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1、 1 第七届全国周培源大学生力学竞赛评分标准 一、小球在高脚玻璃杯中的运动一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20 分分) 一半球形高脚玻璃杯，半径 r =5cm，其质量 m1=0.3 kg， 杯底座半径 R =5 cm，厚度不计，杯脚高度 h =10 cm。如果有 一个质量1 . 0 2 =mkg 的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后 沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平 面之间的静摩擦因数 fs = 0.5。试分析小球在运动过程中： （1） 高脚玻璃杯会不会滑动； （2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧 翘起） 。 解：解： （1）（1）分析杯子滑动情况 设杯子不动，小球在杯子未运动
2、前不脱离杯子。取小球为研究对象，受力如图所示，应用 动能定理有 （2 分） 即 由牛顿运动定理有 cos. 21 2 2 gmF r v m= （2 分） 解得 （1 分） 取杯子为研究对象，受力如图所示， 0= x F，0sin 1 =FF 0= y F，cos 11 FgmFN=0 （2 分） 解得 （1 分） 最大静滑动摩擦力 Ns FfF. max =，而 = FFmam1.5)2sincos1 ( 2 2 +gm0 由于 max FF ，所以杯子不滑动。 （2 分） O A m2g v F1 （1 分） cosgr0m 2 1 2 2 2 mv= 2 21N 2 gcos3mg 2s
3、ingm 2 3 += = mF F cos2gr v2= h O B m1g F 1 F C r （1 分）x gcos3m 21 =F FN 2 （2）（2）分析杯子侧倾（一侧翘起）情况 杯子处于侧倾的临界平衡状态时，0=x （2 分） 得 0cos3sincos1 2 = （2 分） 解得 =63.3 , 45. 0cos&；=45 , 2 2 cos。 即= 63.3 时，杯子倾侧（一侧翘起） 。 （2 分） 通过以上分析得知，当小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹 角= 63.3 时，高脚玻璃杯侧倾（一侧翘起） 。 二、杂耍圆环二、杂耍圆环(40 分分) 1.杂
4、技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，随后不离开 地面向前滚动，为什么？（4 分） 2.杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自动返回到演员 跟前。 设圆环与地面接触瞬时圆环中心 O 的速度大小为 0 v， 圆环的角速度为 0 ， 圆环半径为 r， 质量为 m，圆环与地面间的静摩擦因数为 s f，不计滚动摩阻，试问： （1）圆环能自己滚回来的条件是什么？（10 分） （2）圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动，在此运动过程中，圆环所走过的距离是多少？ （5 分） （3）当圆环在水平地面上无滑动地滚动时，其中心的速度大小为 v1，圆环平面保持在铅垂
5、平面内。试分析圆环碰到高为 h) 2 r (h 0，圆环与地面有相对滑动，摩擦力 F=fsFN，式中 FN=mg 。 由质心运动定理 s mg dt dv mf= （2） 解得 v=v0fsgt ( 3 ) 由 rmg dt d mr s 2 f= （4） 解得 r gt s 0 f = （5） 由于摩擦力存在，v 和都随时间而减小。 第二阶段，由（1） ， （3） ， （5）式解得 gt2)rv(u s00 f+= 当 u=0 时刻开始摩擦力为零，有 g2 )rv( t s 00 1 f + = （6） 此时质心速度大小为 1s01 gtvvf= 要使得圆环返回，则0v1 方向如图所示。 （
6、2）离最远处开始无滑动地滚动的距离 圆环到达最远距离时，v=0，时间为 g v t s 0 2 f =； 当 u=0 时刻开始无滑动滚动，有 g2 )rv( t s 00 1 f + =； 在此过程中，加速度的大小为 a=fsg 所求距离： s 2 02 21s 8g )v-(r )(g 2 1 s f ttf = v0 0 C (4 分) (2 分) (1 分) (2 分) (2 分) (1 分) (2 分) (2 分) (1 分) (2 分) 4 （3）圆环能不脱离接触地爬上台阶所应满足的条件 因为圆环只滚不滑，v1=r1 ，塑性碰撞后，环绕 O 定轴转动，环心速度 uC=r2 碰前对 O
7、 点的动量矩 1C1O1 J)hr (mvL+= 碰后对 O 点的动量矩 2OO2 JL= 其中 2 O 2mrJ= 由于碰撞时对 O 点动量矩守恒，则 O1O2 LL=，即 1C12O J)hr (mvJ+= 解得碰撞后角速度 1 2 2 v 2r h2r = 要使圆环爬上台阶的条件是：当重心上升到最高位置时，还有剩余动能。 由动能定理得 mghJ 2 1 J 2 1 2 2O 2 3O = ， 式中3重心上升到最高位置时的角速度 即 0J 2 1 mghJ 2 1 2 3O 2 2O = (1 分) 将2代入整理得圆环爬上台阶的条件 22 1 2 )h2r(vhg4r0，即0mrmgcos
