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1、江苏省徐州市江苏省徐州市 2018201820192019 学年高一下学期期中考试学年高一下学期期中考试 数学试题数学试题 201920194 4 一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代 号填涂在答题卡相应位置上）号填涂在答题卡相应位置上） 1.已知直线 过、两点，则直线 的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求斜率，再求倾斜角. 【详解】因为，所以直线 的倾斜角为，选 C. 【点睛】本题考查斜率与倾斜角，考查基本求解能力，属基础
2、题. 2.一个球的表面积是，那么这个球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求球半径，再求球体积. 【详解】因为，所以,选 B. 【点睛】本题考查球表面积与体积，考查基本求解能力，属基础题. 3. 如果 AC0 且 BC0，那么直线 AxByC0 不通过 A. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C 【解析】 把直线化为斜截式：， 又， ， 即斜率为负值，纵截距为正值， 直线不通过第三象限 故选：C 4.在中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】 根
3、据正弦定理求解. 【详解】由正弦定理得,选 B. 【点睛】本题考查正弦定理，考查基本求解能力，属基础题. 5.如图，已知正方体的棱长为 1，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先确定锥体的高，再根据锥体体积公式得结果. 【详解】由正方体性质得平面， 所以四棱锥的体积为，选 B. 【点睛】本题考查锥体体积，考查基本求解能力，属基础题. 6.已知直线与直线互相平行，则实数 的值为（ ） A. 3B. C. 2D. 3 或 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线平行列等式，解得结果. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以，选 A. 【点睛】本题考查
4、两直线平行，考查基本求解能力，属基础题. 7.中，则的面积等于（ ） A. B. C. 或D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据余弦定理求 AC，再根据面积公式得结果. 【详解】因为， 所以或 2， 因此的面积等于或等于， 选 D. 【点睛】本题考查余弦定理与三角形面积公式，考查基本求解能力，属基础题. 8.设 m，n 是两条不同直线， ， ， 是三个不同平面，给出下列四个命题： 若，则； 若 ， ，则； 若，则； 若，则 其中正确命题的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据线面关系主要验证. 【详解】若，则；（定理） 若 ， ，则； 若
5、，则无交点，但不一定平行； 若，则内一直线 ,所以，因为 为 内一直线，所以 综上正确命题的个数是 3，选 C. 【点睛】本题考查线面关系，考查基本分析判断能力，属中档题. 9.一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态） 将容器放倒（如图乙， 一个侧面处于水平状态） ，这时水面所在的平面与各棱交点 ， ，分别为所在棱的中点，则图甲中 水面的高度为（ ） A. B. 2C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据体积相等列式求解. 【详解】图甲中水的体积为，图乙中水的体积为, 所以 ，选 D. 【点睛】本题考查柱体体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 10.在
6、中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 根据正弦定理化角，再根据角的关系确定三角形形状. 【详解】因为，所以 或，选 D. 【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 11.直线与 轴交于点，直线与 轴交于点 ，线段的中点为 ， 则点 的坐标满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求 M,N 坐标，再得 P 点坐标，最后代入选项验证. 【详解】由题意得，因此,满足，选 B. 【点睛】本题考查中点坐标公式
7、以及动点轨迹，考查基本分析求解能力，属基础题. 12.在中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若为锐角三角形，且满足，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据余弦定理以及正弦定理化简条件得 、 关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围. 【详解】因为， 所以 因此, 因为为锐角三角形， 所以 因为在上单调递减，所以，选 A. 【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理、二倍角正切公式以及函数单调性，考查综合分析求解能力，属较 难题. 二、填空题（不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上二、填空题（不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡
8、相应的位置上 ） 13.过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是_ 【答案】 【解析】 【分析】 先求交点，再根据垂直关系得直线方程. 【详解】直线与的交点为, 垂直于直线 的直线方程可设为 , 所以,即. 【点睛】本题考查两直线垂直与交点，考查基本分析求解能力，属基础题. 14.已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则圆柱的体积为_ 【答案】 【解析】 设圆柱的底面圆的半径为 R，则 故填. 15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北的方向 上，行驶 600m 后到达 处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则
