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1、第一届鹏程杯数学邀请赛 小学六年级试题参考解答和评分标准 第一届鹏程杯数学邀请赛 小学六年级试题参考解答和评分标准 （考试时间 100 分钟，满分 120 分） 一、填空题（满分一、填空题（满分 60 分，每小题分，每小题 6 分） 1 分） 1.计算：478099(476.4284476471.6)（1 1 99 ）（） 。 考查内容考查内容：速算与巧算. 答 速算与巧算. 答：1584. 解:解:原式4780994764（28.471.6）0.99 478099476499 1699 160016 1584. 2. 字母 A，B，C，D 代表不同的数码，恰使得2014AAAABBBCCD
2、成立. 则 ABCD BCDA . 考查内容：数字谜和四则运算考查内容：数字谜和四则运算. 答答： 23 11 56 . 解解：由逐次估算可知，只有 1111+888+22-7=2014.则 1,8,2,7.ABCD 所以 18271223 4711 82718756 ABCD . BCDA 3.3.如图，10 个圆的半径相等，已知阴影部分的面积是 48 平方厘米，这 10 个圆的面积之和是多少平方厘米？(取 3.14) 考查内容：图形的面积计算. 答： 考查内容：图形的面积计算. 答：94.2. 解:解:四个圆夹在中间的一块可以看成是一个边长为 2r 的正方形面积减去 四个1 4 圆的面积，
3、也就是减去一个圆的面积，即是（2r）2r24r2r2. 阴影部分的面积可表示为：4r2(4r2r2)448即是 r23. 那么 10r2103.14394.2（平方厘米）. 故这 10 个圆的面积之和是 94.2 平方厘米。 4. 桌上的盘子里放着 60 块饼干， 5 个孩子用它来招待客人。每个孩子从盘 子里给每个自己认识的客人拿了 1 块饼干，然后，客人也从盘子里给每个不认识 的孩子拿了 1 块饼干， 此时， 盘子里的饼干刚好被拿空。 在场一共有个客人。 考查内容：简单应用题 答： 考查内容：简单应用题 答：12 解：解：每个孩子认识的客人数加不认识的客人数的和相等605=12（人） 5.
4、将一个大正方体木块的六个面都染成红色，然后将这个大正方体切割成 3 n个小正方体积木. 已知至少有 2 个面为红面的小积木共有 44 块，则 6 个面都 没染红的小正方体积木共有块. 考查内容：空间观念，简易方程考查内容：空间观念，简易方程. 答：答：27 块块. 解：解：不妨设大正方体棱长为n，则共有 3 n个单位正方体小积木.小单位正方体 两个面为红色的有 122n 个， 3 个面为红色的有 8 个.因此至少有 2 个面为红面 的小积木块共有 122n+8 个，列得方程122844n, 解得5n.所以 6 个 面都没染红色的单位正方体积木共有 3 5227块. 6. 电子钟指示时刻由 00
5、.00.00 到 23.59.59. 每个时 刻显示 1 秒钟. 如图 2 显示的时刻有两个数字 0. 那 么，在一昼夜期间钟表上显示 3 个数字 7 的时刻共 有秒. 考查内容：简单组合计数考查内容：简单组合计数. 答答：72 秒. 解：如果在表盘上显示的数字为:,ab cd mn因为2,5,5,acm那么 7,7,7.acm所以出现的 3 个 7 只能是7.bdn此时 01,0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5.acm或 全部得到2 6 672 个出现 3 个 7 的时刻, 而每个时刻显示 1 秒钟.总计 72 秒. 7.7. 在下面的钉子板上，用橡皮筋最多可以围出（）个正方形。
6、 考查内容：分类讨论、计数考查内容：分类讨论、计数. 答：答：20 9 个4 个1 个4 个2 个 9+4+1+4+2=20 个 8. 已知 a 与 b 是互质的自然数，且 b 小于 50,则满足 11 76 a b 的有序对 ( , )a b的个数是_. 考查内容：分类讨论、计数考查内容：分类讨论、计数. 答答: 18 解解: 由 a, b 是互质的自然数，和 11 76 a b , 得67aba.注意到 b 小于 50. 当 1a 时, 没有符合条件的 b；当 2a 时, 13b .； 当 3a 时, 19,20b ； 图 2 当 4a 时, 25,27b ；当 5a 时, 31,32,3
7、3,34b ；当 6a 时, 37,41b ；当 7a 时, 43,44,45,46,47,48b ；当 8a 时, 49b . 所以有 18 个. 9. 一个 6 位的自然数ABCBCA是 7 的倍数, 则2B C 的最大值等于_. 考查内容：整数整除和最值考查内容：整数整除和最值. 答答: 27 解解:10000010000100010010ABCBCAABCBCA, 100001101001010ABC 14285 761442 76144 72ABC 7142851442144662ABCABC 则662ABC被 7 整除. 因为 B、C 是阿拉伯数码，所以9BC时,2BC可取得 最大
8、值 27, 此时6272BC, 除以 7 余 2, 故取2A , 则662ABC可以被 7 整除. 所以9BC是可以成立的. 10. 已知 3 个不同的非零自然数, 它们两两互质, 且其中任二数之和都能被 第三个数整除, 则 333 222 abc abc _. 考查内容：整数整除和计算求值考查内容：整数整除和计算求值. 答答: 4 2 7 解解: 由于 a, b, c 对称, 可设a bc . 则 2abc , 即 2 ab c , 既然 a, b, c 中任二数之和都能被第三个数整除, 则有 1 ab c , 也就是abc. 因为|b ac, 所以|(2)bab, 但( , )1a b ,
