《高考数学命题热点名师解密专题：集合的解题技巧（理）含答案解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学命题热点名师解密专题：集合的解题技巧（理）含答案解析（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 专题专题 01 集合的解题技巧集合的解题技巧 一、集合的解题技巧及注意事项一、集合的解题技巧及注意事项 1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；元素与集合，集合与集合关系混淆问题； 2.造成集合中元素重复问题；造成集合中元素重复问题； 3.隐含条件问题；隐含条件问题； 4.代表元变化问题；代表元变化问题； 5.分类讨论问题；分类讨论问题； 6子集中忽视空集问题；子集中忽视空集问题； 7.新定义问题；新定义问题； 8.任意、存在问题中的最值问题；任意、存在问题中的最值问题； 9.集合的运算问题；集合的运算问题； 10.集合的综合问题。集合的综合问题。 二知识点二知识点 【学习目标】 1了解集
2、合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描 述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性； 2理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义； 3理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集 的含义，会求给定子集的补集； 4能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算 【知识要点】 1集合的含义与表示集合的含义与表示 (1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集 (2
3、)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法 (4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“”或或“”来表示来表示 (5)常用的数集：自然数集常用的数集：自然数集 N；正整数集；正整数集 N*(或或 N )；整数集 ；整数集 Z；有理数集；有理数集 Q；实数集；实数集 R. 2集合之间的关系集合之间的关系 (1)一般地，对于两个集合一般地，对于两个集合 A，B.如果集合如果集合 A
4、 的任何一个元素都是集合的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说这两个集合有包含的元素，我们就说这两个集合有包含 关系，称集合关系，称集合 A 为集合为集合 B 的子集，记作的子集，记作；若；若 A B，且，且 AB，则，则，我们就说，我们就说 A 是是 B 的真子的真子ABAB 2 集集 (2)不含任何元素的集合叫做空集，记作不含任何元素的集合叫做空集，记作，它是任何集合的子集，即，它是任何集合的子集，即A 3集合的基本运算集合的基本运算 (1)并集：并集：ABx|xA 或或 xB； (2)交集：交集：ABx|xA 且且 xB； (3)补集：补集： UA 4集合的运算性质集合的运算性质
5、(1)ABAA B，AAA，A ； (2)ABAA B，AAA，A A； (3)A B，B C，则，则 A C； (4) U(AB) UA UB， U(AB) UA UB，A UA ，A UAU， U( UA)A； (5)A B，B A，则，则 AB. 三典例分析及变式训练三典例分析及变式训练 （一）元素与集合，集合与集合关系 例 1. 已知,则0,1M A.MNB.NMC.NMD.MN 【答案】A 【解析】， 0,1M MN 练习 1【广西百色市高三年级 2019 届摸底调研考试】已知集合， ，则（ ） A B C D 【答案】A 【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A，求出 B 中不等
6、式的解集确定出 B，求出两集合的交集即可 【解析】由 A 中 y=log2（x+1） ，得到 x+10，即 x-1，A=（-1，+） ， 由 B 中不等式变形得：（x3） （x+2）0 且 x 解得：2x3，又，则 AB=， 故选：A 3 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 练习 2 【湖南省长郡中学 2019 届高三第三次调研】已知集合，集合， 全集为 UR，则为 A B C D 【答案】D 【分析】化简集合 A，B，然后求出 A 的补集，最后求交集即可得到结果. 【详解】， 又 故选：D 【点评】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；
7、在进行集合的运算时要尽 可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用 数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍 （二）集合中元素重复陷阱 例 2. 【华南师范大学附中 2018-2019 测试题】 设整数,集合.令集合， 且三条件恰有一个成立,若和都在 中,则下列选项正确的是( ) A B C D 【答案】B 【分析】采用特殊值排除法，取 x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项. 【解析】取 x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在 S 中， 此时（y，z，w）=（3，4，1）S， （x，y