9、此山的高度 _ m. 【答案】 【解析】 试题分析:由题设可知在中,由此可得,由正弦定理可得 ,解之得,又因为,所以,应填 . 考点：正弦定理及运用 16.在中，的平分线交于点 ，且，则边的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先根据余弦定理求 CD，再根据余弦定理得BDC，根据正弦定理得 AD,即得结果. 【详解】因为，所以， 因此，所以, , 从而 【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理，考查综合分析求解能力，属中档题. 三、解答题（请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题（请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17.已知直线
10、过点，根据下列条件分别求直线 l 的方程： （1）直线 的倾斜角等于； （2）直线 在 轴、 轴上的截距之和等于 0 【答案】(1) (2) 或. 【解析】 【分析】 （1）先求斜率,再根据点斜式得结果， （2）根据截距为零与不为零分类讨论，再根据正弦过点得结果. 【详解】解：（1）设直线 的斜率为 ，由题意得. 又直线 过点，由直线的点斜式方程可得 即直线 的方程为： （2）设直线 在 轴、 轴上的截距分别为 ， ，由题意得，即 若时，则直线 过点（0，0） ，可得直线 的方程为：. 若时，则直线 的方程为： 将代入得：，即. 直线 的方程为：. 所以直线 的方程为：或. 【点睛】本题考查直
11、线点斜式与截距式方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 18.如图，在直三棱柱中， , 分别是,的中点 （1）求证：平面； （2）求证：平面平面 【答案】 （）详见解析（）详见解析 【解析】 试题分析：（）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行 的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如三角形中位线性质，及利用柱体性质，如上下底面对应边相互 平行（）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明， 往往需要利用线面垂直判定与性质定理进行多次转化：由直棱柱性质得侧棱垂直于底面：底面， 再转化为线线垂直；又根据线线平行，将线线垂
12、直进行转化，再根据线面 垂直判定定理得平面 试题解析：证明：（1）因为 , 分别是,的中点，所以， .2 分 又因为在三棱柱中，所以. .4 分 又平面，平面，所以平面. .6 分 （2）在直三棱柱中，底面， 又底面，所以. .8 分 又，所以， 10 分 又平面，且，所以平面. .12 分 又平面，所以平面平面 14 分 （注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明平面，类似给分） 考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理 【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证
13、明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 19.在中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 （1）求角 的大小； （2）设，求 和的值 【答案】(1) (2) ； 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理化角，即得结果， （2）根据余弦定理求 ，代入条件求 A，最后根据两角差正弦公式以 及二倍角公式得结果. 【详解】解：（1）在中，由正弦定理得：，即： 又由，得. 即，即 可得. 又因为，可得. （2）解：在中，由余弦定理及，. 有，故. 由，可得，因为，故 因此，. 所以， 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及两角差正弦公式与二倍角公式，考查基本分析求解能力，属基 础题. 20.如图，在四
14、棱锥中，底面是矩形，侧面底面，且，若 、 分别为、的中点 （1）求证：平面； （2）求证：平面 【答案】(1)见证明(2)见证明； 【解析】 【分析】 （1）根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果， （2）根据面面垂直性质定理 得线面垂直，即得线线垂直，再根据线面垂直判定定理得结果. 【详解】 （1）连结，在矩形中， 是的中点，对角线互相平分 则 是的中点，又 是的中点， 所以在中有 又平面，平面， 平面 （2）因为平面平面，平面平面， 平面，又由矩形得， 所以平面. 又平面，因为， 又，所以是等腰直角三角形，且，即 又， 而，平面，平面 所以平面 【点睛】本题考查线面平
15、行判定定理、面面垂直性质定理以及线面垂直判定定理，考查基本分析论证能力， 属中档题. 21.如图，矩形是一个历史文物展览厅的俯视图，点 在上，在梯形区域内部展示文物，是 玻璃幕墙，游客只能在区域内参观在上点 处安装一可旋转的监控摄像头为监控角，其 中、 在线段（含端点）上，且点在点 的右下方经测量得知：米，米，米， 记(弧度)，监控摄像头的可视区域的面积为 平方米 （1）求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围；（参考数据：） （2）求 的最小值 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理得 PM,PN，再根据三角形面积公式得结果，根据实际意义求定义区间， （2）根据同角
16、 三角函数关系化为基本三角函数形式，再根据三角函数性质求最值. 【详解】(1）方法一： 在中，米， ，. 由正弦定理得， 所以， 同理在中，.， 由正弦定理得 所以 所以的面积. 当与 重合时，；当 与 重合时， 即， 所以 综上可得： 方法二：在中，米， ，. 由正弦定理可知， 所以. 在中，由正整定理可知：. 所以 又点 到的距离为， 所以的面积= 当与 重合时，：当 与 重合时， 即， 所以. 综上可得： （2）由（1）得 又 当，即时， 取得最小值为 答：可视区域面积的最小值为平方米 【点睛】本题考查正弦定理以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题. 22.如图，在平面四边形中， （1）当四边形内接于圆 时，求四边形的面积 ； （2）当四边形的面积最大时，求对角线的长 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根
