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1、3.5 转动惯量,2,3.5 转动惯量,角速度 描述刚体的整体转动，我们希望把刚体的动量矩与动能，和角速度 联系起来。,这将引出转动惯量的概念。,3,3.5.1 刚体的动量矩,定点转动刚体的动量矩,从质点组的角度来写：,(1),(2),(3),(2)(3)代入(1)可得,静止系或活动系都可以,4,3.5.1 刚体的动量矩,定点转动刚体的动量矩,5,3.5.2 刚体的转动动能,(1),(2)代入(1)可得,6,3.5.3 转动惯量的概念,由转动动能引入转动惯量,7,3.5.3 转动惯量的概念,平行轴定理,已知刚体对通过其质心的某轴线lC的转动惯量为IC, 则对与lC平行的轴线l的转动惯量为。,其
2、中 是刚体的总质量；,是两轴线的垂直距离。,8,回转半径,3.5.3 转动惯量的概念,有时为了方便，将刚体对某轴线的转动惯量等效地写为,其中，m是刚体的质量；k叫做刚体对该轴线的回转半径.,相当于将刚体简化为一个集中了所有质量的点，此点到转轴的距离就是k.,9,3.5.4 惯量张量和惯量椭球,转动惯量的一般计算式,某时刻，设转轴l的方向余弦分别是 ，,则,转动动能,静止系或活动系都可以,10,转动惯量的一般计算式,3.5.4 惯量张量和惯量椭球,前面已知,两式比较可得刚体对转轴l的转动惯量为,11,转动惯量的一般计算式,3.5.4 惯量张量和惯量椭球,即刚体对三个坐标轴的转动惯量。,即刚体对三
3、个坐标轴的惯量积。,12,3.5.4 惯量张量和惯量椭球,惯量张量,矩阵元统称惯量系数,则对转轴的转动惯量可写成矩阵形式,13,3.5.4 惯量张量和惯量椭球,惯量张量,转动动能的矩阵形式,动量矩的矩阵形式,14,3.5.4 惯量张量和惯量椭球,惯量椭球的概念,以刚体自身作为参考系，则瞬轴随时间变化绕O点转动，不同时刻有不同的瞬轴。,记所有这些瞬轴为ln, n=1,2,在ln上取一点Qn, 要求满足：,刚体对ln的转动惯量为In,则点集Q1,Q2,Qn,在空间密布成一个椭球面，此椭球称为此刚体的惯量椭球。,15,3.5.4 惯量张量和惯量椭球,惯量椭球的概念,求证：定点转动刚体上满足 所有点Q
4、构成一个椭球面。,证明：,在刚体上建立活动系O-xyz, 并设瞬轴l的方向余弦为 。,设Q点的坐标为(x,y,z)，则,16,3.5.4 惯量张量和惯量椭球,惯量椭球的概念,证明,(2)代入(3), 并利用(1)消去I和R可得,因为是活动系，或上式中惯量系数均为常数。,上式即点Q的坐标必须满足的方程，这是一个椭球面方程。得证。,17,3.5.4 惯量张量和惯量椭球,惯量椭球的概念,惯量椭球方程,综上所述，任何做定点转动的刚体都“背着一个隐形的包袱”即惯量椭球。,在转动定点O上架设一个活动系O-xyz。,其中，Ixx,Iyy,Izz分别是刚体对三个坐标轴的转动惯量，Ixy,Iyz,Izx分别是惯
5、量积，它们都是常数。,则此椭球面方程为,18,3.5.4 惯量张量和惯量椭球,惯量椭球的概念,惯量椭球的意义,因此如果知道了惯量椭球，可以利用上式计算刚体对任意瞬轴的转动惯量。,19,3.5.5 惯量主轴,惯量椭球是在活动系下描述的结果。,所以，惯量椭球也是固连在刚体上的。,于是我们可以选择一个特殊的活动系：,以惯量椭球的三条互相垂直的对称轴作为活动系的三条坐标轴。这样的活动系称为主轴坐标系。三条坐标轴称为惯量主轴。,主轴坐标系和惯量主轴的概念,20,3.5.5 惯量主轴,主轴系的特点,惯量积均为零,证明：,在椭球面上任取一点Q(x,y,z),将这两点分别代入椭球面方程，可得,(1),(2),
6、两式相减可得 Iyzy+Izxx=0.,因为x,y是任意的，故必须Iyz=Izx=0,同理可证,21,3.5.5 惯量主轴,在主轴系下，惯量张量对角化为,其中,对瞬轴 的转动惯量：,惯量椭球方程简化为,对转动定点的动量矩简化为,转动动能简化为,22,3.5.5 惯量主轴,判断刚体惯量主轴的方法,(1) 若均匀刚体有对称轴，且通过转动定点，则此对称轴必是其惯量主轴。,证明：,于是与z轴相关的两个惯量积：,所以，z轴必是惯量主轴。,23,3.5.5 惯量主轴,判断刚体惯量主轴的方法,(2) 若均匀刚体有对称面，且转动定点在此对称面上，则与该面垂直且通过转动定点的轴必是其惯量主轴。,证明：,以转动定
7、点O为原点，以此对称面为xy平面建立活动坐标系O-xyz。,则点(xi, yi, zi)与点(xi, yi, zi)必同在此刚体上。,故，z轴必是惯量主轴。,24,3.5 转动惯量,例题,均匀长方形薄片的边长为a和b, 质量为m，求此长方形薄片绕其对角线转动时的转动惯量。,解：如图建立主轴坐标系。,其中I1,I2,I3分别是薄板对三个坐标轴的转动惯量， 是对角线l的三个方向余弦。,25,3.5 转动惯量,例题,对角线l的三个方向余弦分别为,设薄板质量密度为 ，厚度为t, 则图中与x轴平行的长条状体积元的质量为 。,薄板对x轴的转动惯量为,(3),26,3.5 转动惯量,例题,将(2)(3)(4)代入(1)式可得,27,3.5 转动惯量,结束,
