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1、本文作者：谭浩，赵羚，严哲峰，获 9 8 全赛成功参赛奖. 摘要 本文借鉴了金融投资理论，在进一步明确“风险”和“总风险”这两个概念 的基础上，将本问题归并为非线性规划问题。在求解过程中，充分利用了 G i n o 软件，并提出了多种求解准则。 首先，文中提出了一个“基本模型” 。接着为使求解方案更接近实际，文中 通过修正“总风险”的定义，提出了稳利降险、限险求利、图形模拟等模型， 绘制了 “收益风险遍历图” ， 使针对不同类型的投资者的投资方案更具有直观性， 并对模型进行了优化。然后，我们为使模型更加符合实际，提出了两种改进方 案。我们还借鉴层次分析法的思想，引入了对方案的评估准则。另外，我
2、们将 模型推广到一个相当长的时期，并得到了一个新的连续性模型。最后，本文探 讨了本模型在其他领域内的一些应用。 问题的提出 随着社会经济的发展，人们逐渐地认识到，为了获得较好的收益，应将闲置资金 进行投资。某公司有数额为 M 的资金要用于投资，公司的财务分析人员对可投资的 n 种资产 Si (i =1 n)进行了评估，预测出了 Si的风险 qi和平均收益率 ri。同时公司规定， 当购买若干种资产时，总风险由投资量最大的资产的风险来度量。 购买 Si应付的交易费费率为 pi，并且当购买量不超过定值 ui时，交易费按购买额 为 ui来计算。另外，同期银行的存款利率为 5%，且交易费和风险均为零。
3、现要求给出一种投资组合方案，使净收益尽可能大，而总风险尽可能小。 符号说明及定义 M：公司可以投资的总资金 Si(i=1,2 n)：表示各种可投资的资产 S0：银行 Xi：购买 Si的资金份额，以百分比表示 ： 表示设定的风险。 Ri: 购买 Si的平均收益率 qi： Si的风险 Q：投资组合总风险 pi：购买 Si的费率 ui： 投资界限 当购买 Si费用低于 ui时，交易费为 uipi Rj：投资方案总的净收益率 Rji：Si的平均净收益率，其值为 ripi Rjs：投资方案总的净收益 Rjsi：投资 Si的净收益 Rjp：某一时期内的市场平均收益率 Ai：Si所占市场份额 Hi：Si的市
4、场价格 Gi：Si的上市量 Sat：投资方案满意度 满意度评判标准：当两种方案拥有相同的净收益率时，如果其中一个的风险 比另一个小时， 我们就称前者的满意度较高；当两种方案拥有相同的风险时，如果其中一个的净收益率比另一个小时， 我们就称后者的满意度较高；当两种方案一个的净收益率比另一个高，同时风险比后者低时，我们称 前者的满意度较高；在其他情况下，二者满意度无法比较。 基本假设 一， 投资行为只能发生在开始阶段, 中途不得撤资或追加投资。 二， 任一资产可购买量足够多，足以吸纳全部投资资金。 三，几种资产相互之间不会产生影响，例如股市的涨跌不会影响到债券的 涨跌。 四，财务分析人员对平均收益率
5、和风险的预测值是可信的。 五，M值足够大，大至可忽略 ui的影响。 （因为一般情况下企业的投资动辄 成百上千万元，而 ui仅为数百元，故可忽略其影响） 六，公司总会选择满意度高的方案。 问题分析 根据题中所给条件， 公司的财务分析人员对 n种资产进行了评估， 估算出了 这一时期内购买 Si的平均收益率 ri和风险损失率 qi 。根据投资理论，衡量某种 资产的优劣需要依靠两个统计指标：平均收益率和围绕平均收益率的波动程度。 前者用于衡量资产的收益状况，其定义式为： ri=pr ijij j n = 1 其中 rij表示资产 Si的第 j个收益率，pij表示资产 Si的第 j个收益率出现的概 率。
