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1、 1 A B 2 m 1 D 2 d 2 D 2 kN/mq = 5.15.1 把直径1 mmd =的钢丝绕在直径为 2m 的卷筒上， 设200 GPaE =。 试计算该钢丝中产 生的最大弯曲正应力。 解：解：把钢丝绕到卷筒上后，钢丝内的弯矩 M 与中性层曲率之间的关系是 1M EI = 于是，有 EI M = 代入弯曲正应力公式，得 maxmax max MyEy I = （1） 钢丝绕在直径为 D 的卷筒上后，其中性层的曲率半径 22 DdD + = （因Dd?） 将上式和 max / 2yd=代入（1）式，得 3 max / 2200 101/ 2 100 (MPa) / 22/ 2 E
2、d D = 5.25.2 受均布载荷作用的简支梁如图所示。若分别采用横截面面积相等的实心和空心圆截面， 且 1 40 mmD =， 2 2 3 5 d D =，试分别计算它们的最大弯曲正应力。并问空心截面比实心截面的最大 正应力减少了百分之几？ 解：解：因两截面面积相等，所以 222 122 () 44 DDd = 222222 122222 34 ()() 55 DDdDDD= 将 1 40 mmD =代入上式，得 2 50 mmD =， 2 30 mmd = 均布载荷下，梁的最大弯矩在跨中，即 22 max 2 2 1 (kN m) 88 ql M = 最大应力位于该截面（跨中横截面）的上
3、下边缘处。 2 A B DC F F 3 F 3 F (b) 2 3 F (c) 2 3 F 对实心圆截面 6 1 maxmax max 33 11 3232 10 159 (MPa) 40 MM WD = 对空心圆截面 6 2 maxmax max 334 4 2122 2 32 10 93.6 (MPa) 50 1 (3/5) 1 () 32 MM DdW D = 空心圆截面比实心圆截面最大正应力减少了 12 maxmax 1 max 15993.6 41.1% 159 = 5.45.4 矩形截面悬臂梁如图所示，已知4 ml=， 3 5 b h =，10 kN/mq =， 10 MPa=。
4、试 确定此梁横截面的尺寸。 解：解：梁的最大弯矩发生在固定端处，其值为 22 max 11 =10 4 =80 (kN m) 22 Mql= 梁的强度条件 6 max 2 80 10 = 1 6 M W bh = 将 3 5 bh=代入上式，得 6 2 6 80 10 3 5 hh ， 66 363 5 6 80 105 6 80 10 80 10 (mm ) 3 3 10 h = 于是，有 430 mmh=， 3 259 mm 5 bh= 5.5 5.5 No.20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示。若 =160MPa，试求许可载荷F。 l q B A b h 2m A B DC 2m2m
5、 F F (a) No.20a 3 解：解：利用平衡条件求出支座反力如图（b）所示，弯矩图如图（c）所示，最大弯矩为 2 3 F。 由梁的强度条件 max 2 3 = F M WW = 查附录型钢表，得 3 237mmW =，代入上式，得许可载荷 3 3 160 237 =56.9KN 22 W F （） 5.6 5.6 如图所示，桥式起重机大梁 AB 的跨度 l=16m，原设计最大起重量为 100kN。在大梁上距 B 端为 x 的 C 点悬挂一根钢索，绕过装在重物上的滑轮，将另一端再挂在吊车的吊钩上，使吊车 驶到与 C 点对称的位置 D，这样就可吊运 150kN 的重物。试问 x 的最大值等
6、于多少？设只考虑大 梁的正应力强度。 解： 解：吊重 100kN 和 150kN 时梁的受力图如图（a）和（b）所示。图（a）中危险截面在梁的 跨中，其弯矩 1 (kN m) 4 Fl M =，危险点的应力 1 I / 4(100 16)/ 4400 = MFl WWWW = 图（b）中，危险截面在梁的 C、D 处，其弯矩 2 75 (kN m)Mx=，危险点的应力 II II 75 = Mx WW = 根据强度条件， 原设计吊重为 100kN 时， 梁内最大应力 I 已达到许用应力， 所以， 为了安全， 应有 xx AB C D 150kNW = 16m 16m xx 75kN 75kN (
7、b) 16m 100kNF = (a) 4 C C z 30 b C y 60 MM 400 CC z 30 b C y 400 60 y2 y1 2 C 1 C 2 A 1 A yC2 yC1 III ，即 75400x WW ，由此得 x 的最大值为 400 =5.33 m 75 x ( ) 5.10 5.10 割刀在切割工件时，受到 F=1kN 的切削力作用。割刀尺 寸如图所示。试求割刀内的最大弯曲应力。 解：解：由图知，最大弯曲应力可能产生在 m-m 截面，也可能产 生在 n-n 截面，虽然 m-m 截面上的弯矩比 n-n 截面的小，但它的抗 弯界面系数也比 n-n 截面的小，所以两个
8、截面上的最大应力都可能 发生，应加以比较，方可决定割刀内的最大正应力。 n-n 截面 23 I 1 2.5 13 =70.4 mm 6 W =() 33 I 1 108=8 10 mmM = (N) 3 I I I 8 10 = 114 MPa 70.4 M W =() n-n 截面 23 II 1 4 15 =150 mm 6 W = () 33 II 1 1030=30 10 mmM= (N) 3 II II II 30 10 = 200 MPa 150 M W =() 所以割刀最大应力为 max=200 MPa 5.11 5.11 图示纯弯曲的铸铁梁， 其截面为形， 材料的拉伸和压缩许用
