第十五章 虚位移原理1

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1、系统的约束及其分类 自由度与广义坐标 虚位移及其计算 虚功和理想约束 虚位移原理及其应用 以广义力表示质点系的平衡条件 平衡的稳定性,第十五章 虚位移原理,引 言,静力学中以力的平行四边形法则和二力平衡公理为基础研究了刚体和刚体系统的平衡，该部分内容称为几何静力学。由几何静力学建立的平衡条件，对刚体的平衡是必要与充分的，但对任意质点系来说，仅仅是必要的而不一定是充分的。下面所介绍的虚位移原理，是用分析的方法来研究任意质点系的平衡问题。这部分内容称为分析静力学。虚位移原理给出的平衡条件，对于任意质点系的平衡都是必要与充分的，因此它是解决质点系平衡问题的普遍原理。同时，将虚位移原理和达朗伯原理相结

2、合，可以导出动力学普遍方程和拉格朗日方程，从而得到求解质点系动力学问题的又一个普遍的方法。,15.1,系 统 的 约 束 及 其 分 类,限制质点系中各质点的位置和运动的条件称为约束。表示这些限制条件的表达式称为约束方程。根据约束形式及其性质，约束可分以下类型：,一、几何约束与运动约束,限制质点或质点系在空间的几何位置的约束称为几何约束。如：,几何约束方程的一般形式为,系 统 的 约 束 及 其 分 类,不仅能限制质点系的位置，而且能限制质点系中各质点的速度的约束称为运动约束。,为几何约束方程。,为运动约束方程。,运动约束方程的一般形式为,二、定常约束与非定常约束,约束条件不随时间变化的约束称

3、为定常约束。,约束条件随时间变化的约束称为非定常约束。如,其约束方程为,15.1,系 统 的 约 束 及 其 分 类,非定常约束方程的一般形式为,三、双面约束与单面约束,同时限制质点某方向及相反方向运动的约束称为双面约束。,只能限制质点某方向的运动，而不能限制相反方向运动的约束称为单面约束。其约束方程的一般形式为,四、完整约束与非完整约束,几何约束或其约束方程能够积分的运动约束称为完整约束。,如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且不可以积分，这种约束称为非完整约束。,本章只研究定常的双面的完整的几何约束问题。,15.1,自 由 度 与 广 义 坐 标,对于一个自由质点，要确定它在空间的位置

4、，需要三个独立的直角坐标。对于由n个质点组成的自由质点系，则需要3 n个独立的直角坐标来确定每个质点在空间的位置。但对于非自由质点系来说，由于约束的存在， 3 n个坐标就不都是相互独立的，它们必须满足约束方程。例如：,确定具有完整约束的质点系位置所需要独立坐标的个数称为该质点系的自由度数，简称自由度。图示机构具有一个自由度。,一、自由度,15.2,自 由 度 与 广 义 坐 标,用来确定质点系位置的独立参变量称为该质点系的广义坐标。在完整约束的情况下，质点系广义坐标的数目等于该质点系的自由度。,例如，图示双摆，有两个自由度，可取 ， 为广义坐标来确定系统的位置。,二、广义坐标,15.2,自 由

5、 度 与 广 义 坐 标,在一般情况下，若由 个质点组成的质点系，具有 个自由度，取 为广义坐标。对于定常的完整约束，质点系中各个质点的矢径及其直角坐标可以写成如下的广义坐标的函数形式,必须指出，广义坐标的选取不是唯一的，要根据解题的方便任意选取，广义坐标的单位可以是长度，也可以是角度。但广义坐标必须具备两个条件：一是所选取的一组广义坐标能够完全确定质点系的位置，二是各广义坐标之间必须相互独立。,15.2,15.3,虚 位 移 及 其 计 算,一、虚位移的概念,在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何微小的位移，称为该质点系的虚位移。,二、虚位移和实位移的异同,1、虚位移和实位移都受

