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1、1 课时作业(三十六) 第 36 讲 基本不等式 时间 / 30 分钟 分值 / 80 分 基础热身 1.已知 a,b(0,+),且 a+b=1,则 ab 的最大值为( ) A. 1 B. C. D. 1 4 1 2 2 2 2.设 x0,y0,且 x+y=3,则 2x+2y的最小值是( ) A. 8 B. 6 C. 3D. 4 22 3.已知 a,bR,且 ab0,则下列结论恒成立的是 ( ) A. a+b2 B. + 2 C. 2 | + | D. a2+b22ab 4. 2018河南平顶山一模 若对于任意的 x0,不等式a 恒成立,则实数 a 的取值范围为 ( ) 2+ 3 + 1 A.
2、,+B.,+ 1 5 1 5 C. -,D. -, 1 5 1 5 5. 2018北京朝阳区二模 已知 x0,y0,且满足 x+y=4,则 lg x+lg y 的最大值为 . 能力提升 6.已知向量a=(1,x2),b=(-2,y2-2),若a,b共线,则 xy 的最大值为 ( ) A.B.1 C.D.2 2 2 22 7. 2018广西南宁二中月考 已知 x0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则 +的最小值是( ) 1 1 3 A.4 B.3 C.2 D.1 2 8.设 a0,b2,且 a+b=3,则 +的最小值是( ) 2 1 2 A. 6 B. 2 2 C. 4D. 3+2 22
3、 9. 2018东北三省四市教研联合体模拟 在首项与公比相等的等比数列an中,am=(m,nN*),则 + 的最小值为( ) 2 2 4 2 1 A.1 B. 3 2 C.2 D. 9 2 图 K36-1 10.几何原本第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很 多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图 K36-1 所示的图形,点 F 在半圆 O 上,点 C 在半 径 OB 上,且 OFAB,设 AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为( ) A. (a0,b0) + 2 B. a2+b22ab(a0,
4、b0) C. (a0,b0) 2 + D. (a0,b0) + 2 2+ 2 2 11.已知 x0,y0,且 2x4y=4,则 xy 的最大值为 . 12.若 ab0,则 a2+的最小值是 . 1 4( ) 13. 2018天津和平区二模 已知 ab0,a+b=3,则+的最小值为 . 2 + 2 2 + 1 14. 2018河北保定一模 已知实数 x,y 满足若 z=3x-2y 取得最小值时的最优解(x,y)满足 ax+by=2(ab0), 2 2 0, + 2 + 2 0, 0, ? 则的最小值为 . + 4 3 难点突破 15.(5 分)某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为 400 平方米
5、的三级污水处理池,如图 K36-2 所示,池外圈造价为每米 200 元,中间两条隔墙造价为每米 250 元,池底造价为每平方米 80 元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖).若使污水池的总造价最低, 则污水池的长和宽分别为( ) 图 K36-2 A. 40 米,10 米 B. 20 米,20 米 C. 30 米, 米 D. 50 米,8 米 40 3 16.(5 分) 2018天津重点中学联考 已知 a,bR,且 a 是 2-b 与-3b 的等差中项,则的最大值为 . 4 2| + | 课时作业(三十六) 1.B 解析 因为 a,b(0,+),所以 1=a+b2,所以 ab ,当且仅当 a=b=
