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1、1 2019 届河北省五个一名校联盟高三下学期第一次诊断考试届河北省五个一名校联盟高三下学期第一次诊断考试 数学（理）试题数学（理）试题 一、单选题一、单选题 1 是虚数单位，是虚数单位， 则则( ) A2 B C4 D 【答案】B 【解析】根据复数的除法运算求出 的代数形式，然后再求出 【详解】 由题意得， 故选 B 【点睛】 本题考查复数的除法运算和复数的模，解题的关键是正确进行复数的运算，属于简单题 2集合集合，则，则 ( ) A B C D 【答案】C 【解析】通过解不等式分别得到集合，然后再求出即可 【详解】 由题意得， ， 故选 C 【点睛】 解答本题的关键是正确得到不等式的解集，
2、需要注意的是在解对数不等式时要注意定义域的限制，这是容易 出现错误的地方，属于基础题 3已知向量已知向量，则，则 与与 的夹角为的夹角为( ) 2 A B C D 【答案】B 【解析】由题意先求出向量 与 的数量积，再根据数量积的定义求出夹角的余弦值，进而得到夹角的大小 【详解】 ， 设 与 的夹角为 ，则， 又， ， 即 与 的夹角为 【点睛】 向量的数量积为求解夹角问题、垂直问题及长度问题提供了工具，在求夹角时首先要求出两向量的数量积， 进而得到夹角的余弦值，容易忽视的问题是忘记夹角的范围，属于基础题 4如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形如图所示的图形是弧三角形
3、，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为的三个顶点为圆心，以边长为 半径画弧得到的封闭图形半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是 ( ) A B C D 【答案】B 【解析】先求出封闭图形和等边三角形的面积，然后根据几何概型求解即可得到结果 【详解】 设等边三角形的边长为 ， 则每个扇形的面积为， 所以封闭图形的面积为， 3 由几何概型概率公式可得所求概率为 故选 C 【点睛】 本题考查面积型的几何概型的求法，解题的关键是得到封闭图形的面积和三角形的面积，求解时注意转化思 想方法的
4、运用，考查理解、转化和计算能力，属于基础题 5已知圆已知圆与抛物线与抛物线交于交于两点，与抛物线的准线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形两点，若四边形是矩形，是矩形， 则则 等于等于 ( ) A B C D 【答案】C 【解析】画出图形，由四边形是矩形可得点的纵坐标相等根据题意求出点的纵坐标后得到关于 方程，解方程可得所求 【详解】 由题意可得，抛物线的准线方程为画出图形如图所示 在中，当时，则有 由得，代入消去 整理得 结合题意可得点的纵坐标相等，故中的 相等， 由两式消去得， 整理得， 4 解得或（舍去） ， 故选 C 【点睛】 解答本题的关键是画出图形并根据图形得到与 x 轴平行
5、，进而得到两点的纵坐标相等另外，将几何问题 转化代数问题求解也是解答本题的另一个关键考查圆锥曲线知识的综合和分析问题解决问题的能力，属于 中档题 6函数函数的图象大致为的图象大致为 ( ) A B C D 【答案】A 【解析】函数的定义域为，令，通过对函数的单调性的讨论，可得函数 的单调性及函数值的符号，进而得到图象的大致形状 【详解】 由且，可得或， 函数的定义域为 令，则 当时，单调递减， ， 5 单调递增，且 当时，单调递增， ， 单调递减，且 综上可得选项 A 中的图象符合题意 故选 A 【点睛】 根据函数的解析式判断函数图象的大体形状时，一般先求出函数的定义域，然后再根据函数的单调性
6、、奇偶 性（对称性） 、周期性、最值或函数值的变化趋势进行分析、排除，有时还需要通过特殊值进行判断排除，此 类问题考查识图能力和分析判断能力 7若若，则下列不等式正确的是，则下列不等式正确的是 ( ) A B C D 【答案】D 【解析】根据题意对给出的每个选项分别进行分析判断后可得正确的结论 【详解】 对于选项 A，由可得，又，所以，故 A 不正确； 对于选项 B，由于，所以等价于，可得，不合题意，故 B 不 正确； 对于选项 C，由于函数在上为减函数，且，所以，故 C 不正确； 对于选项 D，结合对数函数的图象可得当，时，故 D 正确 故选 D 【点睛】 根据条件判断不等式是否成立时，常用
7、的方法有两种：一是根据不等式的性质直接进行判断；二是通过构造 适合题意的函数，利用函数的单调性、图象进行分析判断，解题的关键是根据题意选择适当的方法进行求解， 考查运用知识解决问题的能力和分析判断能力，属于中档题 6 8已知棱长为已知棱长为 1 的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积 为为( ) A B C D 【答案】B 【解析】根据三视图得到几何体的直观图，然后再根据题中的数据求出几何体的表面积即可 【详解】 由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体截去三棱锥和三棱锥后
8、的剩余 部分 其表面为六个腰长为 1 的等腰直角三角形和两个边长为的等边三角形， 所以其表面积为 故选 B 【点睛】 在由三视图还原空间几何体时，一般以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑热悉常见几何体的 三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键求解几何体的表面积或体积时要结合题中的数据及几 何体的形状进行求解，解题时注意分割等方法的运用，转化为规则的几何体的表面积或体积求解 9函数函数的定义域为的定义域为 ，且，且，当，当时，时，；当；当时，时，则，则 ( ) 7 A671 B673 C1343 D1345 【答案】D 【解析】由可得函数是周期为 3 的周期函数，然后再根据周期性
