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1、贵州师范（民族）大学成人教育毕业论文协方差函数定义相关系数的必然性系别 数学系 专业 数学与应用数学 年级 2014级 姓名 华端练 学号 教导教师 陈兴强 2015年12月6日 协方差函数定义相关系数的必然性华端练一 协方差函数与自相关函数的定义21. 协方差函数的定义22. 协方差函数的意义23. 自相关函数定义24. 自相关函数的意义25. 协方差函数与自相关函数的联系2二 相关系数的定义2三 协方差定义相关系数的必然性：21.自相关函数定义相关系数的缺陷22. 协方差定义相关系数的好处2四 相关系数的价值21. 自相关函数的局限性22. 协方差函数的优缺点23. 相关系数价值2五 参考
2、文献2摘要：学习过随机过程理论的都知道先关系数是有协方差函数定义的，对于很多定义我们没有太多的思考为什么，只知道它们就是这样定义的，每一领域的知识权威都认可这样的定义，于是我们便很自然地也接受了这些定义。就相关系数的定义而言，相关系数是由协方差函数定义的，对于这一定义基本没有人对此怀有任何怀疑，因为这是数学家们都已经认可的理论，但当初牛顿的运动论在微观领域的很多方面是不适用的，虽然一时得到部分权威人士的认可，地心说一时也得到很多科学家的定义，那么用协方差函数来定义相关系数真的就是最好的方式吗？为什么不用自相关函数定义相关系数？本文就来讨论这一问题。关键词：协方差函数；自相关函数；均值；分布律；
3、概率密度。1 协方差函数与自相关函数的定义 1、协方差函数的定义介绍协方差定义之前先介绍均值和中心距，均值又叫数学期望，是一个随机变量或随机变量最基本的数字特征，研究一个变量或过程的各种性质，必须对其均值进行研究，因为虽然可以通过变量或过程的分布律或概率密度确定其相关信息，但在实际生活中分布律和概率密度都是很难得以确定的，所以我们可以自研究我们有用的部分信息，均值就是其中一项。设是连续型随机变量，它的概率密度为，如果积分绝对收敛，则称它为随机变量的均值，记作，即类似地，我们可以这样定义随机变量的函数的均值：设随机变量的概率密度为，为连续函数，若绝对收敛，则对于随机过程的均值则定义为若为的一维概
4、率密度函数，定义随机过程的均值为：中心距也是随机过程理论里一个相当重要的量，我们通常这样定义k阶中心距：设为随机变量，若存在，且，则称 为的k阶中心距。而称 为的k阶绝对中心距。显然有，所以中心距的意义很重要。了解了均值和中心距的定义后对协方差函数的定义就很便于理解了，我们通常这样定义协方差：设和是随机过程在任意两个时刻和的状态，是相应的二维概率密度，则称二阶中心混合距为随机过程的协方差函数。随机过程的协方差和随机变量的协方差的定义大同小异，只是随机变量的各种数字特征是确定的值，而随机过程的各类数字特征是关于时间的函数，两者在某一种意义上是相同的，因为随机变量的研究对象是确定的量，随机过程的研
5、究对象是随着时间而变化的，即随机过程是随时间变化的随机变量的总体，所以两者的很多数字特征是相似的，所以在下文的介绍中将只对随机过程进行相关的讨论。1、协方差函数的意义在学习协方差之前，都会对均值，标准差和方差等有一定的了解，但标准差和方差一般是用来描述一维数据的，现实生活我们常常遇到含有多维数据的数据集，如果对于处理这样的问题我们依然依靠上面几个特征值，那么将会增加很多不必要的工作量，于是协方差便应运而生，它可以很好地解决二维问题，对于那些多维问题需要计算多个协方差，比如n维的数据集就需要计算个协方差，我们会使用矩阵来组织这些数据，所以利用协方差我们可以处理现实生活中的很多问题，那么协方差函数
