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1、Scanned by CamScanner 全 国高 中数 学联 赛模拟 题( 2) 陶平生 (江西科技师范学院数学与计算机科学系 3300 13) 二 、解答题 (共56 分) 第 试 9 .(16分)设抛物线的焦点为 F ,其三条 填空题(每小题 8分共64分) 切线两两相交得到交点 A . B . C证明A . B . 9的每二个排 C 10 .(20分)设 a为正数若以 a为首项 列都看成个九位数 其中能被11整除的 的等比数列1 a 。 满足a l +1 .2 +2 . a 3 +3也 有个 构成等比数列 则称Ba 。 : 为a所对 应的个 2 .已知四面体ABCD 的体积为40 ,
2、 AB= 。 P二数列 7 , BC=8 , CA-9若顶点D在面ABC上的投 影H恰为ABC的内心 则四面体的表面积 已知a 。 - 2 (n -1 , 2) 是个P 是 数列其中古 。 。 。 。亡 3正项等比数列a l l a 2 0 2 012满足 对于数列B X . I的任何三个连续项 X n1 X n a l -1 , a2 012 =2 012 X n+l ( 珏 1) , x : X n i X n+l 皆为常数 贝则 ljm m + + + la 2 01 1 a2 0 12 11. (2 20 0 分) 设 x . y. z 0 0 , y x xy+ z + mm =1
3、证明 4 . 设 x - c 0 s , - cos , z - cos 则 2(x 2 y 2 + y 2 z 2 + x z 2 ) + 9 2 y 2 z 2 2 l 3 13 13 加 + v + ZX = 5 .两圆 、(40分)如图 1 . 2不等边ABC的 + y =6 2 与 +(y 5) 。3 2 外心为O ,重心为 G , A ,、B,、C, 分别是边BC. 的公切线方程为CA . AB的中点过点B . C分别作OG的垂线 6 .设X .y Z R . 满足xy + yz +zx -1 l b. 1 . Ib与A , C, 、1. 与A , B , 分别交于点E. F 则函
4、数 证明A . E . F三点共线 八%疗 。 =鹫亏了了亏 丁 亏 的最大值是 7已知对切实数a . b . C . d皆有 ab +2bc + c dk ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 成立则实数k的最小值是 8 .若M - 1 , 29t的 个非空子集 A的各元素之和是个完全平方数 则称A 是M的平方子集那么M的平方子集个 B A , C 数是 图1 F A Scanned by CamScanner 因为 x+ y -1 +2+ +9-45 , 且 x + y 与X y 同奇偶所以只能有k 一 土l(k值不 能取土3否则若k -3则由X y -33 , X + y
5、一 45得 6而四个互异正整数之和不等 C 于6同理k笋 3) 于是 , x -28 , y -17(或 x-17 , y -28) 当奇数数位上的数码组确定后偶数数 图2 位上的数码组便随之确定反之亦然 (1)奇数位上五数和为17的解有两组 二 、(40 分) 给定正数 t 及正整数 周、 。 B 1 . 2, 3, 4, 71 B 1 , 2, 3, 5 ( 、n 2)证明 对于满足条件 (2)偶数位上四数和为17的解有九组 的任意 n 个正数 a l F a 2 a 。 成立不等式 B 1 , 3, 5 1 , 3, 6, 7 B 1 , 4, 5, 7l 三 、(50分)在平面第 象限
6、任给2n个 共得11个奇 、偶数数位上的数码分配 点P(x i山 ) (I -1 , 22n) 证明可以将 每种分配都产生5!4!个能被11整除的九 其中的珏个点染成红色其余的n个点染成 位数 蓝色使得红色X , 的和与蓝色X的和之差的 所以这种九位数有 绝对值不大于全体X , 中的最大数 并且红色 11 5!4!=31 680(个) 7i 的和与蓝色 i 的和之差的绝对值也不大 260+12石 于全体y i 中的最大数 由海伦公式易知Sa A君C -12石 四 、(50分)设正整数 玑2若正整数a 如图3作H M上BC , HN上CAH K上 与m互质且lam则称a是巩的本原 AB , M
7、. N . K为垂足 互质数例如10的本原互质数为3 . 7 . 9其 中3 .7为质数 而9不是质数12的本原互 质数为5 .7. 11它们都是质数 四 C 若琳为正整数且其本原互质数所构成 的集合是个非空的质数集 则称玑是单 纯数例如12就是 个单纯数 . = a M 试求全体单纯数 A K B 图3 参考答案 由三垂线定理知 第试 DM上B C , DN上CA , DK上AB 、1 31 680设r是ABC内切圆半径 则RtD删 、 设九位数a的奇数数位上的数字和为 RtHN . RtH K相互全等 记 X ,偶数数位上的数字和为y DM.DN-DK .t , DH. D Scanned
8、 by CamScanner 而由体积40 V. 士A C -4万得 设条公切线 AB 分别 与 X轴 、y轴交千点 .2石 A( x o, O)B(O,o) AB切两圆于点 C . D 所以t。B +h?.S S AB D + Sm ed + S cA D - ( AB + BC + CA) = 60 从而S 表面积 二 60+12万 A , 3 2 0 1- 2011- 设B a . t的公比为 q 由 20 12. A 2 o12 - a 1 2 0 “ , 得 k4 q - 2 “ 设 0 , B =t t =5 且等比数列B b 。 的公比也是 q QB-10 , BC68 故 石+
