《中考数学重难点 第十九讲 等腰三角形课件(考点梳理 高频考点 创新题型).ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学重难点 第十九讲 等腰三角形课件(考点梳理 高频考点 创新题型).ppt(55页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第十九讲 等腰三角形,1.了解:等腰三角形的有关概念;等边三角形的概念; 2.理解:线段垂直平分线的性质; 3.掌握:等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件;等边三角形的性质及判定; 4.会:利用等腰三角形的性质和判定解决问题; 5.能:利用尺规作图作出等腰三角形.,一、等腰三角形的概念、性质及判定 1.概念:有两条边_的三角形叫做等腰三角形. 2.性质:(1)等腰三角形的两个底角_(简写为“_ _”); (2)等腰三角形的“三线合一”:顶角_、底边上的 _、底边上的高相互重合; (3)等腰三角形是_对称图形,_(_ _、_)所在的直线是它的对称轴.,相等,相等,等边对,等角,平分线,
2、中线,轴,底边上的中线,顶角平分,线,底边上的高,3.判定:(1)定义法; (2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也 _(简写为“_”).,相等,等角对等边,【即时应用】 1.如图,ABC中,AB=AC,点D为BC的中点,BAD=20,则 C=_.,70,2.如图,在ABC中,ABAC,BAC的角平分线交BC边于点 D,AB5,BC6,则AD_,4,3.如图,在ABC中,ABAC,A36,BD,CE分别是 ABC,BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有_个.,5,二、等边三角形的概念、性质及判定 1.概念:三条边都_的三角形叫做等边三角形. 2.性质:(1)等边三角形的三个内角
3、都相等,并且每一个角都 等于_; (2)等边三角形是轴对称图形,并且有_条对称轴. 3.判定:(1)定义法; (2)三个角_的三角形是等边三角形; (3)有一个角等于60的_三角形是等边三角形.,相等,60,三,相等,等腰,【即时应用】 1.边长为4的正三角形的高为_. 2.如图,在边长为1的等边ABC中,中线AD与中线BE相交于点 O,则OA的长度为_,三、线段的垂直平分线 1.定义:经过线段_并且_于这条线段的直线,叫做这 条线段的垂直平分线. 2.性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 _. 3.判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 _.,中点,垂直,相等,垂直
4、平分线上,【即时应用】 1.如图,直线CD是线段AB的垂直平分 线,P为直线CD上的一点,已知线段 PA=5,则线段PB的长度为_. 2.如图,在ABC中,AB=5 cm,AC=3 cm,BC的垂直平分线分 别交AB,BC于D,E,则ACD的周长为_cm,5,8,【核心点拨】 1.等腰三角形的“三线合一”叙述时一定要强调是指底边上的中线、底边上的高和顶角的角平分线重合. 2.等边三角形是等腰三角形,而等腰三角形不一定是等边三角形.,等腰三角形的性质与判定,【例1】(2011扬州中考)已知: 如图,锐角ABC的两条高BD, CE相交于点O,且OB=OC. (1)求证:ABC是等腰三角形; (2)
5、判断点O是否在BAC的角平 分线上,并说明理由,【思路点拨】(1),【自主解答】(1)OB=OC,OBC=OCB. BD,CE是两条高,BDC=CEB=90. 又BC=CB,BDCCEB(AAS). EBC=DCB,AB=AC, ABC是等腰三角形 (2)点O在BAC的角平分线上连接AO BDCCEB,BD=CE, OB=OC, OD=OE. 又BDC=CEB=90,AO=AO, ADOAEO(HL) ,DAO=EAO, 点O在BAC的角平分线上,【对点训练】 1.(2011黔南州中考)如图,ABC中,AB=AC =6,BC=8,AE平分BAC交BC于点E,点D为AB的 中点,连接DE,则BD
6、E的周长是( ) (A) (B)10 (C) (D)12 【解析】选B.由等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高重合,可知AEBC,BE=CE=4;由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半知DE=BD=3,BDE的周长是10.,2.(2012宁波中考)如图,AEBD,C是BD上的点,且AB=BC,ACD=110,则EAB=_度. 【解析】ACD=110,ACB=70. AB=BC,BAC=ACB=70. AEBD,EAC=ACD=110, EAB=110-70=40. 答案:40,3.(2011乐平中考)如图,在ABC中, ABAC,A80,E,F,P分别是AB, AC,BC边上一点,且BEBP,C
7、PCF, 则EPF_. 【解析】ABAC,A=80,BC50. 又BEBP,CPCF, BEPBPE,CPFCFP, 由三角形内角和为180, 得BPE65,CPF 65. BPECPF+EPF180, EPF 180656550. 答案:50,4.(2011沈阳中考)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,B=30,DAB=45. (1)求DAC的度数; (2)求证:DC=AB. 【解析】(1)AB=AC,B=C=30. CBACB=180, BAC=1803030=120. DAB=45, DAC=BACDAB=12045=75. (2)DAB=45,ADC=BDAB=75. DA
