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1、第十九讲 等腰三角形,1.了解：等腰三角形的有关概念；等边三角形的概念； 2.理解：线段垂直平分线的性质； 3.掌握：等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件；等边三角形的性质及判定； 4.会：利用等腰三角形的性质和判定解决问题； 5.能：利用尺规作图作出等腰三角形.,一、等腰三角形的概念、性质及判定 1.概念：有两条边_的三角形叫做等腰三角形. 2.性质：(1)等腰三角形的两个底角_(简写为“_ _”)； (2)等腰三角形的“三线合一”：顶角_、底边上的 _、底边上的高相互重合； (3)等腰三角形是_对称图形，_(_ _、_)所在的直线是它的对称轴.,相等,相等,等边对,等角,平分线,
2、中线,轴,底边上的中线,顶角平分,线,底边上的高,3.判定：(1)定义法； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也 _(简写为“_”).,相等,等角对等边,【即时应用】 1.如图，ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，BAD=20，则 C=_.,70,2.如图，在ABC中，ABAC，BAC的角平分线交BC边于点 D，AB5，BC6，则AD_,4,3.如图，在ABC中，ABAC，A36，BD，CE分别是 ABC，BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有_个.,5,二、等边三角形的概念、性质及判定 1.概念：三条边都_的三角形叫做等边三角形. 2.性质：(1)等边三角形的三个内角
3、都相等，并且每一个角都 等于_； (2)等边三角形是轴对称图形，并且有_条对称轴. 3.判定：(1)定义法； (2)三个角_的三角形是等边三角形； (3)有一个角等于60的_三角形是等边三角形.,相等,60,三,相等,等腰,【即时应用】 1.边长为4的正三角形的高为_. 2.如图，在边长为1的等边ABC中，中线AD与中线BE相交于点 O，则OA的长度为_,三、线段的垂直平分线 1.定义：经过线段_并且_于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 _. 3.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 _.,中点,垂直,相等,垂直
4、平分线上,【即时应用】 1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分 线，P为直线CD上的一点，已知线段 PA=5，则线段PB的长度为_. 2.如图，在ABC中，AB=5 cm，AC=3 cm，BC的垂直平分线分 别交AB，BC于D，E，则ACD的周长为_cm,5,8,【核心点拨】 1.等腰三角形的“三线合一”叙述时一定要强调是指底边上的中线、底边上的高和顶角的角平分线重合. 2.等边三角形是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形.,等腰三角形的性质与判定,【例1】(2011扬州中考)已知： 如图，锐角ABC的两条高BD， CE相交于点O，且OB=OC. (1)求证：ABC是等腰三角形； (2)
5、判断点O是否在BAC的角平 分线上，并说明理由,【思路点拨】(1),【自主解答】(1)OB=OC，OBC=OCB. BD,CE是两条高,BDC=CEB=90. 又BC=CB,BDCCEB(AAS). EBC=DCB,AB=AC, ABC是等腰三角形 (2)点O在BAC的角平分线上连接AO BDCCEB,BD=CE, OB=OC, OD=OE. 又BDC=CEB=90,AO=AO, ADOAEO(HL) ,DAO=EAO, 点O在BAC的角平分线上,【对点训练】 1.(2011黔南州中考)如图，ABC中,AB=AC =6,BC=8，AE平分BAC交BC于点E,点D为AB的 中点，连接DE,则BD
6、E的周长是( ) (A) (B)10 (C) (D)12 【解析】选B.由等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高重合，可知AEBC,BE=CE=4;由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半知DE=BD=3，BDE的周长是10.,2.(2012宁波中考)如图，AEBD，C是BD上的点，且AB=BC，ACD=110，则EAB=_度. 【解析】ACD=110,ACB=70. AB=BC,BAC=ACB=70. AEBD,EAC=ACD=110, EAB=110-70=40. 答案：40,3.(2011乐平中考)如图，在ABC中， ABAC，A80，E，F，P分别是AB， AC，BC边上一点，且BEBP，C
7、PCF， 则EPF_. 【解析】ABAC，A=80，BC50. 又BEBP，CPCF， BEPBPE，CPFCFP， 由三角形内角和为180， 得BPE65，CPF 65. BPECPF+EPF180， EPF 180656550. 答案：50,4.(2011沈阳中考)如图，在ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，B=30，DAB=45. (1)求DAC的度数； (2)求证：DC=AB. 【解析】(1)AB=AC，B=C=30. CBACB=180， BAC=1803030=120. DAB=45， DAC=BACDAB=12045=75. (2)DAB=45，ADC=BDAB=75. DA
