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1、北京师大附中高中一年级上学期期中考试数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合A=x|x210,B=0,1,2，则ABA. 0 B. 0，1 C. 1，2 D. 0，1，2【答案】B【解析】【分析】解出集合B，再根据集合的交集的概念得到结果.【详解】集合A=x|x2-10=-1，1；B=0,1,2，则AB0，1.故答案为：B.【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集（2）看这些元素满足什么限制条件（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满
2、足元素的互异性2.已知ab0,cd，下列不等式中必成立的一个是（ ）A. acbd B. adb+d D. acbd【答案】C【解析】【分析】可以通过举出一些特例，用赋值的方法推翻选项.【详解】已知ab0,cd,由不等式的同向相加的性质得到a+cb+d正确；当a=2,b=1,c=-2,d=-1时，acb-d故A，B，D不正确；故答案为：C.【点睛】这个题目考查了根据不等式的性质判断大小关系，较为基础.3.“a=1”是“函数f(x)=ax2+2x1只有一个零点”的 （）A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 非充分必要条件【答案】B【解析】a=1a=1或a=0f(x
3、)=ax2+2x1只有一个零点.4.在下列区间中，函数f(x)=6xlog2x的零点所在的区间为（ ）A. (12,1) B. （1，2） C. （3，4） D. （4，5）【答案】C【解析】【分析】根据函数的零点存在定理得到结果即可.【详解】函数f(x)=6x-log2x,是单调递减的函数，f3=2-log230,f4=32-20根据零点存在定理得到在区间（3，4）上存在零点.故答案为：C【点睛】这个题目考查了函数零点存在定理的应用，即在区间（a,b）上，若f(a)f(b)0,则在此区间上函数一定存在零点，但是零点个数不确定；如果判断出函数是单调的，再判断出f(a)f(b)0，即可得到函数存
4、在唯一的零点.5.已知函数f(x)=3x(13)x，则f(x)A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数f(x)=3x-(13)x的性质，可得答案.详解：函数f(x)=3x-(13)x的定义域为R，且fx=3x13x=3x+13x=3x13x=fx, 即函数f(x) 是奇函数，又y=3x,y=-(13)x在R都是单调递增函数，故函数f(x) 在R上是增函数。故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.6.已知a=1323,b=2313，c=2323，则A. acb
5、B. abc C. bca D. bac【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性得到cb，再由幂函数的单调性得到ac.进而得到答案.【详解】构造函数y=23x是减函数，故cb，构造函数y=x23是增函数，故得到ac.故ac7在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A. (94,3) B. 94,3) C. （1，3） D. （2，3）【答案】D【解析】试题分析：因为函数f(x)=(3a)x3,x7ax6,x7单调递增，所以1a3且由f(7)f(8)，所以7(3a)3a2，解得a2，所以实数的取值范围是(2,3)，故选D考点：数列的单调性及分段函数的性质【方法点晴】本题主要考查了分段函数
6、的图象与性质、函数的单调性的应用，不等式的求解等知识点的应用，其中解答中根据哈数f(x)是定义域山过的单调递增函数，即可列出不等关系1a3且f(7)f(8)是解答的关键，即可求求解实数的取值范围，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题8.函数f(x)=1x+ln|x|的图象大致是A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：当时，所以，所以当时，函数为减函数，当时，函数为增函数；当时，所以恒成立，所以当时，函数为减函数；所以应选B考点：函数性质与图象.9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数, 且在区间0,+)单调递增. 若实数a满足f(log2a)+f(log12a)2f
7、(1), 则a的取值范围是（ ）A. 1,2 B. (0,12 C. 12,2 D. (0,2【答案】C【解析】试题分析：函数是定义在上的偶函数，等价为），即函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，）等价为即，解得,故选项为C考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.【此处有视频，请去附件查看】10.设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间，若存在x0D，使f
8、(x0)=kx0 (k0)，则称x0是y=f(x)在区间D上的一个“k阶不动点”，若函数f(x)=ax2+xa+52在区间1,4上存在“3阶不动点”，则实数a的取值范围是A. (,12 B. (0,12) C. 12,+) D. (,0【答案】A【解析】【分析】根据“f（x）在区间D上有3阶不动点”当且仅当“F（x）f（x）-3x在区间D上有零点”，依题意，存在x1，4，使F（x）f（x）-3xax22xa+520，讨论将a分离出来，通过换元求得范围即可.【详解】函数f(x)=ax2+x-a+52在区间1,4上存在“3阶不动点”，即ax2+x-a+52=3x有解，整理得到ax2-2x-a+52
9、=0在区间1,4上存在零点，F（x）ax2-2x-a+52，设t=4x5当t=0时，x=54,a=0;当t54时，12a=x214x5,t=4x51,00,11，原式子化简为8a=t+9t+10 -，016,+)进而得到a0，求解x即可.【详解】函数f(x)=log2(1-x1+x)的定义域为1-x1+x0-1x0)的值域为_。【答案】0,1【解析】【分析】将函数变形为f(x)=3xx2+x+1=3x+1x+1，根据均值不等式得到结果.【详解】函数f(x)=3xx2+x+1=3x+1x+1 1x+x2,1x+x+13,故得到3xx2+x+1范围是0,1故答案为：0,1.【点睛】求函数值域的基本
10、方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域。(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域。(3)换元法：形如yaxbcx+d(a，b，c，d均为常数，且ac0)的函数常用换元法求值域，形如yaxabx2的函数用三角函数代换求值域。13.定义：函数f(x)=x（其中x表示不超过x的最大整数），如f(1.6)=1.61，f(2.4)=2.4=3，则f(lg81)_。【答案】1【解析】【分析】lg811，2，根据函数f(x)=x的定义得到f(lg81)1【详解】lg811，2，根据函数f(x)=x的定义得到f(lg81)1.故答案为：1.【点睛】这个题目考查了新定义的函数的应用，较为简单，基础。
11、14.已知函数f(x)=2x,x3f(x1),x3，则f(2+log23)_。【答案】6【解析】【分析】根据2+log233,故f2+log23=fx-1=f1+log23，之后代入解析式即可.【详解】2+log233,故f2+log23=fx-1=f1+log23=21+log23=2log26=6. 故答案为：6.【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量
12、的取值范围.15.能说明“若f(x)f(1)对任意的x(1,3都成立，则f(x)在1,3上是增函数”为假命题的一个函数f(x)_。【答案】答案不唯一，比如f(x)=x+31x31x=1或f(x)=11x30x=1；【解析】【分析】根据题意举出反例即可.【详解】根据题意只要举出的例子不符合函数单调增即可，可以在区间端点处违反单调性，即f(x)=-x+31x3-1x=1.答案为：答案不唯一，比如f(x)=-x+31x3-1x=1或f(x)=11x30x=1；【点睛】这个题目考查了函数的单调性的应用，以及考查了学生对单调性的理解.16.设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x1D，存在x2D，使得f(x1)+f(x2)2=m（m为常数），则称函数f(x)在D上的算术平均数为m。请写出函数f(x)=log2x在区间4,16上的算术平均数m_。【答案】3【解析】【分析】将原式子化简得到x1x2=4m，再用赋值法得到x1=4，则x
