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1、2013年全国各省（市）高考数学试题分类汇编(概率统计)1.（2013福建卷.理16题）（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为，中将可以得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求的概率；（2）若小明小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？ 本小题主要考查古典概型离散型随机变量的分布列数学期望等基础知识，考查数据处理能力运算求解能 力应
2、用意识，考查必然和或然思想，满分13分解：（）由已知得：小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分”的事件为A，则A事件的对立事件为“”， ，这两人的累计得分的概率为（）设小明小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为，都选择方案乙抽奖中奖的次数为，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为由已知：，他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大2（本小题满分12分）(福建卷.文)某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名。为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了1
3、00名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（I）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（II）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（注：此公式也可以写成）解：（I）由已知可得，样本中有25周岁
4、以上组工人100=60名，25周岁以下组工人100=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有600.05=3（人），25周岁以下组工人有400.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共+=7种，故所求的概率为：；（II）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有600.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有400.375=15（人），据此可得22列联表如下：生产能手 非生产能手 合计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40
5、 合计 30 70 100所以可得=1.79，因为1.792.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”3.（2013广东卷.理17题）（本小题满分12分）某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. 第17题图() 根据茎叶图计算样本均值；() 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；() 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀工人的概率.【解析】() 样本均值为；() 由()知样本中优秀工人占的比例为,故推断该车间名工人中有名优秀工人.() 设事件:从该车间名工人中,
6、任取人,恰有名优秀工人,则.4（本小题满分13分）(2013广东文)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）频数（个）5102015(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率【解析】（1）苹果的重量在的频率为；（2）重量在的有个；（3）设这4个苹果中分段的为1，分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在和中各有1个的事
7、件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以.5.（2013全国新课标二卷.理18题）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以x（单位：t，100x150）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。（）将T表示为x的函数（）根据直方图估计利润T，不少于57000元的概率；（）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点
8、值的概率（例如：若x）则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入的利润T的数学期望。解：（I）由题意得，当x100，130）时，T=500x300（130x）=800x39000，当x130，150）时，T=500130=65000，T=（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120x150由直方图知需求量X120，150的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7（）依题意可得T的分布列如图，T45000530006100065000p0.10.20.30.4所以ET=450000.1+530000.2+610000.3+650000
9、.4=594006.（2013年河南山西河北卷 19）（本小题满分共12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元
10、），求X的分布列及数学期望。【命题意图】【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)(CD),且AB与CD互斥，所以P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.6分（）X的可能取值为400,500,800，并且P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)=，X的分布列为X400500800P 10分EX=400+500+800=506.25 12分7.（201
11、3湖北卷.理20题）假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量。记一天中从甲地去乙地旅客人数不超过900的概率为（I）求的值；（参考数据：若，有，。）（II）某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆。公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车7辆。若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备型车、型车各多少辆？【解析与答案】（I）（II）设配备型车辆，型车辆，运营成本为元，由已知条件
12、得，而作出可行域，得到最优解。所以配备型车5辆，型车12辆可使运营成本最小。【相关知识点】正态分布，线性规划8（本小题满分12分）(2013湖南.理)某人在如图4所示的直角边长为米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（单位：）与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率（2）从所种作物中随机选取一株，求她的年收获量的分布列与数学期望解析：（1
13、）所种作物总株数，其中三角形地块内部的作物株数为，边界上的作物株数为，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有种故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为（2）先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量的分布列因为：所以只需求出即可记为其“相近”作物恰有株的作物株数（）则由得，；故所求的分布列为所求的数学期望为： 9（本小题满分12分）(2013湖南文)某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物
14、的年收获量(单位:)与它“相近”作物株数之间的关系如下表所示：123451484542这里两株“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；51484542频数4（）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48的概率解：（I）所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15，其中“相近”作物株数为1的有2株，“相近”作物株数为2的有4株，“相近”作物株数为3的有6株，“相近”作物株数为4的有3株，列表如下Y51484542频数2463所种作物的平均所收获量为：（512+484+456+423）=46，（）由（I）知，P（Y=51）=，P（Y=48）=，故在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率为P（Y48）=P（Y=51）+P（Y=48）=+=10.（2013年江苏卷6题7题）（本小题满分5分）（6题）抽样统计甲