8、 2 2 。(2 分) 将2和 r hr cos =代入整理得圆环不跳起的条件 g)hr (4r)h2r(v 222 1 FL/4 FL/4 H 图（c） 分别作出 F 和单位力引起的弯矩图，可得： 86. 5 33 2 2 1 3 11 = H HHHEI 8 . 3 2 111 2 1 22 =+=+=H L H L EI 38. 3 2 1 2 1 2 2112 = H HHEIEI F FLH FLHHEI F 028. 2 84 1 2 1 2 1 = F FLHFL HFLFL L EI F 74. 1 432 1 4 1 1 4 1 42 1 2 2 = 代入力法方程解得FX16
9、8. 0 1 =，FX308. 0 2 = （6 分） 所以，可以作出结构的弯矩图，可知最大弯矩mN308308. 0 max =FM（1 分） 7 梁的抗弯截面模量 333 mm215528 3232 = DW 最大应力 MPa143 max max FL/4 FL/4 L/2 L/2 图（d） 分别作出 F 和单位力引起的弯矩图如图（d）所示，可得： 32. 4 424223222 1 23 11 =+=+= HLLL H LLLL EI F HFLFLL H FLLLFL EI F 052. 2 8384 5 2412 5 442 1 23 1 = += 故FX F 475. 0/ 11
10、11 = （6 分） 作出结构的弯矩图，可知最大弯矩mN285285. 0 max =FM （1 分） 梁的抗弯截面模量 333 mm215528 3232 = DW 最大应力 MPa132 max max = W M 所以，结构安全。 （2 分） 3.在结构中增加横杆后，图（b）为反对称结构，在对称面上只有反对称内力，故 AB 杆轴力 为零，对图（b）情况无影响。图（a）为对称结构，在对称面上只有对称内力，故 AB 杆轴力不 为零，所以，对图（a）情况有影响。 （6 分） 四、跳板跳水四、跳板跳水(30 分分) 举世瞩目的第 29 届北京奥林匹克运动会上，具有“梦之队”之称的中国跳水队获得了
11、跳水 比赛 8 枚金牌中的 7 枚，囊括了 3m 跳板跳水的 4 枚金牌。Duraflex 的 Maxiflex Model B 跳水 8 板是奥林匹克跳水比赛和国际级跳水比赛唯一指定使用的产品，它的具体尺寸如图所示，其中 横截面尺寸为=b0.5m，=h0.05m，跳板的弹性模量GPa70=E，比重 3 kN/m25=， m2 . 3=a，m6 . 1=l。运动员从跳板上上跃至距地面最高点后落至跳板端点 C，再从跳板上弹 起至空中完成动作后落水。若运动员体重N700=G，最大弹跳高度m6 . 0=H，取 2 m/s8 . 9=g。 1. 根据所学知识，建立相应的力学分析模型。 （3 分） 2.
12、 为保证运动员落水安全，运动员从空中落入水中时，在跳板所在平面处，运动员质心距跳 板 C 端最小距离 s 应大于 0.5m。试求运动员从跳板上跃时所需最小水平速度（假设水平方 向为匀速运动）？ （4 分） 3. 不计跳板质量，将运动员看做刚体时，运动员冲击跳板时，跳板中的最大动应力为多少？ 在上述运动过程中，运动员冲击跳板时的动量损耗是多少？（12 分） 4. 如运动员为弹性体，定性说明在冲击时跳板中的最大动应力增大还是减小？（3 分） 5. 如考虑跳板质量，试计算跳板中的最大动应力。 （8 分） la b h H s A B C 解：1、根据跳板的受力情况，可以将其简化为下图所示外伸梁。 l
13、 b a h H A BC s 2 1 x x （3 分） 2、从跳板最高处降落到 A 点，所需时间为=gHt/20.35s 运动员从 A 点跳起，又降落到同一高度时，所需时间为 2t，所以 9 最小水平速度为 =tsv2/0.714m/s （4 分） 3、将运动员看做刚体时，冲击时的动荷系数为 stC d H K , 2 11 += （3 分） 其中=+= EI lGa EI Ga stC 33 23 , 0.03146m，故= d K7.2565 （3 分） 跳板的最大静弯矩为mN2240= GaMB 最大动应力为= W M K B ddmax 78.02MPa （2 分） 在运动员即将碰
14、到跳板时，其竖直方向动量为gH g G v g G L2 11 = 在运动员刚碰到跳板时，其竖直方向动量为 stC g g G v g G L ,22 2 = 所以碰撞过程的动量损失为sN86.18822 ,21 = stC g g G gH g G LLL（4 分） 4、如运动员为弹性体，在冲击时跳板中的最大动应力将减小。 （3 分） 5、考虑跳板质量时，跳板的挠曲线方程为： AB 段： 3 11 3 11001 666 x EIl Ga x EI Gal x EI F xyy Ay =+=，lx 1 0 BC 段：() () () () 2 22 2 3 2 3 22002 3 666 lxlxa EI lxG lx EI F x EI F xyy ByAy =+=， alxl+ 2 其中0 0 = A yy， EI Gal A 6 0 =， l Ga FAy=， () l alG FBy + = （2 分） C 点的挠度为 () EI alGa yC 3 2 + = 所以挠曲线方程为： AB 段： ()alal xlx yy C + = 2 1 23 1 1 ，lx 1 0 BC 段： () ()()() 32 2 22 2 3 2 2 2 343 2 lalxlalxlax ala y y C + + =，alxl+ 2 冲击过程中任一截面速度为 10