8、C=ADC,DC=AC,DC=AB.,等边三角形的性质与判定,【例2】(2012湘潭中考)如图,ABC是边长为3的等边三角形,将ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合,得到DCE,连接BD,交AC于F. (1)猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论; (2)求线段BD的长.,【思路点拨】(1) 【自主解答】(1)ACBD. DCE由边长为3的等边ABC平移而成, E=ACB=60,DEAC, 又BC=DC, BDE=180-DBC-E=90. BDDE,ACBD.,(2)在RtBED中, BE=6,DE=3,,【对点训练】 5.(2010临沂中考)如图,ABC和 DCE都是边长为4的等边
9、三角形, 点B,C,E在同一条直线上,连接BD, 则BD的长为( ) 【解析】选D.因为两个三角形都是边长为4的等边三角形,所以 CB=CD,等边三角形的每个内角都是60,则CDB=CBD=30, 在BDE中,BDE=90,BE=8,DE=4,由勾股定理可得,6.(2011茂名中考)如图,已知 ABC是等边三角形,点B,C,D, E在同一直线上,且CGCD,DF DE,则E_度 【解析】DFDE, ,同理,GDC , ,又ABC是等边三角形,ACB 60.E15. 答案:15,7.(2011巴彦淖尔中考)如图,AD是 ABC的中线,ADC=60,BC=6, 把ADC沿直线AD折叠,点C落在C处
10、, 连接BC,那么BC的长为_. 【解析】ADC沿直线AD折叠,说明CDA=60,DC=DC,BCD是等边三角形. 答案:3,等腰三角形的多解问题,【例3】(2011牡丹江中考)腰长为5,一条高为4的等腰三角形的底边长为_ 【思路点拨】分等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形,高是腰上的高还是底边上的高来讨论. 【自主解答】(1)当等腰三角形 为锐角三角形: 高为底边上的高时: 当AB=AC=5,AD=4时, BD=CD=3,底边长为6;,当高为腰上的高时: 当AB=AC=5,CD=4时, AD=3,BD=2, 此时底边长为 . (2)当等腰三角形为钝角三角形时,高只能为腰上的高: 当AB=AC
11、=5,CD=4时,则AD=3, BD=8, 此时底边长为 答案:6或 或,【对点训练】 8.(2011莆田中考)等腰三角形的两条边长分别为3,6,那么它的周长为( ) (A)15 (B)12 (C)12或15 (D)不能确定 【解析】选A.当6是腰时,三角形的周长是15;当3是腰时,3+3=6,不能组成三角形.,9.(2012攀枝花中考)已知实数x,y满足 ,则 以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( ) (A) 20或16 (B)20 (C)16 (D)以上答案均不对 【解析】选B.由题意得,x=4,y=8,所以当此三角形的三边的长 为8,8,4时,周长为20;当此三角形的三边的长为4,
12、4,8 时,不能构成三角形.,10.(2010天门中考)从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发,能将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的底角等于_. 【解析】如图,等腰三角形ABC中,AB=AC, 所以B=C,所以ABC的三个内角中只有 两个未知量,顶角、底角, 又因为由三角形三内角和为180, 得+2=180. 过B点画直线交AC于D,则ADB与BDC 都是等腰三角形,,(1)若AD=DB=BC,则=2,+2=180, 解得,=36,=72. (2)若AD=DB,BC=DC,则=3,+2=180, 解得 答案:72或,线段的垂直平分线的性质的应用,【例4】(2011济宁中考)如图, A
13、BC的周长为30 cm,把ABC的 边AC对折,使顶点C和点A重合, 折痕交BC边于点D,交AC边于点E, 连接AD,若AE=4 cm,则ABD的周长是( ) (A)22 cm (B)20 cm (C)18 cm (D)15 cm 【思路点拨】,【自主解答】选A.把ABC的边AC对折,顶点C和点A重合,AE=CE,DEACAD=CDABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+ CD=AB+BC=ABC的周长-AC=30-8=22(cm).,【对点训练】 11.(2012黄冈中考)如图,在ABC中, AB=AC,A=36,AB的垂直平分线交AC 于点E,垂足为点D,连接BE,则EBC的 度数为_
14、. 【解析】由AB=AC,A=36得ABC=C =72,由DE垂直平分AB得EA=EB, EBA=A=36,EBC=ABC-EBA=72-36=36. 答案:36,12.(2011绍兴中考)如图,在ABC 中,分别以点A和点B为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧相交于点 M,N,作直线MN,交BC于点D,连接 AD.若ADC的周长为10,AB=7,则 ABC的周长为( ) (A)7 (B)14 (C)17 (D)20 【解析】选C.根据作法可知MN是线段AB的垂直平分线,再根据垂直平分线的性质知:ADDB,则ABC的周长(AC+CB)+AB10+717.,13.(2011海南中考)如图,在ABC 中,AB=AC=3 cm,AB的垂直平分线交 AC于点N,BCN的周长为5 cm,则BC 的长等于_cm. 【解析】因为AB的垂直平分线交AC于N, 所以AN=BN,又因为BCN的周长 =BN+CN+BC=5 cm,BN+CN=AC, 所以BC=5-3=