6、的协方差的结果有什么意义呢？通常我们这样理解其结果，如果结果为正值，则说明两者是正相关的，比如如果学习成绩和学习时间的协方差函数结果是正的，则表示两者正相关，及学习时间越长，成绩越好。反之，结果若为负值就说明负相关的，如果为0，也就是统计上说的“相互独立”，但在随机过程里协方差函数结果为0，与两者独立是不等价的。当然协方差越大说明两者的相关性较强，越小说明两者相关性较弱。协方差对于二维甚至多维的意义不止是对于对两个变量或是两个过程而言的，还对一个过程的两个不同时刻或是多个不同时刻的研究也很有意义，当然一个过程的不同时刻之间的关系其实就不同变量之间的关系。协方差也有不同的分类，对于变量而言，其协
7、方差是确定的值，对于过程而言，协方差是时间的函数，和过程的其他数字特征一样。对于过程的协方差函数我们通常又分为自协方差函数和互协方差函数，自协方差函数也就是一个过程不同时刻之间的协方差函数，互协方差函数是两个不同时刻不同时间点之间的协方差。协方差函数除了其结果可以衡量两过程之间的相关性，还可以间接性地表示其他一些数字特征，比如通过协方差函数我们可以求得方差，即：当然还可以和自相关函数和均值联系起来，即：协方差函数与自相关函数的关系将会在下文进行详细的介绍。2,自相关函数定义同样介绍自相关函数之前我们先了解原点矩的定义，通常这样定义k阶原点矩：设为随机变量，若有，则称 为的k阶原点矩距。而称 为
8、的k阶绝对原点矩。很明显，零阶原点矩，一阶原点矩为随机变量的均值。自相关函数则这样定义：设和是随机过程在任意两个时刻和的状态，是相应的二维概率密度，则称二阶原点距为随机过程的自相关函数，简称相关函数。它反映的是随机过程在任意两个不同时刻之间的相关性。3,自相关函数的意义顾名思义，自相关函数是衡量相关性的函数，表示了它所表述的两者的关系是怎样的，如父辈身高和子代身高的关系等就可以用其衡量。自相关函数表达了同一过程不同时刻的相互依赖关系，不同的值反映同一过程不同时刻之间不同的依赖关系，这对研究过程不同时刻之间的关系尤为重要。与自相关函数相对应，还有互相干函数，互相关函数反映的是不同过程之间的相关性
9、，我们通常这样定义互相关函数：两个过程和的二维联合概率密度函数为，则其互相关函数为：互相关函数的重要性不亚于自相关函数，在很多领域两者都得到了很大的运用。特别是在无线信号处理上尤为重要，由于相关具有能量的量纲，所以在信号处理方面运用得较多，其中自相关的复立叶变换就是功率普密度。对于互相关，如果两个信号相似性很大，则其互相关函数的峰値会很大，反之，则较小。 如果两个信号完全不相关，即完全不相似，则其相关函数有可能是0。也就是两个信号正交，即。而自相关是对信号相关程度的一种度量，也就是说自相关可以看作是信号与自身的延迟信号相成后的乘积进行积分运算，随机信号的自相关函数与其功率谱是傅氏变换对，通过对
10、接受信号的自相关运算可以进行频谱分析，即（也有，这两个公式也叫作维纳-辛钦公式）。当然相关函数还可以和其他一些数字特征联系以来，它与均方值有这样关系。它与均值有这样的关系：，对于这一式，我们可以这样理解，当一过程的两个不同时刻相隔无限远时，两者肯定是不相关的。它与方差有这样的关系：。由此可见相关函数与各种数字特征都有联系，可见其意义非凡。4,协方差函数与自相关函数的联系从上面的介绍我们知道，两者的定义很相似，所描述过程的性质也很相似，所以两者的联系必然是千丝万缕。从两者定义我们可以做如下推导：所以：两者在公式上的相关联性，也反映出它们在物理意义和实际运用上的相似性，两者都可以反映两个过程或是同