6、时等号成立. 1 4 1 2 2.D 解析 因为 x0,y0,且 x+y=3,所以 2x+2y2=2=2=4,当且仅当 x=y= 时,2x+2y取得最小值 4. 222 + 232 3 2 2 3.C 解析 因为 和 同号,所以=+2,当且仅当|a|=|b|时等号成立. | + | | | | | 4.A 解析 由 x0,得= ,当且仅当 x=1 时等号成立,则 a . 2+ 3 + 1 1 + 1 + 3 1 2 1 + 3 1 5 1 5 5.2lg 2 解析 因为 x+y=4,x0,y0,所以 xy 2=4,当且仅当 x=y=2 时等号成立,因此 lg x+lg y=lg xylg 4=
7、2lg 2. + 2 6.A 解析 依题意得 2x2+y2=2,因此 2=2x2+y22xy,从而-xy,故选 A. 2 2 2 2 2 4 7.A 解析 因为 x0,y0,且 lg 2x+lg 8y=lg 2x+3y=lg 2,所以 x+3y=1,则 +=+=2+2+2=4 当且仅当 1 1 3 + 3 + 3 3 3 3 3 3 =,即 x=3y= 时取等号 .故选 A. 3 3 1 2 8.D 解析 a0,b2,且 a+b=3,a+b-2=1,+=(a+b-2)=2+1+3+2,当且仅当 a=(b-2),即 2 1 2 ( 2 + 1 2) 2( 2) 2 22 b=1+,a=2-时取等
8、号,则 +的最小值是 3+2,故选 D. 22 2 1 2 2 9.A 解析 设等比数列an的公比为 q,由题意可得 a1=q,am=,a1qm-1(a1qn-1)2=(a1q3)2,即 qmq2n=q8,因此 m+2n=8. 2 2 4 + =(m+2n)+ = 2+ +2 (4+4) =1,当且仅当 m=2n=4 时取等号,故选 A. 2 1 2 1 1 8 4 1 8 1 8 10.D 解析 由图可知 OF= AB=,OC=.在 RtOCF 中,由勾股定理可得 CF=.CFOF, 1 2 + 2 2 ( + 2 ) 2 +( 2 ) 2 2+ 2 2 (a0,b0).故选 D. 2+ 2
9、 2 + 2 11. 解析 x0,y0,且 2x4y=4,2x4y=2x+2y=22,x+2y=2,xy= x2y 2= ,当且仅当 x=1,y= 时取等号,xy 的最大 1 2 1 2 1 2 + 2 2 1 2 1 2 值为 . 1 2 12.2 解析 ab0,a2+a2+=a2+ 2=2,当且仅当 a=1,b= 时取等号,故所求最小值为 2. 1 4( ) 1 ( + )2 1 2 2 1 2 1 2 13. 解析 ab0,a+b=3,a+2+b+1=6.则+= (a+2)+(b+1) 3 2 2 + 2 2 + 1 1 6 +=a2+b2+ (a2+b2+2ab)= (a+b)2= ,
10、当且仅当 b(b+1)=a(a+2),即 b= ,a= 时取等号. 2 + 2 2 + 1 1 6 2( + 1) + 2 2( + 2) + 1 1 6 1 6 3 2 5 3 4 3 14.9 解析 作出可行域如图中阴影部分所示, 由图可知,当直线 z=3x-2y 经过点 A(2,2)时,z 取得最小值,此时最优解为(2,2),则 2a+2b=2,即 a+b=1,= + =+(a+b) + 4 1 4 1 4 =5+ +5+2=9,当且仅当 a=2b 时取等号,则的最小值为 9. 4 4 + 4 5 15.C 解析 设总造价为 y 元,污水池的长为 x 米,则宽为 米,总造价 y=200+
11、2250+80400=400 400 (2 + 2 400 ) 400 +32 0004002+32 000=56 000(元),当且仅当 x=,即 x=30 时等号成立,此时污水池的宽为 米. ( + 900 ) 900 900 40 3 16. 解析 a 是 2-b 与-3b 的等差中项,2a=2-b-3b,可得 a+2b=1.当 ab0 时,0,要使 4 9 4 2| + | 4 2| + | 有最大值,则 ab0.不妨设 a0,b0(a0,b0 时情况一样),则= 4 2| + | 4 2| + | 4 2 + 1 ( 1 2+ 1 4)( + 2) 1 5 4+ 2+ 2 1 5 4+ 2 2 2 1 5 4+ 1 ,当且仅当=,即 a=b= 时等号成立,故的最大值为 . 4 9 2 2 1 3 4 2| + | 4 9