6、约束的限制，是约束所允许的位移。,2、实位移是在一定的力作用下和给定的运动初始条件下，在一定的时间内发生的位移，具有确定的方向，即实位移是唯一的。,虚位移不牵涉到系统的实际运动，也不涉及到力的作用，与时间和运动的初始条件无关，即虚位移不是唯一的。,虚位移用 表示。,15.3,虚 位 移 及 其 计 算,3、实位移可能是微小值，也可能是有限值。,虚位移一定是微小值。,4、在定常约束的情况下，微小实位移必定是虚位移中的一个。在非定常约束的情况下，实位移与虚位移没有关系。,5、实位移、虚位移与矢径的关系,微小实位移与矢径是微分关系,虚位移与矢径是变分关系,15.3,虚 位 移 及 其 计 算,三、虚

7、位移的计算,1、几何法,（1）比例法,（2）投影法,这里仅讨论定常约束的情形。在此条件下，真实位移是虚位移中的一个。因此可以用求实位移的方法来求各质点虚位移之间的关系。这种方法又称虚速度法。,15.3,虚 位 移 及 其 计 算,二、虚位移的计算,1、几何法,（1）比例法,（2）投影法,（3）瞬时法,15.3,虚 位 移 及 其 计 算,解法二：瞬时法,椭圆规机构如图，求A、B两点的虚位移关系。,解法一：投影法,例1,15.3,虚 位 移 及 其 计 算,2、解析法,解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。,式中， 称为广义虚位移。上式表明，质点系的虚位移都可以用质点

8、系的广义虚位移表示。,15.3,虚 位 移 及 其 计 算,对上式进行变分运算得,椭圆规机构如图，求A、B两点的虚位移关系。,例1,15.3,虚 位 移 及 其 计 算,选取 为广义坐标， 则 表示为。,作变分运算,所以,比较以上方法，可以发现，几何法直观，且较为简便，而解析法比较规范。,解法二： 用坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。,15.2,自 由 度 与 广 义 坐 标,例2 如图所示双摆，试确定系统的 虚位移。,解：该系统有两个自由度，可 取 ， 为广义坐标并用来 确定系统的位置。,15.4,虚 功 和 理 想 约 束,如图所示，设某质点受力 作用，并给该质点一个虚位移 ，则力

9、 在虚位移 上所作的功称为虚功，即,或,显然，虚功也是假想的，它与虚位移是同阶无穷小量。,1、如果在质点系的任何虚位移中，所有的约束反力所作虚功的和等于零，则这种约束称为理想约束。其条件为,2、常见的理想约束有：,支承质点或刚体的光滑固定面、连接物体的光滑铰链、连接两个质点的无重刚杆、连接两个质点不可伸缩的绳索、无滑动的滚动。,一、虚功,二、理想约束,15.5,虚 位 移 原 理 及 其 应 用,具有双面、定常、理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的、必要与充分条件是：所有作用于质点系上的主动力，在该位置的任何虚位移中所作的虚功之和等于零。其数学表达式为,或,或用解析式表示为,以上三式称为虚功

10、方程。虚位移原理也称虚功原理。,一、虚位移原理,15.5,虚 位 移 原 理 及 其 应 用,1、求主动力之间的关系,二、虚位移原理的应用,2、求系统的平衡位置,3、求结构约束反力,4、求静定桁架杆件的内力,15.5,虚 位 移 原 理 及 其 应 用,1、求主动力之间的关系,例3 图示机构中，已知OA=AB=l，,，如不计各构件的重量和摩擦，求在图示位置平衡时主动力 与 的大小之间的关系。,解1：以系统为研究对象，受的主动力有 、 。,AB作平面运动，瞬心在 点，则,将以上关系代入前式得,由于 ，于是得,给系统一组虚位移如图，寻找虚位移的关系。,15.5,虚 位 移 原 理 及 其 应 用,

