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1、第六讲 几何类比探究（一）几何类比探究是河南中考数学的重点、难点，虽是考试难点，但依然有法可破！【知识点睛】1.类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构2.类比是解决类比探究问题的主要方法往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题3.常见结构：【例题精讲】例1.（2015潜江24）已知MAN=135，正方形ABCD绕点A旋转（1）当正方形ABCD旋转到MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是 ；如图2，
2、若BMDN，请判断中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由例2.（2015贵港26）已知：ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中PCQ=90，探究并解决下列问题：（1）如图，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：线段PB= ，PC= ；猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为 ；（2）如图，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜
3、想的结论仍然成立，请你利用图给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值（提示：请利用备用图进行探求） 例3.在等腰直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，直线MN过点A且MNBC以点B为一锐角顶点作RtBDE，BDE=90，且点D在直线MN上（不与点A重合）如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP（1）在图2中，DE与CA的延长线交于点P，则BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由（2）在图3中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明例4.在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在RtPMN中，MPN=90（1）如图
4、1，若点P与点O重合且PMAD，PNAB，分别交AD，AB于点E，F，请直接写出PE与PF的数量关系（2）将图1中的RtPMN绕点O顺时针旋转角度（045）如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由如图3，旋转后，若RtPMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O，B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明当BD=mBP时，请直接写出PE与PF的数量关系（3）在（2）的条件下，当DPM=15时，连接EF，若正方形的边长为，请直接写出线段EF的长【练习】1、（2015齐齐哈尔26（8分）如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，
5、点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DMFM（无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想2.如图，在RtABC中，ACB=90，A=30，点O为AB的中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC，OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60，得到线段PQ，连接BQ（1）如
6、图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系：_；（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若BPO=15，BP=4，请求出BQ的长图1 图2 图33如图，ABC中，点E，P在边AB上，且AE=BP，过点E，P作BC的平行线，分别交AC于点F，Q，记AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3（1）若EP=2AE，则EF:PQ:BC=_；求证：EF+PQ=BC（2）若S1+S3=S2，求的值（3）若S3-S1=S2，直接写出的值 4、在ABC中，AD
7、为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE=nEA，连接CE并延长交AB于点F（1）如图1，当BAC=90，B=30，DE=EA时，求的值；（2）如图2，当ABC为锐角三角形，DE=EA时，求的值；（3）如图3，当ABC为锐角三角形，DE=nEA时，求的值第六讲 几何类比探究（二）例1.如图1，QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，QPN=，将QPN绕点P旋转，旋转过程中QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）（1）如图1，当=90时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是_；（2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为ADC=120的菱形，
8、其他条件不变，当=60时，（1）中的结论变为DE+DF=，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明例2.已知直线mn，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m，n不垂直，点P为线段CD的中点（1）操作发现：直线lm，ln，垂足分别为A，B，当点A与点C重合时（如图1所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：_（2）猜想证明：在图1的情况下，把直线l向上平移到如图2的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证
9、明；若不成立，请说明理由（3）延伸探究：在图2的情况下，把直线l绕点A旋转，使得APB=90（如图3所示），已知两平行线m，n之间的距离为2k求证：例3在RtACB和RtAEF中，ACB=AEF=90，若点P是BF的中点，连接PC，PE特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）问题探究：把图1中的AEF绕着点A顺时针旋转（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）记，当k为何值时，CPE总
10、是等边三角形（请直接写出k的值，不必说明理由）？例4（2017洛阳一模）（10分）如图，C为线段BE上的一点，分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN（1）线段MN和GD的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）将图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90，其他条件不变，如图，（1）的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC=7，CE=3，将图中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变，直接写出MN的最大值和最小值例5（2017开封）如图所示，平行四边形ABCD中，B=60，将一块含60的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平
11、面内旋转，且60角的顶点始终与点C重合，角的两边所在的两直线分别交线段AB、AD于点E、F（不包括线段的端点）（1）问题发现：如图1，若平行四边形ABCD为菱形，试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系 ，请证明你的猜想（2）类比探究：如图2，若AB：AD=1：2，过点C作CHAD于点H，求AE：FH的比值；（3）拓展延伸：如图3，若AB：AD=1：4，请直接写出（AE+4AF）：AC的比值为 例6（2017新乡）如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作DEBC交边AC于点E，分别取BC，DE的中点M，N，连接MN（1）发现：在图1中，= ；（2）应用：如图2，将ADE绕点A旋转，请求出的值；（3）拓展：如图3，ABC和ADE是等腰三角形，且BAC=DAE，M，N分别是底边BC，DE的中点，若BDCE，请直接写出的值例7已知：ACB和DCE都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90，连接AE、BD交于点OAE与DC交于点M，BD与AC交于点N（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形
