江苏省2017-2018学年高二第二学期期中考试数学（理）试题含答案解析

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1、1 江苏省盐城中学江苏省盐城中学 2017201720182018 学年度第二学期期中考试学年度第二学期期中考试 高二年级数学高二年级数学( (理工方向）试题理工方向）试题 一一、填空题（本大题共填空题（本大题共 1414 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,计计 7070 分）分） 1.已知复数（ 为虚数单位） ，则=_ 【答案】5 【解析】 【分析】 直接利用复数的模的公式求解. 【详解】因为复数，所以. 故答案为：5 【点睛】 （1）本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 复数的 模. 2.某学校高三有 1800 名学生，高二有 1500 名学生，高

2、一有 1200 名学生，现采用分层抽样的方法抽取一个容 量为 150 的样本，则应在高一抽取 人 【答案】40 【解析】 试题分析：由题意得：高一抽取人数为 考点：分层抽样 3.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食 堂用餐的概率为_ 【答案】 【解析】 由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有（种） ，其中他们在同一个食 堂用餐的情况有 2 种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为. 点睛：此题主要考查有关计数原理、古典概型概率的计算等有关方面的知识和运算技能，属于中低档题型， 也是高频考点.在计算古典概型中任意一随机事件发

3、的概率时，关键是要找出该试验的基本事件总数和导致事 件发的基本事件数，在不同情况下基本事件数的计算可能涉及排列、组合数的计算和使用分类计数、分步计 数原理. 4.抛物线的准线方程是 . 2 【答案】 【解析】 试题分析：由抛物线方程可知，所以准线方程为 考点：抛物线性质 5.若，则 m=_. 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用组合数的性质得到 x+3x-6=18 或 x=3x-6,解之即得 x 的值. 【详解】因为，所以 x+3x-6=18 或 x=3x-6，所以 x=3 或 6. 故答案为：3 或 6 【点睛】 （1）本题主要考查组合数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)如果

4、. 6.根据如图所示的伪代码，可知输出的 的值为 . 【答案】 【解析】 试题分析：当时，执行循环：；当时，执行循环：；当 时，终止循环，输出 考点：伪代码 7.在正四面体 OABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则 _(用表示) 【答案】 【解析】 因为在四面体中，为的中点， 为的中点， ，故答案为. 8.若曲线与曲线在处的两条切线互相垂直，则实数 的值为_ 3 【答案】 【解析】 分析：分别求出两个函数的导函数，求得两函数在 x=1 处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于1，由此 求得 a 的值 详解：由 y=ax3x2+2x，得 y=3ax22x+2， y|x=1=3a

5、， 由 y=ex，得 y=ex， y|x=1=e 曲线 C1：y=ax3x2+2x 与曲线 C2：y=ex在 x=1 处的切线互相垂直， 3ae=1，解得：a= 故答案为： 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其 求法为：设是曲线上的一点，则以 的切点的切线方程为：若曲线 在点的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 9.已知命题，命题 ，若命题是真命题，则实 数 a 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 试题分析：是真命题，则为真命题，为真命题，命题为真命题，则， 命题 为真命题，则，所以 考点：1、命题的真假性；2、一元二

6、次不等式恒成立 【方法点睛】本题主要考察存在性问题，一元二次不等式恒成立问题，存在性问题等价于或 ，对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）， （2） ，一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式 10.已知，则_ 【答案】 4 【解析】 【分析】 先求导，再求和. 【详解】由题得， 所以 . 故答案为： 【点睛】 （1）本题主要考查导数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)解答本题的 关键是求，在求导时，知道它是一个常数就可以了. 11.若，则的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先化简=， 再分别求和的值即得解. 【详解】由题得=， 令 x=1,则 ， 令

7、x=-1,则 ， 所以= 故答案为：16 【点睛】 （1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平 和分析推理计算能力.(2)与二项式定理展开式系数有关的问题，一般利用赋值法解答. 12.有 个座位连成一排，现有 4 人就坐，则恰有 个空座位相邻的不同坐法有_种.（用数字作答） 【答案】480 【解析】 【分析】 根据题意，分 2 步进行分析：，将 4 人全排列，安排在 4 个座位上，排好后，有 5 个空档可用，将 3 个空座位分成 1、2 的两组，将其安排在 5 个空档之中，由分步计数原理计算可得答案 【详解】根据题意，分 2 步进行分析： ，将

8、4 人全排列，安排在 4 个座位上，有=24 种情况， 5 排好后，有 5 个空档可用， ，将 3 个空座位分成 1、2 的两组，将其安排在 5 个空档之中，有种情况， 则恰有 2 个空座位相邻的不同坐法有 2420=480 种； 故答案为：480 【点睛】(1)本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组 合常用的方法：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍 法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法. 13.已知 是椭圆与双曲线的一个公共焦点,分别是在第二、四象限的公共点.若 则的离心率为_ 【

