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1、Ch.2 控制系统的状态空间表达式（模型）,目录(1/1),目 录 概述 2.1 状态和状态空间表达式 2.2 根据系统机理建立状态空间表达式 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间表达式 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵 2.6 线性离散系统的状态空间描述 2.7 Matlab问题 本章小结,根据系统机理建立状态空间模型(1/5),2.2 根据系统机理建立状态空间表达式 建立被控对象的数学模型是进行系统分析和综合的第一步,是控制理论和工程的基础. 上一节讨论了由电容和电感两类储能元件以及电阻所构成的电网络系统的状态空间模型的建立，其依据为各电气元件的物理机理
2、及电网络分析方法. 这种根据系统的物理机理建立对象的数学模型的方法称为机理建模. 机理建模主要根据系统的物料和能量(电压、电流、力和热量等)在储存和传递中的动态平衡关系,以及各环节、元件的各物理量之间的关系,如电感的电压和电流满足的动态关系.,根据系统机理建立状态空间模型(2/5),在实际工程系统中,许多过程和元件都具有储存和传递能量 (或信息)的能力。例如, 机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体都储存有能量并能通过某种形式传递; 化工热力学系统中的物质中的热量的储存与传递; 化工反应系统中的反应物质的物料传递和平衡的信息. 对这些系统,根据其物理和化学变化的机理,由相应描述这些变化的物理和
3、化学的定理、定律和规律等,可得系统各物理量之间所满足的动静态关系式.因此,在选择适宜的状态变量后,可建立系统的状态空间表达式.,根据系统机理建立状态空间模型(3/5),建立动态系统数学模型的主要机理/依据有: 电网络系统中回路和节点的电压和电流平衡关系,电感和电容等储能元件的电压和电流之间的动态关系. 机械动力学系统中的牛顿第二定律,弹性体和阻尼体的力与位移、速度间的关系. 对旋转运动,则相应的为转矩、角位移和角速度. 化工热力学系统中的热量的传递与储存,化工反应工程系统中参加反应的物料的传递和平衡关系. 经济系统中的投入产出方程。,根据系统机理建立状态空间模型(4/5),建立状态空间表达式的
4、关键在于状态变量的选取，它是建立状态空间表达式的前提 状态变量的主要选取办法 系统储能元件的输出 系统输出及其输出变量的各阶导数 上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某种标准形式的变量）,根据系统机理建立状态空间模型(5/5),下面通过常见的 刚体力学系统、 流体力学系统、 典型化工(热工)过程 机电能量转换系统 讨论如何建立状态空间表达式.,刚体动力学系统(1/4),1. 刚体动力学系统的状态空间描述 图2-7表示由弹簧、质量体、阻尼器组成的刚体动力学系统的物理模型. 试建立以外力u(t)为系统输入,质量体位移y(t)为输出的状态空间表达式.,刚体动力学系统(2/4),解 对许多实际系
5、统,由于对系统的各种物理量的初始值或绝对值难于了解,一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之后的相对值。 对本例的刚体力学系统,一般先假设在外力u(t)作用于小车之前,小车已处于平衡态。 下面仅考虑外力加入后,对小车运动的影响. 系统的受力情况如下图所示.,2. 选择状态变量. 对机械动力学系统,常常将位移、速度等选作状态变量. 对本例,有,刚体动力学系统(3/4),1. 应根据系统的内部机理列出各物理量(如本例的力、位置和速度)所满足的关系式. 由牛顿第二定律有,刚体动力学系统(4/4),4. 建立输出方程 y=x1 5. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间表达式,3. 将状态变量代入运动方
6、程,例 设机械位移系统如图2-1所示。力F及阻尼器汽缸速度v为两种外作用，给定输出量为质量块的位移x及其速度 、加速度 。图中m、k、f分别为质量、弹簧刚度、阻尼系数。试求该双输入-三输出系统的动态方程。,图21 双输入-三输出机 械位移系统,解 据牛顿力学，故有 显见为二阶系统，若已知质量块的初始位移及初始速度，该微分方程在输入作用下的解便唯一确定，故选 和 作为状态变量。设 ，三个输出量为 ，可由微分方程导出下列动态方程：,式中,其矩阵形式的状态空间 表达式,在水平方向，应用牛顿第二定律：,对摆杆（不考虑其质量）与小球，运用达郎贝尔原理，以 摆杆与小车铰接点为矩心，建立力矩平衡方程：,而由
7、：,原方程展开得：,线性化：当 和 较小时 ，有,化简后，得,u 为系统输入， y 为系统输出。,状态变量图为,流体动力学系统(1/5),2. 流体力学系统的状态空间描述 图2-8为串联的两个水槽,其截面积分别为A1和A2,当阀门的开度不变,在平衡工作点附近阀门阻力系数分别可视为常量R1和R2. 图中Qi,Q1和Qo为流量; h1和h2为水槽的水面高度. 试求输入为Qi,输出为h2时的状态空间表达式.,流体动力学系统(2/5),下面在讨论本例的解之前,先简单总结一下如下流量与压力(压强)的关系.,解 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的水流体已处于平衡. 下面仅考虑流量Qi的变化