11、解2：解析法。建立如图坐标。,由于,且,对上两式作变分，得,即,由于 ，于是得,15.5,虚 位 移 原 理 及 其 应 用,例4 图示机构中，当曲柄OC绕轴摆动时，滑块A沿曲柄自由滑动，从而带动杆AB在铅垂导槽K内移动。已知OC=a，OK=l，在C点垂直于曲柄作用一力 ，而在B点沿BA作用一力 。求机构平衡时，力 与 的关系。,解1：（几何法）以系统为研究对象，受的主动力有 、 。,其中,式中,故有,由于 ，于是得,给系统一组虚位移如图，寻找虚位移的关系。,15.5,虚 位 移 原 理 及 其 应 用,解2：解析法。建立如图坐标。,主动力作用点的坐标及其变分为,主动力在坐标方向上的投影为,即

12、,亦即,由于 ，于是得,15.5,虚 位 移 原 理 及 其 应 用,解3：综合法。,本题用解析法计算 力的虚功，用几何法计算 力的虚功，此时虚功方程可以写为,即,可得同样的结果。,15.5,虚 位 移 原 理 及 其 应 用,2、求系统的平衡位置,例5 图示平面机构，两杆长度相等。在B点挂有重W的重物。D、E两点用弹簧连接。已知弹簧原长为l，弹性系数为k，其它尺寸如图。不计各杆自重。求机构的平衡位置。,解：以系统为研究对象，建立如图的坐标。,系统受力有主动力 ，以及非理想约束的弹性力 和 ，将其视为主动力。其弹性力的大小为,主动力作用点的坐标及其变分为,15.5,虚 位 移 原 理 及 其

13、应 用,主动力在坐标方向上的投影为,即,亦即,因 ，故,将F代入，化简得,15.5,虚 位 移 原 理 及 其 应 用,3、求约束反力,例6 试求图示多跨静定梁铰B处的约束反力。,解：以梁为研究对象，解除B处约束，代之以相应的约束反力 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,由虚位移原理有,由图知,15.5,虚 位 移 原 理 及 其 应 用,于是得,从而有,15.5,虚 位 移 原 理 及 其 应 用,解：（1）求A端约束反力偶矩。,以梁为研究对象，解除A处限制转动的约束，代之以相应的约束反力偶矩 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,由虚位移原理有,由几何关系得,15.5,虚

14、 位 移 原 理 及 其 应 用,于是得,故有,（2）求A处铅垂反力。,解除A处铅垂的约束，代之以相应的约束反力 ，并视为主动力。给系统一 组虚位移，如图所示。,由虚位移原理有,于是有,故有,由几何关系得,15.5,虚 位 移 原 理 及 其 应 用,例8 如图所示结构中，杆件AB与CD用光滑铰链C连接，已知作用于B点的力为P，作用于杆CD上的力偶矩为M，尺寸如图，杆重不计。求支座D处的约束反力。,解：(1)以系统为研究对象，解除D处的水平约束，代之以相应的约束反力 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,由虚位移原理有,由运动学关系,15.5,虚 位 移 原 理 及 其 应 用,(2)

15、 再以系统为研究对象，解除D处的垂直约束，代之以相应的约束反力 ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,于是得,由虚位移原理有,由运动学关系,于是得,15.5,虚 位 移 原 理 及 其 应 用,4、求桁架杆件的轴力,例9 求图示桁架杆1和杆2的轴力。,解：以桁架为研究对象，解除1杆的约束，代之以相应的约束反力，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,由虚位移原理有,由几何关系得,于是得,15.5,虚 位 移 原 理 及 其 应 用,解除2杆的约束，代之以相应的约束反力，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,由虚位移原理有,由几何关系得,于是得,14.6,以广义力表示质点系的平衡条件,一、广义力,则,14.6,以广义力表示质点系的平衡条件,因为 且 均为广义坐标的函数，所以,二、广义力的计算方法：,14.6,以广义力表示质点系的平衡条件,若作用在质点系上的主动力均为有势力，质点系在任一位置的势能为 ，则有,代入上式得,2、保守系统的解析法,即：对应于某一广义坐标的广义力，等于势能对该广义坐标的偏导数冠以负号。,当作用于质点系上的全部