《高考数学命题热点名师解密专题：复数的解题策略（理）含答案解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学命题热点名师解密专题：复数的解题策略（理）含答案解析（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 专题专题 3131 复数的解题策略复数的解题策略 一一 【学习目标学习目标】 1理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用 2了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算 3了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用 二知识点与方法总结 1复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部，若 b0，则 abi 为虚数，若 a=0，则 abi 为纯虚数，i 为虚数单位 (2)复数相等：复数 abicdia =c ,b=d (a，b，c，dR) (3)共轭复数：abi 与 cdi 共轭a
2、=c ,b=-d (a，b，c，dR) (4)复数的模 向量的模 r 叫做复数 zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi| OZ 2复数的四则运算 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 (1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； (2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； (3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i； (4)除法： z1 z2 abi cdi （abi）（cdi） （cdi）（cdi） i(cdi0) （acbd）（bcad）i c2d2 acbd c2d2 bcad c2d2 3
3、两条性质 (1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30(其中 nN*)； (2)(1i)22i，i，i. 1i 1i 1i 1i 4.方法规律总结 （1）.设 zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法. （2）.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数. （3）.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的 结合，取得事半功倍的效果. 三典例分析三典例分析 （一）复数的概念（一）复数的概念 例例 1若复数若复数（ 为虚数单位）在复平面内对应的点在虚轴上，则实数为虚数单位）在复平
4、面内对应的点在虚轴上，则实数（ ） 2 A B2 C D 【答案答案】D 【解析解析】 复数在复平面内对应的点在虚轴上，则， 故选 练习练习 1若复数若复数 z（36i） （1+9i） ，则（，则（ ） A复数复数 z 的实部为的实部为 21 B复数复数 z 的的虚部为虚部为 33 C复数复数 z 的共轭复数为的共轭复数为 5721i D在复平面内，复数在复平面内，复数 z 所对应的点位于第二象限所对应的点位于第二象限 【答案答案】C 练习练习 2若复数若复数（ 为虚数单位）为虚数单位） ，则复数，则复数 在坐标平面内对应点的坐标为（在坐标平面内对应点的坐标为（ ） A B C D 【答案答案
5、】B 【解析解析】z，则复数z在复平面内对应点的坐标是：（1，-1） 故选：B （二）复数的几何意义（二）复数的几何意义 例例 2已知复数已知复数在复平面内对应的点分别为在复平面内对应的点分别为，则，则（ ） A B C D 【答案答案】D 【解析解析】复数 在复平面内对应的点分别为（1，1） ， （0，1） ， 1+i，i故选：D 练习练习 1复数复数在复平面上对应的点位于在复平面上对应的点位于 3 A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【答案答案】A 【解析解析】因为 所以复数 z 在复平面所对应的点是（1,3） 练习练习 2设复数设复数 满足满足
6、，其中，其中 为虚数单位，则复数为虚数单位，则复数 对应的点位于（对应的点位于（ ） A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【答案答案】D 【解析解析】由（1+i）2z2+i，得 2iz2+i， ， 复数 z 对应的点的坐标为（ ，1） ，位于第四象限 故选：D 练习练习 3已知已知，且，且，则实数，则实数 的值为（的值为（ ） A0 0 B1 1 C D 【答案答案】C 【解析解析】， 3,得，则， a=，故选：C ，建立等式, 建立等式，得到，解得，故错误。故选 B。 练习练习 4复数复数（ 是虚数单位）的共轭复数是虚数单位）的共轭复数 表示的点在