8、量Qi引起的水槽水位的变化.,压力,流量,电路,电压,电流,流体,压力(液位差),液体流量,气体,气压差(压强),气流量(风量),压力/流量,电阻,阀门阻力系数,风阻力系数,流体动力学系统(3/5),1. 机理分析. 根据水槽中所盛的水量的平衡关系和流量与压力(水面高度,液位差)的关系,有,其中代表平衡工作点附近的变化量. 将上述方程的中间变量Q1和Qo消去,则有,流体动力学系统(4/5),2. 选择状态变量. 由于只有两个独立的微分方程,故可选择两个状态变量. 对本例的流体动力学系统,可选水面高度的变化量h1和h2为状态变量,即 x1(t)=h1(t), x2(t)=h2(t) 3. 将状态
9、变量代入上述水面高度变化量的动态方程,则有如下状态方程,流体动力学系统(5/5),4. 建立输出方程 y=x2 5. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间表达式,典型化工(热工)过程 (1/5),3. 典型化工(热工)过程的状态空间描述 图2-9为一化学反应器,它是一均匀、连续流动单元,其中发生如下二级吸热反应,图2-9 某化工(热工)过程,2AB 该化工反应生产过程为: 温度为f(常量),含A物质浓度为CAf(常量)的料液以Q(t)的流量进入反应器; 为保证单元内的液体体积不变,假定流出的流量亦为Q(t);,典型化工(热工)过程 (2/5),为了使化学反应向右进行,用蒸汽对反应器内的溶液进行加
10、热,蒸汽加热量为q(t)。 试以料液的流量Q(t)和蒸汽加热量q(t)为输入,容器内的液体的温度(t)和浓度CA(t)为输出,建立状态空间模型。,典型化工(热工)过程 (3/5),解 1. 机理分析. 在化学反应中,一般应保持热量和物料的平衡关系。 因此,对整个反应器作热量和物料平衡,就有,其中V,CP分别为容器体积、比重和比热;k为反应速率常数; H为反应热。,典型化工(热工)过程 (4/5),2. 选择状态变量. 显然,选择容器内的液体的温度(t)和浓度CA(t)为状态变量是合理的。因此,令 x1(t)=(t) x2(t)=CA(t) 3. 将状态变量代入上述微分方程,则有如下状态方程,典
11、型化工(热工)过程 (5/5),上述状态空间模型表示的是一个双输入双输出的非线性定常系统。,和输出方程,机电能量转换系统(1/5),4. 机电系统的状态空间描述 图2-10表示某电枢控制的直流电动机,其中Ra和La为电枢回路总电阻和总电感,J为转动惯量,负载为摩擦系数为f的阻尼摩擦. 试列写以电枢电压u(t)为输入,轴的角位移(t)为输出的状态空间模型.,机电能量转换系统(2/5),解 1. 设电动机励磁电流不变,铁心工作在非饱和区. 按照图2-10所描述的电动机系统,可以写出如下主回路电压方程和轴转动动力学方程,其中Ea和M分别为如下电枢电势和转矩 Ea=Ced/dt, M=CMia 其中C
12、e和Cm分别为电枢电势常数和转矩常数(含恒定的磁通量) .,机电能量转换系统(3/5),因此,上述主回路电压方程和轴转动运动方程可记为,2. 选择状态变量. 对于本例,若已知电枢电流ia(t),角位移(t)和其导数d/dt在初始时刻t0的值,以及电枢电压u,则上述微分方程组有唯一解. 因此,可以选择状态变量如下,机电能量转换系统(4/5),3. 将状态变量代入上述微分方程,则有如下状态方程,4. 建立输出方程 y=x2,机电能量转换系统(5/5),5. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型,根据系统机理建立状态空间模型-小结(1/3),本节小结 由上述4个例子,可总结出由系统的物理机理建立状
13、态空间表达式的基本步骤为: Step 1. 根据系统内部机理得到各物理量所满足的微分方程. 如: 回路电压和节点电流方程, 牛顿第二定律, 热量和物料平衡关系, 经济学中的投入产出方程等,还记得自动控制原理课中怎么写模型,根据系统机理建立状态空间模型-小结(2/3),Step 2. 选择状态变量. 一般状态变量的个数应为独立的一阶储能元件数,并将储能元件上的物理变量及各阶导数选为状态变量,如 电网络中电容电压和电感电流, 刚体力学系统中惯性体的位移和速度(或角位移和角速度), 流体力学系统中流量和液面高度(容量、体积), 化工系统中热量(或温度)和流量(或浓度) 等物理变量作为状态变量,是较方便的.,写状态空间模型的关键喔,根据系统机理建立状态空间模型-小结(3/3),Step 3. 将选择好的状态变量代换Step 1得到的各微分方程组,整理得一阶微分方程组. Step 4. 根据系统状态变量与输出变量得关系,建立输出方程. Step 5. 整理规范的状态空间表达式. 基于上述机理建模方法对系统机理、结构和参数未知的系统可建立状态空间表达式， 但对于系统机理、结构和参数未知的系统,其状态空间模型的建立,通常只能通过辨识的途径,即用实验建模的方法,通过对系统所作试验而得到的输入输出数据,用统计的方法确定其数学模型。,
