(1)开始两秒钟此力的冲
7、量(2)当时解得 (3) 当时，根据动量定理因此 2-14 质量为m的质点，以不变速率v沿图示三角形ABC的水平光滑轨道运动。求质点越过角A时，轨道作用于质点冲量的大小。解 如图所示，质点越过A角时动量的改变为由图知的大小根据动量定理 2-15 质量为m的质点在xOy平面内运动，其运动方程，试求：(1)质点的动量；(2)从t0到这段时间内质点受到的合力的冲量；(3)在上述时间内，质点的动量是否守恒?为什么?解 质点的速度 (1)(1) 质点的动量(2) 由(1)式得时，质点的速度时，质点的速度为根据动量定理 解法二：(3) 质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间t变化。2-16 将一空
8、盒放在台秤盘上，并将台秤的读数调节到零，然后从高出盒底h处将石子以每秒n个的速率连续注入盒中，每一石子的质量为m。假定石子与盒子的碰撞是完全非弹性的，试求石子开始落入盒后t秒时，台秤的读数。解 t秒钟后台秤的读数包括下面两部分，一部分是已落入盒中的石子对称盘的压力，另一部分是正下落的石子对秤的冲力，显然取时间下落的石子为研究对象，设它们所受到的平均冲力为，根据动量定理所以 故时间下落的石子对称的冲力因此秤的读数为2-17 一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为20g，在A、B两位置处的速率都是20，与x轴成角，与y轴垂直，求质点由 A点运动到B点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。解 由
9、题意知，质点由A点到B点动量的改变为根据动量定理，作用在质点上的外力的冲量 所以 冲量与x轴之间的夹角2-18 若直升飞机上升的螺旋浆由两个对称的叶片组成，每一叶片的质量m136kg，长l=3.66m。当它的转速n=320时，求两个叶片根部的张力(设叶片是均匀薄片)。 解一 设叶片的根部为原点O ，作径向Or轴，在叶片上距O点为r处取一线元，则，其两边所受的张力如图所示。根据圆周运动沿径向的动力学方程，有即 对上式积分，并考虑到叶片的外端r趋近于l时，张力，则因此距O点为r处叶片中的张力为式中负号表明T指向O点。取r=0，代入题中所给数据，得叶片根部张力解二 任意时刻t叶片的动量经过dt时间，
10、叶片动量的改变叶片根部所受的作用力2-19 如图所示，砂子从h0.8m处下落到以3的速率沿水平向右运动的传输带上，若每秒钟落下100kg的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。解 如图所示，设时间内落下的砂子的质量为，则的动量改变显然有 由图可知根据动量定理 所以2-20 矿砂从传输带A落到另一传输带B，其速度大小为4，2方向如图所示。设传输带的运送量2000，求矿砂作用在传输带B上的力的大小和方向。解 取时间内落下的矿砂为研究对象，建立如图所示的坐标系，其动量的改变为 根据动量定理 所以 故矿砂作用在传输带B上的力与竖直方向的夹角2-21 质量为m的质点，当它处在r=-2i+4j+6k的位
11、置时的速度v=5i+4j+6k，试求其对原点的角动量。解 质点对原点的角动量为 2-22 一质量为m2200kg的汽车v=60的速率沿一平直公路行驶。求汽车对公路一侧距公路为d50m的一点的角动量是多大?对公路上任一点的角动量又是多大?解 根据角动量的定义式(1) (2) 对公路上任一点rv，所以2-23 某人造地球卫星的质量为ml802kg，在离地面2100km的高空沿圆形轨道运行。试求卫星对地心的角动量(地球半径m)。解 设卫星的速度为v，地球的质量为M，则 (1)又 (2)联立两式得 卫星对地的角动量 2-24 若将月球轨道视为圆周，其转动周期为27.3d，求月球对地球中心的角动量及面积
12、速度(kg，轨道半径R=m)。解 设月球的速度为v，月球对地球中心的角动量为L，则 月球的面积速度为2-25 氢原子中的电子以角速度在半径m的圆形轨道上绕质子转动。试求电子的轨道角动量，并以普朗克常数h表示之()。解 电子的轨道角动量2-26 海王星的轨道运动可看成是匀速率圆周运动，轨道半径约为，绕太阳运行的周期为T=165年。海王星的质量约为，试计算海王星对大阳中心的角动量的大小。解 海王星对太阳中心的角动量联立两式得到 2-27 质量为m的质点开始处于静止状态，在外力F的作用下沿直线运动。已知，方向与直线平行。求：(1)在0到T的时间内，力F的冲量的大小；(2)在0到时间内，力F冲量的大小；(3)在0到时间内，力F所作的总功；(4)讨论