7、（表示的点在（ ） A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【答案答案】B 【解析解析】因为,所以 表示的点在第二象限，故 选 B 练习练习 5复数复数 z z1 1=1-2i,|z=1-2i,|z2 2|=3,|=3,则则|z|z2 2-z-z1 1| |的最大值是的最大值是_ 【答案答案】 【解解析析】因为，所以其对应点的坐标为， 设对应点的坐标为，由得，即 所以可看出，点与圆上任意一点的距离，所以其最大值为 4 . 故答案为 （六）复数综合（六）复数综合 例例 6欧拉公式欧拉公式（ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩为
8、虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩 大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（表示的复数在复平面中位于（ ） A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 【答案答案】B 【解析解析】因为，所以对应点，在第二象限，选 B. 练习练习 1给出下面类比推理命题给出下面类比推理命题( (其中其中 Q Q 为有理数集，为有理数集，R R 为实数集，为实数集，C C 为复数集为复数集) )： “若若a a，b bRR，则，则a ab b0
9、0a ab b”类比推出类比推出“若若a a，c cCC，a ac c0 0a ac c” ； “若若a a，b b，c c，d dRR，则复数，则复数a ab bi ic cd di ia ac c，b bd d”类比推出类比推出“若若a a，b b，c c，d dQQ，则，则 a ab bc cd da ac c，b bd d” ； “若若a a，b bRR，则，则a ab b0 0a ab b”类比推出类比推出“若若a a，b bCC，则，则a ab b0 0a ab b” “若若x xRR，则，则| |x x|1|111x x1”1”类比推出类比推出“若若z zCC，则，则| |z z
10、|1|111z z1”1” 其中类比结论正确的个数是其中类比结论正确的个数是 （）（） A0 0 B1 1 C2 2 D3 3 【答案答案】C 【解析解析】在复数集 中，若两个复数满足，则它们的实部和虚部均相等，则 ， 相等故正确； 在有理数集 中，由得，则，易得：且则正确； 在复数范围内，不能推出，比如，显然有成立，但 ， 不能 比较大小，故错误； “若，则”类比推出“若，表示复数模小于 1，不能，比如 故错误， 综上：正确. 故选：C. 练习练习 2在复平面内，复数在复平面内，复数所对应的点位于第四象限，则所对应的点位于第四象限，则 n 的最小值为的最小值为 A1 B2 C3 D4 5 【
11、答案答案】C 【解析解析】当时，其对应的点位于第一象限； 当时，其对应的点位于坐标原点； 当时，其对应的点位于第四象限，满足条件； 所以 的最小值为 3，故选 C. 练习练习 3当实数当实数为为何值时，复数何值时，复数分别是分别是 （1）虚数；（）虚数；（2）纯虚数；（）纯虚数；（3）实数）实数. 【答案答案】 （1）m-2 且 m -3; （2）m=3； （3）m=-2 或 m=-3. 【解析解析】复数是： （1）虚数：得到 0，解得 m-2 且 m -3; （2）纯虚数： 得到 0 并且0 解得 m=3 （3）实数：=0 解得 m=-2 或 m=-3 故答案为：m-2 且 m -3; m=
12、3； m=-2 或 m=-3. 练习练习 4设设. (1)求证：求证：120； (2)计算：计算：(12)(12) 【答案答案】 （1）证明见解析。 （2）4. 【解析解析】(1)证明： i， 2( i)2 2( )(i)(i)2 i i， 121 i i0. (2)由 120 知，(1)(12)0， 310， 31. (12)(12)(22)(2)434. （七）复数根问题（七）复数根问题 例例 1已知复数已知复数 zabi(a，bR)是方程是方程 z234i 的一个根，则的一个根，则 z 等于等于( ) A12i B12i C12i 或或12i D2i 或或2i 【答案答案】C 6 【解析
13、解析】由题意得， ， ，解得或， z12i 或 z12i. 故选 C. 练习练习 1已知复数已知复数. . （1 1）求复数）求复数 的模；的模； （2 2）若复数）若复数 是方程是方程的一个根，求实数的一个根，求实数， 的值的值. . 【答案答案】 （1）；（2）4，10 练习练习 2已知已知 1i 是实系数方程是实系数方程 x2axb0 的一个根的一个根 (1)求求 a，b 的值；的值； (2)试判断试判断 1i 是否是方程的根是否是方程的根 【答案答案】 （1）a，b 的值分别为2，2；（2）1i 是方程的一个根 【解析解析】(1)1i 是方程 x2axb0 的根， (1i)2a(1i)b0，即(ab)(a2)i0， a，b 的值分别为2，2. (2)由(1)知，实系数方程为 x22x20，把 1i 代入方程， 左边(1i)22(1i)22i22i20，显然方程成立， 1i 也是方程的一个根 练习练习 3对于对于 n 个复数个复数 z1，z2，zn，如果存在，如果存在 n 个不全为零的实数个不全为零的实数 k1，k2，kn，使得，使得 7 k1z1k2z2knzn0，就称，就称 z1，z2，zn线性相关若要说明复数线性相关若要说明复数 z112i，z21i，z32 线性线性 相关，则可取相关，则可取k1，k2，k3_