9、应力之比 tc /1/3=。 求水平翼板的合理宽度b。 n n m m F 2.5 4 13 15 228 5 C 1400600 B A F 2F 50 C z 150 C y h2 h1 250 C O M x 0.8F 0.6F 50 解：解：水平翼板的合理宽度 b 应使铸铁梁内的最大拉应力和压应力分别达到各自的许用应力， 即 1 tmaxt My I =， 2 cmaxc My I = （1） 由（1）式得 tmaxt1 cmax2c 1 3 y y = （2） 由几何条件知 12 400 mmyy+= （3） 解（2） 、 （3）式得 1 100 mmy = 2 300 mmy =
10、形截面上，对中性轴 c z的静矩应等于零，即 12 12 0 C tCC SA yA y=+= 60(10030)(30 340) (300 170)0b = （4） 解（4）式，得 316 mmb = 5.12 5.12 形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。若材料的拉伸许用应力 t 50 MPa=， 压 缩 许 用 应 力 c 160 MPa=， 截 面 对 形 心 轴 C z的 惯 性 矩 44 10180 10 mm C z I=， 1 96.4 mmh =，试计算该梁的许可载荷F。 解：解：梁的弯矩如图（b） ，弯矩的两个极值分别为 1 0.8MF=， 2 0.6MF= 根据正应力强
11、度条件 maxmax max z My I = 对 A 截面，按拉、压强度要求，其许可载荷分别为： 6 4 t 1 1150 10180 10 64.8 (kN) 0.80.89.64 C z I F h = （按抗拉强度要求） 4 c 2 11160 10180 10 132.2 (kN) 0.80.815.4 C z I F h = （按抗压强度要求） 对 C 截面，按拉强度要求确定其许可载荷： 4 t 2 1150 10180 10 55.1 (kN) 0.60.6154 C z I F h = 比较 A、C 截面应力，可知许可载荷为 55.1 kNF 5.135.13 如图所示， 当
12、20 号槽钢受纯弯曲时， 测出 A、 B 两点间长度的改变为 3 27 10 mml =， 材料的200 MPaE =。试求梁截面上的弯矩 M。 解：解：20 号槽钢的截面几何性质由附录查得 C 19.5 mmy = 44 144 10 mm z I = 由胡克定律和弯曲正应力公式得 l EE l = z My I = 联立上二式，得 z I E l M ly =，即 50 AB 5 M M z y yc 7 2m A B D 10kN/mq = 20kNF = 3m1m 30 200 C C z z 30 y 200 yC O M x 20kN m 10kN m C 43 7 144 102
13、00 1027 107 1010.7 (kN m) 5019.55 M = （） 5.165.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。拉伸许用应力 t 40 MPa=，压缩许用应力 c 160 MPa=，试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将T形横截面倒置，即翼 缘在下成形，是否合理？何故？ 解：解：由截面的几何性质，知 200 30 100200 30 215 158 mm 2 200 30 C y + = 32 32 64 1 30 200200 30 (158 100) 12 1 200 30200 30 (215 158) 12 60.1 10 (mm ) C z I=+ +
14、 = 作梁的弯矩图如下图。 B 截面 6 maxt 6 20 10(230 158) 24 (MPa) + = 导致梁的抗拉强度不够，因此截面倒置使用不合理。 8 a F l (a) AB a q l (b) AB a (c) q l l1 A B (d) q l AB A B C aa FF (b) ABC aa 1 x FF 2 x x y 6.16.1 试写出图示各梁的边界条件。图 d 中支座B的弹簧刚度为k。 解： 解： (a) 如图所示： xa=，0 A w = xal=+，0 B w = (b) 如图所示： xa=，0 A w = xal=+，0 B w = (c) 如图所示： 0
15、x =，0 A w = xl=， 1B wl= (d) 如图所示： 0x =，0 A w = xl=， B B F w k = 6.3 6.3 试用积分法求图示各梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转角。设EI为常量。 （b） 、 （c） 解： 解： （b）选取坐标系如图示。 AC 段弯矩方程、挠曲线方程及积分为 1111 ()MMxFx= 1 (0)xa 11z EI wFx= 2 1 11 2 z x EI wFC= + 9 2 1 11 11 6 z x EI wFC xD= + CB 段弯矩方程、挠曲线方程及积分为 2222 ()2MMxFaFx= 2 (2 )axa 临界应力为 3 cr crp 2 6.31 10 126 MPa 挺杆的截面面积 222 (1210 )4434.6 mm 4