8、，w）=（2，3，1）S， 故 A、C、D 错误, 故选 B 【点评】本题考查了元素与集合的关系，集合中元素具有确定性，互异性和无序性. 练习 1. 是实数，集合 ，若，求., a bA=a,1 b a AB 20152016 ab 【答案】 1 4 【点评】：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性. 练习 2. 【上海市 2018-2019 期中考试】如图， 为全集，、 、 是 的三个子集，则阴影部分所表示的集合 是（ ） A B C D 【答案】C 【分析】先根据图中的阴影部分是 MP 的子集，但不属于集合 S，属于集合 S 的补集，然后用关系式表示出 来即可
9、 【解析】图中的阴影部分是： MP 的子集， 不属于集合 S，属于集合 S 的补集 即是 CIS 的子集则阴影部分所表示的集合是（MP）IS 故选：C 【点评】本题主要考查了 Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题 （三）隐含条件陷阱 例 3. 集合，则集合与集合之间的关系（ ）AB A. B. C. D. ABBABAAB 【答案】A 【解析】设，则，说明集合 A 的元素一定是集合 B 的元aA 素，则，选 A.AB 练习 1 已知集合，则（ ）AB 5 A. B. C. D. 1,0 0,11,0,11,2 【答案】A 【解析】，则 ，选 B. （2）由题意得函数
10、在区间上单调递减， ， ， ， ，解得，实数 的取值范围是 【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问 题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系 的含义 练习 1.设集合， 若，求实数 a 的取值范围； 若，求实数 a 的取值范围 【答案】 （1）（2） 【分析】 （1）由题意得，根据可得，从而可解出 的取值范围；（2） 先求出，根据可得到，解出 的取值范围即可 【解析】由题意得， ； （1）， ，解得， 又，实数 的取值范围为 （2）由题意得， ， 6 ，解得实数 的取值范围为 【点评】
11、本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算根据 集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立 （六）子集中忽视空集问题 例 6【云南省 2018-2019 学年 期中考试 】已知集合，若，则 的 取值集合是（ ） A B C D 【答案】C 【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合 ， 化简，然后再根据分类讨论 【解析】集合 若，即时，满足条件； 若，则. 或或 综上，或或. 故选 C. 【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合 时没有注意时的特殊 情况 练习 1.已知集合， （1）若
12、，求; （2）若，求实数 的取值范围 【答案】(1) (2) 或 7 【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点 （七）新定义问题 例 7 【清华附属中 2018-2019 学年试题】集合 A，B 的并集 AB1，2 ，当且仅当 AB 时， （A，B）与 （B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有_. 【答案】8 【分析】根据条件列举，即得结果. 【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A= ，B1，2 ；A=1 ，B2 ；A=1 ，B1，2 ； A=2 ，B1 ；A=2 ，B1，2 ；A=1，2 ，B ；A=1，2 ，B1 ；A=1
13、，2 ， B2 ；共 8 个. 【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力. 练习 1 【华东师范大学附中 2019 届高三数学试卷】已知集合 M=，集合 M 的所有非空子集依 次记为：M1，M2，.,M15，设 m1，m2，.，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只 有一个元素，乘积即为该元素本身，则 m1+m2+.+m15=_ 【答案】 【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就 是所有子集的乘积。 【解析】集合的所有非空子集的乘积之和为函数展开式中所有项数之和 令， 8 故答案为 【点评】本题主要考查的是元素与集合关系的判定，函数展开式的系
14、数问题，构造函数求解，注意转化思想 的应用，属于难题。 练习 2.对于集合 M，定义函数 fM(x)对于两个集合 A，B，定义集合 ABx|fA(x)fB(x) 1已知 A2,4,6,8,10，B1,2,4,8,12，则用列举法写出集合 AB 的结果为( ) A 1,6,10,12 B 2,4,8 C 2,8,10,12 D 12,46 【答案】A 【分析】根据 fA(x)fB(x)1，必有 xx|xA 且 xBx|xB 且 xA，即可求解. 【解析】要使 fA(x)fB(x)1，必有 xx|xA 且 xBx|xB 且 xA1,6,10,12，所以 A B1,6,10,12 【点评】本题主要考
15、查了集合的元素、集合的并集，集合描述法的理解，属于中档题. （八）任意、存在问题中的最值问题. 例 8.【辽宁省实验中学 2018-2019 学年试题】已知函数的定义域为 ，函数 的值域为 ， （1）求集合 、 ，并求； （2）若 ，且，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）A，B，（2） 【分析】利用被开方数非负性，求出 ，利用指数函数的单调性求出 ，再求 、 的交集即可 若，且，即可得到，解出即可求得答案 【点评】本题主要考查了集合运算，结合题意得到关于实数 的不等式，然后求解，较为基础。 练习 1.已知集合，. 9 （1）求； （2）若，求实数 m 的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）求出不等式的解后可得 （2
