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1、椭圆中重要结论一 椭圆中的一些不等关系（1）设椭圆（），是椭圆上任意一点，为椭圆的两个焦点，则： ，例 已知是椭圆的左右焦点，是椭圆上的一点且，则此椭圆离心率的范围是_. （其中上下顶点距离坐标原点最近，左右顶点距离坐标原点最远）.例 若椭圆上存在一点，使得到两个焦点的距离之比为，则此椭圆离心率的取值范围是_.到左焦点最近的点是左顶点，最远的是右顶点.到右焦点最近的是右顶点，最远的是左顶点.例 已知椭圆的左右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于，则椭圆的离心率取值范围为_.过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为 二 椭圆焦点三角
2、形的结论（1）已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则例 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，若面积为，则短轴长为_.3练习椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围为_. （2）已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点为椭圆短轴的端点，且最大值为.例 已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围_.（3）已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点为椭圆短轴的端点例 已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围_.（4）已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则例 已知椭圆的两焦点分别为若椭
3、圆上存在一点使得则椭圆的离心率的取值范围_.三 椭圆的中点弦问题（1）在椭圆中，若直线与椭圆相交于，两点，点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为，则（2）在椭圆中，若直线与椭圆相交于，两点，点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为，则例1 椭圆，以点为中点的弦所在直线的斜率为_.（）例2已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交于两点.若的中点坐标为，则椭圆的方程为_.（）练习1 已知椭圆的一条弦的斜率为，它与直线的交点恰为这条弦的中点，则的坐标为_. 练习2已知椭圆，则它的斜率为的弦中点的轨迹方程为_.（综合题） 已知椭圆过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）求的角平分线所在的直线的方程；（3）在椭圆上是否存在关于直线对称的相异的两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.（不存在）四 椭圆与直线的位置关系及其弦长公式若椭圆，直线与椭圆交于，两点，则弦的长度为：或例 设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，.（1）求椭圆的离心率；（2）如果，求椭圆的方程. 练习1 已知椭圆，直线过点且与椭圆相交于两点，是否存在 面积的最大值，若存在，求出的面积，若不存在，说明理由.练习2 已知椭圆，若直线与椭圆相交于不同的两点（不与左右顶点重合），且，求证：过定点，并求出定点的坐标.
