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1、Leslie人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的Leslie人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。模型假设(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变化。假设女性最大年龄为岁，将其等间隔划分成个年龄段，不妨假设为的整数倍，每隔年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;(2) 记为第个年龄组次观察的女性总人数，记第年龄组女性生育率为（注：所谓女性生育率指生女
2、率），女性死亡率为，记假设不随时间变化; (3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响;(4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。建立模型与求解根据以上假设，可得到方程 = ,2.,-1 写成矩阵形式为 其中，L= （1）记 （2）假设n（0）和矩阵L已经由统计资料给出，则 为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：(i) si 0，i=1，2，m-1;(ii) bi，i=1，2，m，且bi不全为零。易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件（i）、（ii）下，下面的结果是成立的：定理1 L矩阵有唯一的单重的正的特征根
3、，且对应的一个特征向量为 =1，s1/，s1s2/，s1s2 sm-1/T （3）定理2 若是矩阵的任意一个特征根，则必有。定理3 若第一行中至少有两个顺次的，则 （i）若是矩阵L 的任意一个特征根，则必有。 （ii）=， （4）其中c是与n（0）有关的常数。定理1至定理3的证明这里省去。由定理3的结论知道，当t充分大时，有 (5)定理4 记，q（）=/+/2+/，则是L的非零特征根的充分必要条件为q（）=1 （6）所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按1的比例增长。由（5）式可得到如下结论：(i) 当1时，人口数最终是递增
4、的；(ii) 当1时，人口递增；当R1时，人口递减。Leslie模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，供大家参考。公园大象管理南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。过去20年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现。统计表明，每年约处理600-800头大象。近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。一只成年母象打了
5、避孕针后，两年内不再怀孕。公园有一些关于大象的资料，供建模参考：1几乎不再迁入或迁出大象；2目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；3初生象的性别比也是大约1：1，生双胎的比例为1.35%4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月；5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每3.5年生育1次,所以按月循坏的方案是不足取的；6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁；8公园里
6、不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑；公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需要完成以下任务：1 建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数控制在11000头左右,说明数据不确定性对你的结论的影响,评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,(你可能被要求观察30-60年)；3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少,评价如何根据经济效益平衡两种方案；4有一些反对观点认为,假如出现疾病或者
7、失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并回答这个问题；5公园公管理部门正在构造模型,特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型指导决策的观点.希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议，提高公园管理部门的信心,除此之外,你的报告,还应该包括一个详细的技术流程(最多3页)回答公共关心的问题。6假如非洲其它公园对你的模型感兴趣,有意利用你的模型,请为公园大象数在300-25000头规模的公园提供一份避孕计划,顺便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况.附过去两年的迁出数据年龄 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 总量1 1
8、03 77 71 70 68 61 58 51 52 51母象1 50 36 41 29 31 30 28 24 22 29 总量2 98 74 69 61 60 54 52 59 58 57母象2 57 34 33 29 34 28 27 31 25 25年龄 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 总量1 51 50 51 48 47 49 48 47 43 42母象1 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25 总量2 60 63 64 60 63 59 52 55 49 50 母象2 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30年龄 2
9、0 21 22 23 24 25 26 27 28 29 总量1 42 37 39 41 42 43 45 48 49 47母象1 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27总量2 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40母象2 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16 年龄 30 31 32 33 3 4 35 36 37 38 39总量1 46 42 44 44 46 49 47 48 46 41母象1 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24总量2 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26母象2 17
10、 16 18 18 15 18 12 17 16 13 年龄 40 41 42 43 4 4 45 46 47 48 49总量1 41 42 43 38 34 34 33 30 35 26母象1 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11总量2 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19母象2 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9 年龄 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 总量1 21 18 14 5 9 7 6 0 4 4母象1 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2 总量2 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0母象2 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0 年龄 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70总量1 4 3 2 2 1 3 0 2 1 0 2母象1 2 1 1 1 0 3 0 0 1 0 2总量2 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0母象2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0假设与分析 1大象性别比接近1：1，初生象的性别比也是大约1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；2过去两年迁出的大象是随