11、一过程的两个或多个时刻之间的相关性，物理意义上，两者都有很多运用，比如，对于两过程的关系中“正交”，“不相关”，“互相独立”便是根据两者的关系来决定的，比如“正交”即两过程的互相关函数为0；“互不相关”即两过程的协方差为0，两者的互相关函数等于常数；“互相独立”即即两过程的协方差为0，两者的互相关函数等于两者均值的乘积。2 相关系数的定义每一个定义的出现，必然有其产生的原因，就像每一种物品都有其用武之地，而在学术界一个新定义的产生必然是因为已有定义不能够满足需要。同样，相关系数的产生也是由于已有定义，诸如：协方差，自相关函数不能够很好地描述事物之间的相关性，所以定义了相关系数这一定义。一般我们
12、这样定义相关系数相关系数有时也叫作归一化的相关函数或标准协方差函数。很明显，相关系数的很多性质与相关函数的性质相同，它能够更加准确地描述随机过程中两个起伏量之间的线性关联程度，其值可正可负也可以为零，为正时表示变量和符号相同的可能性较大，反之，负号表示相反的可能性较大，表示完全相关，表示完全不相关。相关系数反映的相关性比相关函数和协方差函数要精确很多，它通常与相关时间一起运用，反映事物之间的相关性。3 协方差定义相关系数的必然性：1.自相关函数定义相关系数的缺陷前面已经介绍了相关系数的定义，但这只是数学家给出的定义，就像我们在文首质疑的那样，这样的定义是否合理，如果合理是不是最佳的定义，是不是
13、还有其他的更加完美的定义方法，会不会数学家这样的定义完全就是不合理的，或者是不是还有其他合理的定义，或是出现两者定义都合理的情况，有些概念或是公式存在两种或是多种定义方式的先列是存在的，而且并不只是一个两个，无独有偶，会不会相关系数的定义也会出现这种情况，对于相关系数的定义，数学家给出的定义由协方差函数定义的，即，这很另我感觉别扭，或是匪夷所思吧！如果且从这一概念的名字来了解，相关系数为什么要用协方差函数来定义，难道不应该用相关函数来定义吗？相关函数和协方差函数一样可以描述过程的相关性，而且两者所描述的相关性并没有质的区别，都能够很好地描述过程的相关性，难道相关函数有什么致命的缺陷吗？导致数学
14、家们舍近求远。还是协方差函数在描述相关性方面有相关函数不可比拟的优点？下面我试着用相关函数定义相关系数，仿照着用协方差函数定义的相关系数，我这样用相关函数定义相关系数：通过这一定义，我做了如下的推导：也就是说，通过相关函数定义的相关系数的含义，就是求原随机过程两个不同时刻的除去它们的均值后的相关函数，也就是求和的相关函数，这样和原相关函数的定义并没有什么本质上的区别，只是数值的不同而已。也就说这样的定义和相关函数的定义相比而言，并不会给我们的运算过程或是对事物的研究过程带来任何实质上的帮助，那么这就失去了其存在的意义，因为我们不需要一些累赘的定义，所以我们的假设并不成立，通过相关函数来定义相关
15、系数的设想是没有任何可行性的，所以我们不得不舍弃这样的定义。2,协方差定义相关系数的好处用协方差定义相关系数，即，由定义式我们可以得到，相关系数被定义为归一化的协方差函数，归一化的运用在很多学科里有很大的优势，可以对研究过程带来便利，比如微波中会对各种量进行归一化，这样对研究过程起到很大的帮助，在随机过程理论中的高斯过程也有其归一化方式，通过归一化可以将处理过程大大简化，但是有人可能会反驳，上面的假设，即，同样也是被定义为归一化的相关函数，为什么就没有用协方差函数定义相关系数这样的作用呢？很显然，原因就在于两者归一化的基础不一样，用相关函数定义的相关系数是在的基础上定义的，而，如果对于随机变量只是一个常数，即使是随机过程也只是关于时间的函数，这对过程的研究没有什么实质性的影响；而用协方差定义相关系数时，其实过程的方差，而不且且是在原协方差函数的基础上除以一个常数，所以用协方差函数定义的相关系数比用相关函数定义的相关系数
