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1、第一章 质点运动学 1-1已知质点沿x轴作直线运动，其运动方程为，时间和长度的单位分别为米、秒。求：（1）质点在运动开始后4.0s内位移的大小；（2）质点在该时间内所通过的路程；（3）t=4.0s时质点的速度和加速度 。 分析 位移和路程是两个完全不同的概念，只有当质点作直线运动且运动方向不改变时，位移的大小才会与路程相等，质点在t时间内的位移的大小可直接由运动方程得到：，而在求路程时，就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向，此时，位移的大小和路程就不同了，为此，需根据来确定其运动方向改变的时刻，求出和内的位移大小、，则t时间内的路程，见图11。 解 （1）质点在4.0s内位移的大小 （
2、2）由 得知质点的换向时刻为 则 所以，质点在4.0s时间间隔内的路程为 （3）t=4.0s时质点的速度和加速度分别为：1-3 如图1-3（a）所示，湖中有一小船，岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸，设滑轮距水面高度为h，滑轮到原船位置的绳长为，试求：当人以匀速拉绳时，船运动的速度为多少？ 分析 首先选定船为研究的对象，它的速度也就是绳端点的移动速度，绳上各点的移动速度是不相同的；而绳速是指收绳的速率，是绳上各点沿绳运动的快慢，也就是绳上各点速度在绳方向的分量，绳速和船速是两个不同的概念，认为绳上各点的速度相同或将船的速度大小视为绳速的分量均是错误的。 定量描述船的运动状态和规律，必须建立确立的坐
3、标系（所选坐标系可以不相同），写出船在此坐标系中的运动方程，并根据速度和加速度的定义式，即可解出问题。 解1 取如图1-3(b)所示的直角坐标系，船的运动方程为 船的运动速度为 而收绳的速率，且因，故 解2 取图1-3(b) 所示的极坐标，则 由此可知，收绳的速率只是船速沿绳方向的分量。 1-5 一质点P沿半径的圆周作匀速速率运动，运动一周所需时间为20.0s，设t=0时，质点位于O点，按图1-5(a)中所示Oxy坐标系，求（1）质点P在任意时刻的位矢；（2）5 s时的速度和加速度。 分析 该题属于运动学的第一类问题，即已知运动方程求质点运动的一切信息（如位置矢量、位移、速度、加速度），在确定
4、运动方程时，若取以（0，3）为原点的坐标系，并采用参数方程和来表示圆周运动是比较方便的。然后，运用坐标变换和，将所得参数方程转换至Oxy坐标系中，即得Oxy坐标系中质点P在任意时刻的位矢。采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度。 解 如图所示，在坐标系中，因，则质点P的参数方程为 ，坐标变换后，在Oxy坐标系中有 （a） （b） 则质点P的位矢方程为 =5 s时的速度和加速度分别为 1-9 一质点具有恒定加速度，在t=0时，其速度为零，位置矢量。求：（1）在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在Oxy平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。分析 该题属于质点运动学的第二类问题，即已知速度或加速
5、度的表达式或，求运动方程，它是第一类问题的逆过程，是一段时间内运动量的积累。处理这类问题，必须在给定的初始条件下，采用积分的方法来解决。解 由加速度定义式，根据初始条件时，积分可得 = 又由及初始条件t = 0 时，积分可得 由上述结果可得质点运动方程的分量式，即 消去参数t, 可得运动的轨迹方程 这是一个直线方程，直线斜率，。轨迹如图1-9所示。 1-15 碟盘是一张表面覆盖一层信息记录物质的塑性圆片. 若碟盘可读部分的内外半径分别为2.50cm和5.80cm. 在回放时，碟盘被以恒定的线速度由内向外沿螺旋扫描线（阿基米德螺线）进行扫描. (1) 若开始时读写碟盘的角速度为, 则读完时的角速
6、度为多少? (2) 若螺旋线的间距为, 求扫描线的总长度和回放时间. 分析 阿基米德螺线是一等速的螺旋线, 在极坐标下, 它的参数方程可表示为, 式中为极径，为初始极径，为极角，为常量. 它的图线是等间距的，当间距为d时，常量. 因此，扫描线的总长度可通过积分得到. 解 （1）由于线速度恒定，则由，可得，故碟盘读完时的角速度为 （2）在可读范围内，螺旋线转过的极角，故扫描线的总长度为 碟盘的回放时间为 本题在求扫描线的总长度时，也可采用平均周长的计算方法，即 1-17 一半径为0.50m 的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比. 在时测得轮缘一点的速度值为. 求：（1）该轮在的角
