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1、机器人避障问题研究论文摘要本文主要以机器人在有12个障碍物的区域如何避障及制定行进路径为研究对象，在研究过程中建立了最优化模型，利用了LINGO编程求解并利用了MATLAB绘制区域实体图和行进路径，验证了结果的正确性。对于问题一，主要计算OA和OAB的最短路径。在计算OA的最短路径时，首先利用覆盖法确定OA的最短路径；其次，采用分段计算的方法，将路径分为两条直线段和一条圆弧进行计算；最后，分别利用勾股定理和弧长定理计算出两条直线段和圆弧的长度。建立OA的最短路径优化模型，通过LINGO编程求解得出，机器人从OA行走的最短路径总距离为471.0372个单位，总时间为96.01764秒，圆弧的起点
2、坐标为（70.50596，213.1406），终点坐标为（76.6064，219.4066），圆心坐标为（80，210）。利用MATLAB绘制图形，将各坐标代入图形中，验证结果正确。在计算OAB的最短路径时，由于A点为转折点，因此通过圆弧穿过A点。通过勾股定理和圆的方程得出各切点和圆弧圆心之间的关系。建立OAB的最短路径优化模型，通过LINGO编程求解得出，机器人从OAB行走的最短路径总距离为471.0372个单位，总时间为96.01764秒，圆弧一的起点坐标为（70.50596，213.1406），终点坐标为（76.6064，219.4066），圆心坐标为（80，210），圆弧二的起点坐标为
3、（70.50596，213.1406），终点坐标为（76.6064，219.4066），圆心坐标为（80，210），圆弧三的起点坐标为（70.50596，213.1406），终点坐标为（76.6064，219.4066），圆心坐标为（80，210），圆弧四的起点坐标为（70.50596，213.1406），终点坐标为（76.6064，219.4066），圆心坐标为（80，210）。利用MATLAB绘制图形，将各坐标代入图形中，验证结果正确。对于问题二，主要计算OA的最短时间路径。由于涉及最短时间，所以同时考虑距离和速度，通过观察发现，机器人在圆弧上行走时速度随圆弧半径的增大不断增大。因此，在O
4、A的路径尽量短的前提下，尽量增大圆弧半径的长度。同问题一的方法，OA的最短时间路径也是由两条直线段和一条圆弧组成的。建立最短时间路径优化模型，通过LINGO编程求解得出，机器人从OA行走的最短时间路径总距离为471.1290个单位，总时间为94.22825秒，圆弧的起点坐标为（69.80454，211.9779），终点坐标为（77.74918，220.1387），圆心坐标为（82.1414，207.9153）。利用MATLAB绘制图形，将各坐标代入图形中，验证结果正确。关键词 避障 最优化模型 编程 绘图1 问题重述1.1问题背景一个800800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器
5、人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。机器人直线行走的最大速度为个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为，其中是转弯半径。如果超过
6、该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走。1.2问题提出根据上述背景，假设场景图中有4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，以此对机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径进行研究，提出以下问题： (1) 机器人从O(0, 0)出发，OA、和OAB的最短路径。(2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A的最短时间路径。注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。2 问题分析2.1问题一 根据题意，问题一OA与OAB之间的最短路径需从两方面进行分析。首先需要根据问题给出已知条件选
7、取从O点到A点的最短路径。然后对最短路径的长度，以及对圆弧的起点坐标、终点坐标、圆弧的长度和圆弧的圆心坐标进行求解。2.1.1对OA路径进行分析 1）确定选取路径的的目标，即选取一条最短距离的路径。 2）机器人行走转弯时，通过一段与直线路径相切的弧度来完成，不能折线转弯，即行走路径由直线与圆弧组成。 3）机器人行走过程中与障碍物之间的距离最少要保持10个单位，避免发生碰撞，因此会在障碍物外围形成一个“禁区”。 4）在圆弧的原点确定的情况下，转弯圆弧的半径越小，转弯后形成的由2条直线段与1条圆弧组成的路径长度越短。 通过对上述4个方面对OA最短路径进行设计，利用画出路径图，进行验证路径图的正确性
8、。2.1.2对OAB路径进行分析通过对选取OA最短路径的方法进行分析，路径OAB的选取方法可以按照OA的方法进行选取。但选取过程中，主要在上述方法上考虑一下几点：1） 由于机器人不能折线转弯，所以经过A点时需要考虑要利用圆弧穿过A点，不能在A点直接折线转弯。2） 通过勾股定理和圆的方程得出8个切点、一个自由圆心和三个圆弧圆心之间的关系。建立OAB的最短路径优化模型，通过LINGO编程求解，利用MATLAB绘制图形，将各坐标代入图形中，验证结果正确。2.1问题二 对最短时间路径分析，首先需要分析路径的选取，然后根据路径的大体情况通过建立一个以所用总时间最少为目标的最优化模型。 1）根据问题一，机
