《北京邮电大学数学物理方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京邮电大学数学物理方法（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学物理方法数学物理方法 李莉李莉 1 教学目的教学目的 通过本课程的学习，使学生熟悉和掌握波动方程、热传导通过本课程的学习，使学生熟悉和掌握波动方程、热传导 方程和方程和Laplace方程等典型数学物理方程的常用解法：分方程等典型数学物理方程的常用解法：分 离变量法、行波法、积分变换法和离变量法、行波法、积分变换法和Green函数法等等。熟函数法等等。熟 悉和掌握悉和掌握Bessel函数和函数和Legendre函数等两类特殊函数的函数等两类特殊函数的 性质和应用。性质和应用。 通过对所讨论问题的综合分析，使学生逐步掌握运用数学通过对所讨论问题的综合分析，使学生逐步掌握运用数学 的思想和方法
2、来解决实际物理问题的思路和具体步骤，为的思想和方法来解决实际物理问题的思路和具体步骤，为 电磁场电磁场、微波理论微波理论等后续课程的学习及培养初步的科研能等后续课程的学习及培养初步的科研能 力打下基础。力打下基础。 2 教材与参考书教材与参考书 教材：教材：数学物理方法数学物理方法理论、历史与计算机理论、历史与计算机，郭玉，郭玉 翠，大连理工大学出版社翠，大连理工大学出版社 数学物理方法数学物理方法第二版，谷超豪、李大潜、陈恕行等，第二版，谷超豪、李大潜、陈恕行等， 高教出版社，高教出版社，2002年年 实用偏微分方程实用偏微分方程英文版第四版，（美）理查德英文版第四版，（美）理查德.哈伯哈伯
3、 曼，机械工业出版社，曼，机械工业出版社，2005年年 学时学时 32学时学时 3 对大家的要求对大家的要求 按时上课按时上课 课上记笔记，做标记课上记笔记，做标记 独立完成作业独立完成作业 4 成绩评定成绩评定 平时成绩：平时成绩：30% 考勤考勤 作业作业 期末考试：期末考试：70% 数学物理方法：数学物理方法： 数学物理方程数学物理方程+特殊函数特殊函数 数学物理方程数学物理方程 从物理学、工程科学与技术科学的实际问题中从物理学、工程科学与技术科学的实际问题中 导出的，反映物理量之间关系的导出的，反映物理量之间关系的偏微分方程偏微分方程和和 积分方程积分方程。 特殊函数特殊函数 与初等函
4、数相对；与初等函数相对； 初等函数：常函数、指数函数、对数函数、幂函数、初等函数：常函数、指数函数、对数函数、幂函数、 三角函数和反三角函数三角函数和反三角函数 5 主要内容主要内容 第一章第一章数学物理方程及其定解条件数学物理方程及其定解条件 1.1 基本方程的建立基本方程的建立 1.2 定解条件定解条件 1.3 定解问题的提法定解问题的提法 1.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简二阶线性偏微分方程的分类与化简 第二章第二章分离变量法分离变量法 2.1 （1+1）维齐次方程的分离变量法）维齐次方程的分离变量法 2.2 二维二维Laplace方程的定解问题方程的定解问题 2.3 非齐次方程的解
5、法非齐次方程的解法 2.4 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 6 第三章第三章 二阶常微分方程的级数解法二阶常微分方程的级数解法 本征值问题本征值问题 3.1 二阶常微分方程的级数解法二阶常微分方程的级数解法 3.2 Legendre（勒让德）方程的级数解（勒让德）方程的级数解 3.3 Bessel（贝塞尔）方程的级数解（贝塞尔）方程的级数解 3.4 Sturm-Liouville（斯特姆（斯特姆-刘维尔）本征值问题刘维尔）本征值问题 第四章第四章 Bessel函数的性质及其应用函数的性质及其应用 4.1 Bessel方程的引出方程的引出 4.2 Bessel函数的性质函数的性质 4.