9、求出函数值即可 【详解】 ， ， 函数是周期为 3 的周期函数 又当时，；当时， ， 故选 D 【点睛】 本题考查函数值的求法，解题的关键是根据题意得到函数的周期性，然后将问题转化为求给定区间上的函数 值的问题求解，考查分析判断和计算能力，属于基础题 10如图所示，直三棱柱的高为如图所示，直三棱柱的高为 4，底面边长分别是，底面边长分别是 5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面 距离为距离为 8，则球的体积为，则球的体积为 ( ) A B C D 【答案】A 【解析】设球心为 ，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何
10、 性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体 积 【详解】 如图，设三棱柱为，且，高 8 所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点， 则圆的半径为 设球心为 ，则由球的几何知识得为直角三角形，且， 所以， 即球 的半径为， 所以球 的体积为 故选 A 【点睛】 本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个： （1）构造以球半径 、球心到小圆圆心的距离 和小圆半径 为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的 半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法 （2）若直角三角形的两直角边为，斜边为 ，则该直角三角形内切圆的半径，合
11、理利用中间结论 可提高解题的效率 11函数函数 与函数与函数的图像关于点的图像关于点对称，且对称，且，则，则 的最小值等于的最小值等于 ( ) A1 B2 C3 D4 【答案】D 【解析】由题意得，由函数的图象与函数的图象关于点对称得， 又，则得到，然后根据诱导公式并化简得到，进而可得 9 所求的最小值 【详解】 由题意得， 函数的图象与函数的图象关于点对称， ， 又， ，即， ， 结合与的特征可得 ， 又， 当时， 取得最小值 4 故选 D 【点睛】 本题考查三角函数图象的对称性和三角变换的应用，解题时根据三角函数值相等得到角间的关系，并进而得 到间的关系是关键，考查变换能力和应用知识解决问
12、题的能力，属于中档题 12已知函数已知函数，若关于，若关于 的方程的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数有且仅有两个不同的整数解，则实数 的取的取 值范围是（值范围是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】考虑与 和的关系，去掉绝对值号后可得，然后再通过导数研究函数的图象， 结合图象可得所求结果 10 【详解】 方程等价于 或或， 即或或， 所以 ， ， 当时，单调递减；当时，单调递增 当时，取得最小值，且 画出函数的图象，如下图所示 于是可得，当时，恒成立 由图象可得，要使方程有且仅有两个不同的整数解， 只需，即， 解得， 实数 的取值范围是 故选 A 【点睛】 本题难度较大，综合考查导
13、数的应用及绝对值的问题，解题的关键是将绝对值符号去掉，将方程转化为函数 的问题，然后再结合函数的图象求解，解题时注意数形结合思想方法的灵活运用 二、填空题二、填空题 13若若 x，y 满足满足，则，则的最小值为的最小值为_ 11 【答案】2 【解析】画出不等式组表示的可行域，将变形为，移动直线并结合图形得到最优解， 进而得到所求的最小值 【详解】 画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示 由可得 平移直线，由图形得，当直线经过可行域内的点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 取得最小值 由 解得， 所以点 A 的坐标为 所以 故答案为 2 【点睛】 利用线性规划求最值体现了数形结合
14、思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行 域；二是弄清楚目标函数中 的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求 出最优解后可得所求 14在在的展开式中常数项等于的展开式中常数项等于_ 【答案】9 【解析】先求出二项式展开式的通项，然后根据分类讨论的方法得到常数项 【详解】 12 二项式的展开式的通项为， 中的常数项为 故答案为 9 【点睛】 对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即 “凑” ）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况 15已知双曲线已知双曲线的左右焦点分别为
15、的左右焦点分别为、，点，点 在双曲线上，点在双曲线上，点的坐标为的坐标为，且，且到直线到直线， 的距离相等，则的距离相等，则 _ 【答案】4 【解析】画出图形，根据到直线，的距离相等得到为的平分线，然后根据角平分线的性质 得到，再根据双曲线的定义可求得 【详解】 由题意得，点 A 在双曲线的右支上， 又点的坐标为， 画出图形如图所示，垂足分别为， 由题意得， 为的平分线， 13 ，即 又， 故答案为 4 【点睛】 本题考查双曲线的定义和三角形角平分线的性质，解题的关键是认真分析题意，从平面几何图形的性质得到 线段的比例关系，考查分析和解决问题的能力，属于中档题 16在在中，内角中，内角所对的边分别为所对的边分别为， 是是的中点，若的中点，若 且且， 则则面积的最大值是面积的最大值是_ 【答案】 【解析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由 余弦定理及可得在此基础上可得，再由基本不等式得到， 于是可得三角形面积的最大值 【详解】 如图，设，则, 在和中，分别由余弦定理可得， 两式相加，整理得，