9、 所以b|2. 此时, 1b 或 2b . 但 1b 时, 有 1ab , 则 0a 不合题意. 所以 2b . 此时有 1a , 2b , 3cab 为所求的三个自然数. 所以, 333 222 4 14 36 2. 7 abc abc . 二、解答题（满分二、解答题（满分 60 分，其中第分，其中第 11-13 题各题各 10 分分,第第 14、15 题各题各 15 分）分） 11.一张长方形纸片，长为 200 厘米，将它按如图所示的方式折一下，剪下 一个边长等于长方形纸片宽的正方形（称为第一次操作） ；再把剩下的长方形纸 片继续按相同的方式操作，剪下一个边长等于此时长方形纸片宽的正方形，
10、如此 操作下去。若在第 3 次操作后，剩下的长方形纸片恰好为正方形，求原长方形纸 片的宽. 解:解:如下图所示，分四种情况考虑： （1）剪 4 个一样大的正方形，原长方形纸片宽：200450（厘米）. （3 分） （2）剪 2 个较大的和 2 个较小的，原长方形纸片宽：2005280（厘 米）.(6 分) （3）剪 1 个较大的和 3 个较小的，原长方形纸片宽：20043150（厘 米）.(8 分) （4）剪 1 个较大的和 3 个较小的，原长方形纸片宽：20053120（厘 米）.(10 分) 1212.小明家离外婆家有 2500 米的路程，其中平路占1 5 ，到外婆家上山路是下 山路的2
11、3 ，小明从家出发，用了 50 分钟到达外婆家。已知小明上山路的速度比 平路慢 20%，下山路的速度比平路快 20%，照这样计算，小明从外婆家返回家里 要走多少分钟？ 解:解:小明到外婆家，上山路是全程的（11 5 ） 2 23 8 25 ,下山路是全程 的（11 5 ） 3 23 12 25 .(1 分) 平路、上山路与下山路的路程比是1 5 8 25 12 25 5812.(2 分) 平路、上山路与下山路的速度比是 1 （120%） （120%）546. （3 分） 那么他在平路、上山路与下山路所用时间的比是5 5 8 4 12 6 12 2）.（5 分） 在平路上所用的时间是 50 1
12、122 10（分） ，在平路的速度是 25001 5 1050（米/分） ，上山路的速度是 50（120%）40（米 /分） ，下山路的 速度是 50（120%）60（米/分）.（7 分） 返回家里的用时为：102500 8 25 60250012 25 4010131 3 30 531 3 （分） . （10 分） 答：小明从外婆家返回家里要走 53 1 3 分钟. 13、13、如图四边形ABCD为任意四边形，且它的面积为 2 30cm，E、F将AB三 等分，G、H将CD三等分，连接FG和EH，则原四边形被分成三个小的四边 形，试求中间的小四边形EFGH的面积. 解：解：连接DBDFBHHF
13、、. 因为 1 , 3 DFBDAB SS ， 1 3 BHDBCD SS H G F E D C B A H G F E D C B A 所以， 1 () 3 DFBBHDDABBCD SSSS ， 即 1 3 DFBHDABC SS.(5分) 因为 HEFHFB SS ， FGHFHD SS ， 所以， HEFFGHHFBFHD SSSS ， 即 HEFGDFBH SS， 因此， 1 3 HEFGDABC SS 2 10cm.(10 分) 说明：只给出答案“ HEFG S 2 10cm”的给 1 分. 14.为了准备参加“鹏程杯”数学竞赛，小明用 5 天时间共做了 31 道练习题. 每天做
14、题的数量都比前一天有所增加.如果他第一天做题量是第五天的三分之 一，问他第四天作了几道题？简述你的理由. 考查内容：题目不难，主要考察说明理由的逻辑表述考查内容：题目不难，主要考察说明理由的逻辑表述. 答：答：8 道题. 解解：如果小明在第一天作了不多于两道题, 即这意味着在第五天他做了不多 于六道题. 并且 5 天做题总数不多于5 6=30道，小于总题数 31 道. 不符. 如果在第一天他做了不少于 4 道题，那么在第二天做了不少于 5 道题，在第 三天做了不少于 6 道题， 第四天不少于 7 道题，而在第五天不少于 12 道题. 这 样他五天做题总数不少于 4+5+6+7+12=34 道题
15、. 大于总题数 31 道题. 不符. 由此得出，在第一天小明只能做 3 道题. 在第五天他作了 9 道题. 我们假设， 在第四天他做了不多于 7 道题， 则在第三天他做了不多于 6 道题， 在第二天他做了不多于 5 道题.五天共做不多于 3+5+6+7+9=30 道题.不合题意.这 样一来，在第四天他只能做 8 道题. 例如：从第一天到第五天分别做 3，5，6，8，9 道题，或分别做 3，4，7， 8，9 道题满足题设条件. 评分说明：猜到第四天做 8 道题，可给 1 分；同时列举了从第一天到第五天 分别做 3，5，6，8，9 道题，或分别做 3，4，7，8，9 道题的 3 分；猜到第四天 做 8 道题，并说明了理由的 5 分；进一步说明“第一天不能做两道题或少于两道 题”的另得 5 分；进一步说明“第一天不能做四道题或多于四道题”的也另得 5 分. 15.如果存在连续的n个非零自然数，每个数的质因数分