6、3 Bessel函数的应用函数的应用 *4.4 修正修正Bessel函数函数 *4.5 可化为可化为Bessel方程的方程方程的方程 7 第五章第五章 Legendre 多项式多项式 5.1 Legendre 方程及方程及Legendre 多项式的引出多项式的引出 5.2 Legendre 多项式的性质多项式的性质 5.3 Legendre多项式的应用多项式的应用 *5.4 关联关联Legendre 多项式及其应用多项式及其应用 第六章第六章 行波法与积分变换法行波法与积分变换法 6.1 一维波动方程的一维波动方程的DAlember(达朗贝尔达朗贝尔)公式公式 6.2 三维波动方程的三维波动方
7、程的Poisson公式公式 6.3 Fourier积分变换法求定解问题积分变换法求定解问题 6.4 Laplace变换法解定解问题变换法解定解问题 8 第七章第七章 Green函数法函数法 7.1 引言引言 7.2 函数的定义与性质函数的定义与性质 7.3 Poisson方程的边值问题方程的边值问题 7.4 Green函数的一般求法函数的一般求法 7.5 用电像法求某些特殊区域的用电像法求某些特殊区域的Dirichlet-Green函数函数 9 教学基本要求教学基本要求 掌握掌握波动方程波动方程、热传导方程热传导方程、Laplace方程方程的的 物理背景及其定解问题的提法；物理背景及其定解问题
8、的提法； 熟练掌握三类方程定解问题的解法：熟练掌握三类方程定解问题的解法：分离变量分离变量 法法，行波法、积分变换法等；，行波法、积分变换法等； 熟悉熟悉Bessel函数和函数和Legendre函数的性质及其函数的性质及其 应用。应用。 物理过程物理过程数学模型数学模型数学解数学解物理解物理解 学习方法学习方法 物理现象物理现象 第第1章章 数学物理方程及其数学物理方程及其 定解条件定解条件 典型方程和定解条件的导出典型方程和定解条件的导出 11 1-1 基本方程的建立基本方程的建立 基本方程是一类或几类物理现象满足的普遍规律的基本方程是一类或几类物理现象满足的普遍规律的 数学表达数学表达 任
9、务任务：将物理规律“翻译”为数学语言，即列出某：将物理规律“翻译”为数学语言，即列出某 类物理现象所满足的数学物理方程类物理现象所满足的数学物理方程 常用的方法：常用的方法： 微元法微元法：在整个系统中分出一个小部分，分析邻近部分与这：在整个系统中分出一个小部分，分析邻近部分与这 一小部分的相互作用，通过对表达式的化简、整理，即得到一小部分的相互作用，通过对表达式的化简、整理，即得到 所研究问题满足的数学物理方程所研究问题满足的数学物理方程 规律法规律法：将物理规律（比如：将物理规律（比如Maxwell方程组）用（容易求解方程组）用（容易求解 的）数学物理方程表示出来的）数学物理方程表示出来
10、统计法统计法：通过统计规律建立所研究问题满足的广义数学物理：通过统计规律建立所研究问题满足的广义数学物理 方程，常用于经济、社会科学等领域。方程，常用于经济、社会科学等领域。 12 1.1.1 波动方程波动方程 1.均匀弦的微小横振动均匀弦的微小横振动 设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除了受不随时间变设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除了受不随时间变 化的张力及弦本身的重力外，不受其他外力的作用。化的张力及弦本身的重力外，不受其他外力的作用。 下面研究弦作下面研究弦作微小横振动微小横振动的规律。的规律。 所谓“所谓“横向横向”是指全部运动出现在一个”是指全部运动出现在
11、一个 平面内，而且弦上的点沿垂直于平面内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方轴的方 向运动。向运动。 所谓“所谓“微小微小”是指运动的幅度及弦在任”是指运动的幅度及弦在任 意位置处切线的倾角都很小，以致它们意位置处切线的倾角都很小，以致它们 的高于一次方的项可以忽略不计。的高于一次方的项可以忽略不计。 弦是均匀的，设其线密度为弦是均匀的，设其线密度为； M M xxdx T T O x u N N ds gds 13 弧段两端所受张力为弧段两端所受张力为和和 设弦上具有横坐标为设弦上具有横坐标为x的点，在时刻的点，在时刻t的位置为的位置为M，其位移，其位移MN记为记为u。 显然，在振动过程中，位移显
12、然，在振动过程中，位移u是变量是变量x和和t的函数，即的函数，即 ( , )uu x t 采用采用微元法微元法来建立位移来建立位移u满足的方程：满足的方程： 把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然 后再考虑小弧段趋于零的极限情况。后再考虑小弧段趋于零的极限情况。 在弦上任取一弧段在弦上任取一弧段，其长度为，其长度为ds， T T 由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向切线方向。 M M xxdx T T O x u N N ds gds MM 是弦的线密度是弦的线密
13、度 14 现在考虑弧段现在考虑弧段在在t时刻的受力和运动情况。时刻的受力和运动情况。 根据根据牛顿第二定律牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的 质量乘以该方向上的运动加速度。质量乘以该方向上的运动加速度。 在在x方向方向弧段弧段受力总和为受力总和为 由于弦只做横向运动，所以由于弦只做横向运动，所以 按照弦作微小振动的假设，可知在振动过程中，弦上按照弦作微小振动的假设，可知在振动过程中，弦上M和和M点处切线点处切线 的倾角都很小，即：的倾角都很小，即： MM MM M M xxdx T T O x u N N ds gds cosc
14、osTT coscos0TT 0,0 15 略去略去和和的所有高于一次方的项时，就有的所有高于一次方的项时，就有 由由 代入式代入式 便可近似得到：便可近似得到： 在在u方向方向弧段弧段受力总和为受力总和为 其中，其中，是是的重力。的重力。 gds 24 cos1 2!4! M M xxdx T T O x u N N ds gds cos1,cos1 coscos0TT TT MM sinsin,TTgds MM 16 当当时，时， 小弧段在时刻小弧段在时刻t沿沿u方向的方向的加速度加速度近似为近似为， 2 2 ( , )u x t t 小弧段的质量为小弧段的质量为ds 由牛顿第二定律有由牛
15、顿第二定律有 将近似式代入，将近似式代入， 0,0 M M xxdx T T O x u N N ds gds 2 ,tan sintan, 1tan u x t x , sintan, u xdx t x 2 , 1. u x t dsdxdx x 2 2 , sinsin u x t TTgdsds t 2 2 ,u xdx tu x tu x t Tgdxdx xxt 17 上式左端方括号的部分是由于上式左端方括号的部分是由于x产生产生的变化引起的的变化引起的 的改变量，可以用微分近似代替：的改变量，可以用微分近似代替： dx ( , )u x t x 所以式（所以式（*）变为）变为 （*） 或或 一般来说，张力较大时弦振动的速度变化很快，即一般来说，张