9、器人由O点到A点的路径需要转弯一次来完成，考虑路径时只需要一次转弯就能完成，并且转弯时不仅增加路程，同时速度将会减小，所以路径应减少转弯。因此可以确定路径=为2条直线路径与1条圆弧路径组成。2） 根据转弯速度公式，可以分析当转弯半径越大，转弯速度越大，因此转弯时转弯半径适当增大。 3）题中要求求解最短时间路径，当所用总时间最少时，要确保路径尽可能的短。4）根据题意，本题是求解最短时间路径，因此可以确定目标为机器人由O点到A的所用的总时间最短。并且根据问题一中的路径的距离、切点的坐标以及圆弧圆心坐标的位置范围为约束条件进行分析，建立最优化模型，最后利用求解并利用画出路径图。3 条件假设假设一：机
10、器人行走过程中想象成一个质点，本身宽度不计；假设二：机器人自原点开始，初始速度即为最大速度；假设三：机器人运动过程中，本身不发生故障，行走顺利。4 模型建立与求解4.1问题一4.1.1对OA路线选取本题是通过场景图的障碍物分布，对机器人从O点到A点的行走路线选取最短路径。根据几何知识两点之间线段最短，可以将O、A两点连成一条直线，直线会穿过障碍物5，因此路径选取时要绕过障碍物。绕过障碍物时需经过转弯来完成，转弯不能折线转弯，通过一个直线路径相切的一段圆弧组成，通过圆弧转弯后，同样不能出现折线现象。如图一所示，因此转弯将会增加路程，因此在绕过障碍物时应尽量少转弯。同时为了不与障碍物发生碰撞，要求
11、机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，因此在障碍物外围会形成一个“禁区”，当机器人绕过“禁区”时，靠近禁区最近的距离大于10个单位，那么机器人行走路线将不会闯入“禁区”。对路线的示意图二如下所示。图二图一根据几何知识图形面积越大其周长越长，因此对图二的两条路线分析，路线要短于路线，所以分析路线时需对路线进行分析。此种路径的选取，转弯数量最少，但路径并非最短。当转弯后圆弧的的圆心越接近线段OA，3段路径于OA组成的图形面积越小，则路径将会越短，因此转弯的圆弧的圆心要接近障碍物。由于机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，所以根据实际结合图三可以分析出机器人的转弯圆弧的圆心最终位
12、置位于障碍物5的左上顶点最为合适。根据图四，当转弯圆弧的圆心确定时，半径越大的圆弧与其两侧的切线的距离之和越大；当转弯圆弧半径越小时，圆弧与其两侧的切线的距离之和越小，即转弯圆弧的半径越小总路径距离越小。图四图三 所以根据上述情况综合分析得出：转弯圆弧以障碍物5的左上顶点为圆心，圆弧半径为10个单位，设计最短路径。利用进行画出路径验证，如图五所示。4.1.2对OA路径的距离等其它数据计算根据题意，选取最短路径后，求出最短路径的总距离和总时间，以及对圆弧的起点坐标、终点坐标、圆弧的长度和圆弧的圆心坐标进行求解。 1）通过分析最短路径的示意图，最短路径由2段直线路径与1段圆弧路径构成，因此最短路径
13、的距离为3段路径的长度之和。下图为两种情况的局部示意图，根据示意图对其中2段直线距离利用三角形勾股定理,圆弧长度利用弧长定理可以分别求解:图六图七由勾股定理得到，路线的距离等于圆心到原点的距离的平方与半径的平方的差开平方，计算式如下：由勾股定理得到，路线的距离等于A点到圆心的距离的平方与半径的差开平方，计算式如下：由弧长定理得到，圆弧的长度为半径乘以圆心角，计算式如下：关于两个角度、的对于直线路径长度、的关系式为：对上述3段距离进行求和，则最短路径的长度为： 2)圆弧的长度为： 3）关于圆弧的起点与终点坐标，即两个切点的坐标根据局部示意图得出：路径与圆弧的切点坐标为：路径与圆弧的切点坐标为：综
14、合上述所有条件，利用求解，起点与终点坐标分别为：4）圆弧的圆心坐标： 根据路径选取，圆弧的圆形坐标为障碍物5的左上顶点坐标，坐标为： 综上所述，OA的最短路径如图五所示，直线路径与圆弧的切点即起点坐标与终点坐标分别为与，圆弧以为圆心，10个单位为半径切与直线路径，弧长为9.050955，最短路径的总距离为471.0372，总时间为96.01764秒。4.1.3对OAB路线选取 根据问题分析，在上一条路径的的选取方法考虑机器人不能折线转弯，所以经过A点时需要考虑要利用圆弧穿过A点，不能再A点折线转弯。且场景图的障碍物分布情况由A点到B点的路径会穿过障碍物7和8两个障碍物，当由A点走向障碍物7时需
15、要经过障碍物1，因此还要考虑机器人与障碍物1的最短距离不能少于10个单位。综合以上制定一条最短路径，则路径示意图如下所示：4.1.4对OAB路径的距离等其它数据计算根据题意，选取最短路径后，求出最短路径的总距离和总时间，以及对圆弧的起点坐标、终点坐标、圆弧的长度和圆弧的圆心坐标进行求解。4.2问题二根据问题分析，可以分析出最短时间路径的示意图，如下图所示：根据上图以及结合数学几何知识，可以确定路线较路线距离更短，使用的时间将会更少。因此针对路线的具体路径进行建立模型求解。4.2.2模型建立1）确定目标根据问题分析，确定本题的目标为，机器人从O点到A点所用的最短时间。通过上图以及问题分析可以路径的所用时间为路径、三段路径所用的时间，则函数表达式为：2） 约束分析 假设圆弧的圆心坐标为，半径为，切线起点坐标为,切线终点坐标为，因此对以下的方面进行约束。对路径、的距离进行约束： 路径的距离： 路径的路径距离： 路径的距离：对切点进行约束：首先对切点的坐标进行约束，根据圆弧的局部示意图（）进行分析，则两个切点的坐标分别