9、答案】 【解析】 【分析】 设左焦点为 F，右焦点为 F，再设|AF|=x，|AF|=y，利用椭圆的定义，四边形 AFBF为矩形，可求出 x，y 的 值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率 【详解】如图，设左焦点为 F，右焦点为 F， 再设|AF|=x，|AF|=y， 点 A 为椭圆 C1：上的点，2a=6，b=1，c=2， |AF|+|AF|=2a=6，即 x+y=6， 又四边形 AFBF为矩形， |AF|2+|AF|2=|FF|2， 即 x2+y2=（2c）2=32， 联立得，解得 x=3，y=3+， 设双曲线 C2的实轴长为 2a，焦距为 2c， 则 2a=|AF|AF|=y

10、x=2，2c=4， C2的离心率是 e= 故答案为： 6 【点睛】 （1）本题主要考查椭圆双曲线的几何性质，考查离心率的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平 和数形结合分析推理计算能力.(2) 圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.公式法就是先根据 已知条件求出 和 ,或者的关系，再代入离心率的公式化简求解.方程法就是把已知的等式化简可以得 到一个关于 和 的方程,再把该方程化为关于离心率 的一次或二次方程，直接计算出离心率. 14.若函数是 上的单调减函数，已知，,且 在定义域内恒成立，则实数 的取值范围为_. 【答案】或 【解析】 【分析】 先由函数单调递减得到 m 的值，将

11、函数 g（x）初步简化，然后针对函数 h（x）中的参数 n 分类讨论，目的是 为了将不等式简化，以便于能利用导数工具求解 【详解】由函数 f（x）=4x3mx2+（3m）x+1 是 R 上的单调减函数， 则可知 f（x）=12x22mx+3m0 在 R 上恒成立， =4m24（12）（3m）=4（m6）20，故 m=6， 则函数 g（x）=lnx2nx，由题可知在定义域（0，+）内恒成立， 当 n0 时，函数恒成立，故原不等式可转化为 g（x）=lnx2nx0 恒成立， ， 令 g（x）=0，解得， 则在上，g（x）0，g（x）单调递增， 在上，g（x）0，g（x）单调递减， 则， 则 ln2

12、n1=lne1，即 7 满足前提 n0，故 当 n0 时，令，解得， 则当时，g（x）h（x）0 恒成立 可转化为 g（x）=lnx2nx0 恒成立， ，则 g（x）在（0，+）上单调递增， 故在上也单调递增， 则，解得 ne2； 当时，g（x）h（x）0 恒成立 可转化为 g（x）=lnx2nx0 恒成立， 由上可知，g（x）在上单调递增， 故，解得 ne2，即e2n0； 要使得两种情形下都能恒成立，则取其交集得到，n=e2， 综上所述，可得要使得 g（x）h（x）0 在定义域内恒成立， 则实数 n 的取值范围为 故答案为：或 【点睛】这个题目大多都能求出来 m=6，但接下来的思路不太好思索

13、，我们容易想到求g（x）h（x）max0， 但是打开整理后会发现这个思路很难完成；因此想到看能不能利用两个因式函数的值恒为正或者恒为负，将 原不等式作以简化，故想到针对相对比较简单的后一个函数中的参数 n 分类讨论求解 二、解答题（本大题共解答题（本大题共 6 6 小题，计小题，计 9090 分分. . 请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 ） 15.在如图所示的坐标系中，长方体，已知，直线与平面所成的角 为，垂直于点 ， 是的中点 8 （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角

14、的正弦值. 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）直接利用向量法求异面直线与所成角的余弦值.(2)利用向量法求直线与平面所成角的正弦 值. 【详解】在长方体中，以所在的直线为 轴，以所在的直线为 轴，以所在的直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系 由已知，可得，又平面， 从而与平面所成的角为，而， ，因此易得， （1）因为，所以 于是，异面直线与所成角的余弦值为 （2）易知直线的一个方向向量为，设是平面的一个法向量， 由 取，得，所以， 9 即直线与平面所成角的正弦值 【点睛】 （1）本题主要考查异面直线所成的角的求法，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些 知识的掌握

15、水平和空间想象转化计算能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义 法）证（定义）指求（解三角形） ，其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三 角形.方法二：（向量法），其中是直线 的方向向量， 是平面的法向量， 是直线和平面所 成的角. 16.随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享 受美味，这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量 （单位：千盒）与销售价格 （单位：元/盒）满足关系式其中, 为常数，已知销售价格为 14 元/盒时,每 月可售出 21 千盒. （1）求 的值； （2）假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒 12 元（只考虑销售出的便当 盒数） ，试确定销售价格的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大.（结果保留一位小数） 【答案】 （1）10；（2）当销售价格为元/盒时，商家每日销售所获得的利润最大 【解析】 【分析】 (1)时，,代入关系式得， 解得. (2) 先求出每日销售外卖便当所获得的利润，再利用导数求它的最大值. 【详解】 （1）因为时，,代入关系式，得， 解得. （2）由（1）可知，外卖便当每日的销售量， 所以每日销售外卖便当所获得的利润 从而.