7、速度，轮缘一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在内所转过的角度. 分析 首先应该确定角速度的函数关系. 依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度，从而求出公式中的比例系数确定后，注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系，由运动学中两类问题求解的方法（微分法和积分法），即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移. 解 因，由题意得比例系数 所以则时的角速度、角加速度和切向加速度分别分 总加速度 在2.0 s 内该点所转过的角度 1-19 一无风的下雨天，一列火车以的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃外的雨滴和垂线成75角下降. 求雨滴下落的速度. （设下降的雨滴作匀速运动）
8、分析 这是一个相对运动的问题. 设雨滴为研究对象，地面为静止参考系S，火车为动参考系为相对S的速度，为雨滴相对S的速度，利用相对运动速度的关系即可解. 解 以地面为参考系，火车相对地面运动的速度为，雨滴相对地面竖直下落的速度为，旅客看到雨滴下落的速度为相对速度，它们之间的关系为（图1-19），于是可得 1-21 如图1-21（a）所示，一汔车在雨中沿直线行驶，其速率为，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前角，速率为，若车后有一长方形物体，问车速为多大时，此物体正好不会被雨水淋湿？ 分析 这也是一个相对运动的问题. 可视雨点为研究对象，地面为静参系S，汽车为动参考系.如图1-21（a）所示，要使物
9、体不被淋湿，在车上观察雨点下落的方向（即雨点相对于汽车的运动速度的方向）应满足. 再由相对速度的矢量关系，即可求出所需车速. 解 由图1-21(b)，有 而要使，则 第二章 牛 顿 定 律 2-1 一木块能在与水平面成角的斜面上以匀速下滑. 若使它以速率沿此斜面向上滑动，如图2-1（a）所示，试证明它能沿该斜面向上滑动的距离为. 分析 动力学问题一般分为两类：（1）已知物体受力求其运动情况；（2）已知物体的运动情况来分析其所受的力. 当然，在一个具体题目中，在两类问题并无截然的界限，且都是以加速度作为中介，把动力学方程和运动学规律联系起来. 该题木块的下滑过程属于后一类问题，而木块的上滑过程则
10、属于前一类. 动力学问题的一般解题步聚可分为：（1）分析题意，确定研究对象，分析受力，选定坐标；（2）根据物理的定理和定律列出原始方程组；（3）解方程组，得出文字结果；（4）核对量纲，再代入数据，计算出结果来. 证 选定木块为研究对象，其受力如图2-1(b)所示. 取沿斜面向上为x轴正向，由牛顿定律分别列出下滑、上滑过程的动力学方程 （1） （2）由式（2）知，加速度为一常量.由匀变速直线运动规律，有 （3） 解上述方程组，可得木块能上滑的距离 2-2 假使地球自转速度加快到能使赤道上的物体处于失重状态，一昼夜的时间有多长？ 分析 由于物体随地球自转时，有向心加速度存在. 当提供此加速度的力即
11、为重力时，物体处于失重状态. 由向心加速度和角速度的关系就可得一昼夜所需的时间. 解 按题意为 （1） （2）2-4 图示一斜面，倾角为，底边AB长为，质量为m的物体从斜面顶端由静止开始向下滑动，斜面的摩擦因数为. 试问，当为何值时，物体在斜面上下滑的时间最短？其数值为多少？ 分析 该题关键在列出动力学和运动学方程后，解出倾角与时间的函数关系，然后运用对t求极值的方法即可得出数值来.解 取沿斜面为坐标轴Ox，原点O位于斜面顶点，则由牛顿第二定律有 （1）又物体在斜面上作匀变速直线运动，故有则 （2）为使下滑的时间最短，可令，由式（2）有 则可得 此时 2-7 质量为的长平板A以速度在光滑平面上
12、作直线运动，现将质量为m的木块B轻轻平稳地放在长平板上，板与木块之间的动摩擦因数为，求木块在长平板上滑行多远才能与板取得共同速度？分析 当木块B平稳地轻轻放至运动着的平板A上时，木块的初速度可视为零，由于它与平板之间速度的差异而存在滑动摩擦力，该力将改变它们的运动状态. 根据牛顿定律可得到它们各自相对地面的加速度.换以平板为参考系来分析，此时，木块以初速度（与平板运动速率大小相等、方向相反）作匀减速运动，其加速为相对加速度，按运动学公式即可解得.该题也可应用第三章所讲述的系统的动能定理来解. 将平板与木块作为系统，该系统的动能由平板原有的动能变为木块和平板一起运动的动能，而它们的共同速度可根据动量定理求得. 又因为系统内只有摩擦力做功，根据系统的动能定理，摩擦力的功应等于系统动能地的增量. 木块相对平板移动的距离即可求出.解1 以地面为参考系，在摩擦力 和分别是木块和木板相对地面参考系的加速度. 若以木板为参考系，木块相对平板的加速度，木块相对平板以初速度作匀减速运动直至最终停止. 由运动学规律有 由上述各式可得木块相对于平板所移动的距离为