6、 后者用于衡量证券的风险状况，关于风险的定义，我们查找了有关资料： （1） 指资产未来的实际报酬低于预期报酬的机率，或是可能发生损失的机 率。 1 （2） 指投资者不能获得预期投资收益或遭受损失的可能性。2 故此，我们按参考书2来定义“风险” ，即： qi=prr ijiji j n = ()2 1 即实际收益与平均收益的均方差。 题中提出当资金用于购买若干种资产时,总体风险可用所投资的 Si中最大的 一个风险来度量.这里我们认为总风险在数值上与所投资的 Si中投资量最大的 一个资产的风险相等。 模型的建立与求解 基本模型 ? , 模型假设：由问题分析可知，在问题 1的情况下，风险值只能是 2
7、.5%， 1.5%，5.5%，2.6%，0%中的某一个。 ? , 模型的建立与求解： 当风险为 2.5%时， 此时购买 S1的资金超过了 M的一半。 剩余的资金为了追 求最大收益，都将会购买净收益率最大的资产。最后发现所有的资金全部购买 了 S1。净收益率为 27%。 当风险为 1.5%时，可得购买 S1和 S2的资金大约各占一半，S2所耗资金略多 一点。净收益率约为 23%。 当风险为 5.5%时，可得购买 S1和 S3的资金大约各占一半，S3所耗资金略多 一点。净收益率约为 22.5%。 当风险为 2.6%时，可得购买 S1和 S4的资金大约各占一半，S4所耗资金略多 一点。净收益率约为
8、22.5%。 当风险为 0%时， 可得购买 S1和 S0的资金大约各占一半， S0所耗资金略多一 点。净收益率约为 16%。 通过对以上结果的分析， 我们发现模型中未体现出总风险随投资的分散而减 小， 另外当有某种投资所耗资金超过 M的一半时， 无论其余的资金作何种投资， 总风险都不会发生变化。这些显然都是不符合实际情况的，因此我们需要对条 件进行完善。 条件完善的模型 为解决基本模型中的一些不符合实际的情况， 我们需要给投资总风险重新定 义。考虑到当同时投资两种资产时，根据风险的定义式，其总风险应为： qp=Erpjrp =E(X1r1j+X2r2j)(X1r1p+ X2r2p) =X1 q
9、1+X2 q2+2X1X212 式中的12为协方差,表示两种资产之间的关联程度,其值越大,表明其关联程 度越大。由基本假设可知各资产之间没有联系，因此12的值为零。故 qp可表示 为： qp= X1 q1+X2 q2 投资组合的这种特性可以推广到两种以上资产的情况。 当有 n种资产时， 如 每一种资产 Si的投资比例为 Xi，故有: 定义: Q=Xq ii i n 2 0 = 这样一来，我们就可得到新的模型。 模型一 稳利降险 ? , 模型假设： 在投资收益和投资风险的矛盾权衡中， 有许多投资者并不追 求收益率最大或是风险最小， 而是追求在收益率不低于市场平均收益率 的情况下，使其投资的组合风
10、险最小。 ? , 模型建立： 根据基本假设中所提出的投资原则， 我们先计算这一时期内 的市场平均收益率 Rjp。 设市场上共有 n种资产 Si（i=1 n） 可投资， 另外还可以进行储蓄。 每种资产的净收益率为 rji，所占市场份额为 Ai，Hi为 Si的市场价格， Gi为 Si的上市量。可得 R 的表达式为： Rp=Arj ii i n = 0 Ai=（HiGi）/（HG ii i n = 0 ） 由于基本假设中已设定各种资产都足够多，则不妨设各种资产所 占市场份额均相同。即 A1=A2=A3=A4=A5=1/5，这样一来： Rp=（rj1+rj2+rj3+rj4+rj0）/5=17.6%
11、就可以得到模型: min 2.5%X1 +1.5%X2 +5.5%X3 +2.6% X4 +5% X0 St. 27%X1+19%X2+18.5%X3+18.5%X4+5%X017.6% 1Xi0 X1+ X2+X3+X4+X0=1 三，模型求解：所得模型是一个线性条件约束下的非线性规划模型，我们 可以通过 0.618 法运用迭代来求得最优解。 但我们考虑到这类问题的解 法较为复杂，因此使用计算机进行计算。 我们利用 Gino 软件进行计算，最后算得当： X1=0%，X2=23.6%，X3=18.6%，X4=13.1%, X0=44.7%时，有最小 风险值 0.32%。(程序见附录 2.1)