8、C=ADC,DC=AC，DC=AB.,等边三角形的性质与判定,【例2】(2012湘潭中考)如图，ABC是边长为3的等边三角形，将ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合，得到DCE，连接BD，交AC于F. (1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论； (2)求线段BD的长.,【思路点拨】(1) 【自主解答】(1)ACBD. DCE由边长为3的等边ABC平移而成， E=ACB=60,DEAC, 又BC=DC, BDE=180-DBC-E=90. BDDE,ACBD.,(2)在RtBED中， BE=6，DE=3，,【对点训练】 5.(2010临沂中考)如图，ABC和 DCE都是边长为4的等边
9、三角形， 点B，C，E在同一条直线上，连接BD， 则BD的长为( ) 【解析】选D.因为两个三角形都是边长为4的等边三角形，所以 CB=CD,等边三角形的每个内角都是60,则CDB=CBD=30, 在BDE中,BDE=90,BE=8,DE=4,由勾股定理可得,6.(2011茂名中考)如图，已知 ABC是等边三角形，点B，C，D， E在同一直线上，且CGCD，DF DE，则E_度 【解析】DFDE， ，同理，GDC ， ，又ABC是等边三角形，ACB 60.E15. 答案：15,7.(2011巴彦淖尔中考)如图，AD是 ABC的中线，ADC=60，BC=6， 把ADC沿直线AD折叠，点C落在C处
10、， 连接BC，那么BC的长为_. 【解析】ADC沿直线AD折叠，说明CDA=60，DC=DC，BCD是等边三角形. 答案:3,等腰三角形的多解问题,【例3】(2011牡丹江中考)腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为_ 【思路点拨】分等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，高是腰上的高还是底边上的高来讨论. 【自主解答】(1)当等腰三角形 为锐角三角形： 高为底边上的高时： 当AB=AC=5，AD=4时， BD=CD=3，底边长为6；,当高为腰上的高时： 当AB=AC=5，CD=4时， AD=3，BD=2， 此时底边长为 . (2)当等腰三角形为钝角三角形时，高只能为腰上的高： 当AB=AC
11、=5，CD=4时，则AD=3， BD=8， 此时底边长为 答案：6或 或,【对点训练】 8.(2011莆田中考)等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为( ) (A)15 (B)12 (C)12或15 (D)不能确定 【解析】选A.当6是腰时，三角形的周长是15；当3是腰时，3+3=6，不能组成三角形.,9.(2012攀枝花中考)已知实数x，y满足 ，则 以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( ) (A) 20或16 (B)20 (C)16 (D)以上答案均不对 【解析】选B.由题意得，x=4,y=8，所以当此三角形的三边的长 为8，8，4时，周长为20；当此三角形的三边的长为4，
12、4，8 时，不能构成三角形.,10.(2010天门中考)从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于_. 【解析】如图，等腰三角形ABC中，AB=AC， 所以B=C,所以ABC的三个内角中只有 两个未知量，顶角、底角, 又因为由三角形三内角和为180， 得+2=180. 过B点画直线交AC于D，则ADB与BDC 都是等腰三角形，,(1)若AD=DB=BC,则=2，+2=180, 解得，=36，=72. (2)若AD=DB，BC=DC，则=3，+2=180， 解得 答案：72或,线段的垂直平分线的性质的应用,【例4】(2011济宁中考)如图， A
13、BC的周长为30 cm，把ABC的 边AC对折，使顶点C和点A重合， 折痕交BC边于点D，交AC边于点E， 连接AD，若AE=4 cm，则ABD的周长是( ) (A)22 cm (B)20 cm (C)18 cm (D)15 cm 【思路点拨】,【自主解答】选A.把ABC的边AC对折，顶点C和点A重合，AE=CE，DEACAD=CDABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+ CD=AB+BC=ABC的周长-AC=30-8=22(cm).,【对点训练】 11.(2012黄冈中考)如图，在ABC中， AB=AC，A=36，AB的垂直平分线交AC 于点E，垂足为点D，连接BE，则EBC的 度数为_
14、. 【解析】由AB=AC，A=36得ABC=C =72，由DE垂直平分AB得EA=EB, EBA=A=36，EBC=ABC-EBA=72-36=36. 答案:36,12.(2011绍兴中考)如图，在ABC 中，分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线MN，交BC于点D，连接 AD.若ADC的周长为10，AB=7，则 ABC的周长为( ) (A)7 (B)14 (C)17 (D)20 【解析】选C.根据作法可知MN是线段AB的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质知：ADDB,则ABC的周长(AC+CB)+AB10+717.,13.(2011海南中考)如图，在ABC 中，AB=AC=3 cm，AB的垂直平分线交 AC于点N，BCN的周长为5 cm，则BC 的长等于_cm. 【解析】因为AB的垂直平分线交AC于N， 所以AN=BN，又因为BCN的周长 =BN+CN+BC=5 cm，BN+CN=AC， 所以BC=5-3=