9、石+ 瓦万瓦 咐 据相似三角形知 里血 。 20 11 巨石画 所以OA。 至 于是点A(O , B(0 , 10) 记云 =a则 故A 吕 + 圣 = 1 3y +4 =30 13 1510 x = C08 01, y = COS 3a , z - C OS 9a 而a + 3a e +9a =?r故 xy + ?z + zx = COS a COS 3a + COS 3a COS 9a + COS 9a C0 8 a - t (co s 2a + c o e 4a) +(c oB 6a + cos 12a) + ( co s 8a + co s I Oa) 1 -sin a(c o s 2
10、a + co B 4a + + coB 12a) -( si n 13asin a) 4sin 01 据对称性知点A ,(詈 O) 1 . 1 : + 2ab r y 2 1 Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner + c 2 a+c a ) 21a 2 b + ab + b 2 c+ + c a+ ca +3abc) , 即 X 2 =3x , 则 2(a 2 +6 2 + c 2 ) +9abc1 所以 , x2 -4 . (a 3 + b 3 + c 3 )(a 2 b + ab 2 +b 2 c
11、 + bc 2 + 由(。 士) 1得 2 a + ca 2 ) +3abc 故当n2时 由 、b. C的对称性不妨设 abC则 = a 2n +1 + a 2n3 = (ab1a 2 b 2 + bc) 2n +1 a 2“3 (ab) (a b) ( a +b c) 0 , 即 X n+1 =3x . X n1 c(ca) (cb) 20 因此数列 。1的各项皆为整数 因此式自成立故结论得证 记 p(n) = X 川 X n1 则 p(2) = X 3 -5 如图6设Ao B 、C, 分别是三条高 p(n) p( n 1) AAo . BB o CC,的垂足H 是垂心 一 XX n+l x
12、 n Xx . X n 易知0 . G . H三点共线(欧拉线) 且 = x . (3x.1 X n2) (3x . X n1 ) x.1 A 1 B Cl. Ao. Bo c. 在 ABC 的九点圆 U g 一0 以BO为直径作圆 圆 召 以BH为直径作 所以p(n)= 1P(n 1)= 。 1 P(2) =5 圆自)B 即对每个n2皆有 ni X n+l =5 rf(N) 11 令 a = y , b . Z X , c = x y 则 a . b. c o , a +b +c=1 只需证 EM 两边齐次化即要证 。 SF= x c - ( a 2 + b 2 + c 2 ) ( a+b+
13、c) 图6 2( ab+bc +c a)(a+b + c) 设A.C与山C,交于点醒则在圆 9 上 一(a +b+c+ a b +ab +bc+ 有等幂式 A Scanned by CamScanner 因为C ,、A, 是 圆圆 召. a i9的公共点所 由罴- sin(c 石 得 以点M关于圆 够 9 a a o 等幂 A . E- i 长表寿 虽 又由Co A . 是圆t 9 (u B. 的公共点知点 在A.FA,中 有 M关于圆 。 9 国 . H等幂 竺置 FA,A.二 B , 因此点M关于圆 (鹰)80 ( 吕 籽I 带 A.FA, AB 所以点M在两圆圆 a o m a . 的根
14、轴上即 sin B 在这两圆的公共弦上 据宏 云 - sintA二 可 得 而B是两圆公共点 故BM为两圆 ao sin B sin(c r cBH的根轴即BM重合于两圆的公共弦 A.F = sintA B) 设O1 H , 是两圆圆心 则BM上O,H , 由于 EA.F =1802A , 因为O1 H,分别是BO.BH的中点所以 EA.A F A.A =90之A , BM OH 因此BM与1重合 则 s _ = oE A . F sin 2A 据条件1与A . C.交于点E ,知点 M与E.A,E A . Fsin A c os A , 重合即BE为两圆(U 吕0 (U . . 的根轴 S
15、, -EA . Asin(90A) 故l 6 A . Co A , C , 三线共点于E MA 画画 类似地若设A.B . 与A , B , 交于点N ,则= 0 B, A 0 A c o s A , N与F重合 即CF为两圆m co 国 C村的根轴 2 且1 . 、A. B . A , B , 三线共点于F 0 “ 0 1 1 1 s n AdA - . F A . A sin(90 A) 为证A . E . F三点共线 只需证(使用面 积方法 = Ao F A 0 Ac o s A S F -S 0乞A +S of a 因此为证式只需证 注意 到ABC的垂心H是其垂足 A.B . C,的内心直线AHA, 是EA,F的平 AEA . Fsin A 。 了( A . E +A . F) A,A 分线 由于A.A. B.2sin B sin C , 于是 设立ABC的外接圆半径R1 , BC. a式圆转化为 CA-b , AB = c sin c sin (c . B sin (cq sin A 由A . C . 4o .C, 四点共圆则在EA , 中 sin(c A) sintA Bi w + c- s in B in c. z EA , A. -180 z c