12、模型二 限险求利 一，模型假设：激烈的市场竞争使得企业不得不重视风险的存在。为此我 们提出“限险求利”模型，即在风险一定（不大于）的情况下，给出可使总收 益率 Rj最大的投资方案。 二，模型建立：根据条件，我们可得如下模型： max Rj=Xrj ii i n = 0 S.t. Q=Xq ii i n 2 0 = Xi i n = 0 i=1 1Xi0 模型求解： 我们使用规划软件 Gino 求解问题一， 结果见表一。（程序见附录 2 . 2 ） (%) Rj(%) S1(%) S2(%) S3(%) S4(%) 银行存款(%) 0.2 14.24679 19.036 20.181 5.256
13、 11.288 44.238 0.4 18.07683 26.899 28.613 7.508 15.849 21.131 0.6 21.01571 33.026 34.949 9.189 19.383 3.453 0.8 22.74902 48.258 29.419 7.180 15.142 0.000 1.0 23.60735 58.654 24.359 5.420 11.567 0.000 1.5 25.05522 76.127 16.112 2.512 5.204 0.000 2.0 26.12382 89.114 9.822 0.329 0.735 0.000 2.4 26.8373
14、5 97.967 2.033 0.000 0.000 0.000 2.5 27.00000 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 2.6 27.00000 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 3.0 27.00000 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 4.0 27.00000 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000. 5.5 27.00000 100.00 0.000 0.000 0.000 0.000 表一: 限险求利表 * 表格说明：对于问题一，表中给出：当 Q 在一定范围内（Q ）时， R
15、j的最大值及此时各资产的 配额。 模型三 图形模拟 在前两个模型中，我们给出了风险一定，收益最高和收益一定，风险最低的 方案，并给出了一些数据进行对比。但是在实际投资情况下，由于投资公司的人 员配备，资金多少，管理模式各不相同，从而使投资方案差异很大，他们的方案 也不单纯以险定利高或利定险高为最终目的。 为了对总收益与总风险进行综合考 虑，我们建立二维坐标（Rj- Q） 。 为了较好地模拟公司的投资，可以将投资公司的投资方案倾向分成三类： 1、稳妥型（如图一） 。此方案追求的是风险与投资均衡，即高风险高收益或低 风险低收益 。 2、保守型（如图二） 。此方案追求的是风险低，而不在意收益较低。
16、3、激进型（如图三） 。此方案追求的是收益高，而不在意风险相当高。 稳妥投资方案图 保守投资方案图 激进投资方案图 *图形说明： 同一条曲线上的点对投资公司而言没有区别，满意度一样，故称为无差别曲线。每一种投资类型为 曲线族（两两曲线不相交） 。曲线与 Y 轴截距越大，说明投资者的满意度越高。 当各资产投资份额不同时，即给 S1，S2，S3，S4，S0（银行）投资各不相同时， 将会得到市场总收益与市场总风险的对应关系，在二维坐标（Rj- Q）中其表示 为二维图形。 我们利用 C 语言进行编程，用离散量来模拟连续量，使四种资产以从 0%配 额开始，到 100% 结束（因五种配额总和为 100%，四种确定，另一种也确定） ， 每次增加 0.5%，共模拟上亿个点，得到图四(Rj- Q）- - - 收益风险遍历图。 （程序 见附录 2.5） 图四 收益风
