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1、3.3 球谐函数球谐函数 一、球谐函数的推导一、球谐函数的推导 由球函数方程及其自然边界条件 ()() () () ()( )() () += =+ + 有限 ）单值（即 , 2, 0,1 , sin 1, sin sin 1 2 2 2 Y Y Yll YY （1） 1、实数形式的球谐函数： ()()()()lmlmDmCPY mm m l m l , 2 , 1 , 0;, 2 , 1 , 0,sincoscos,LL=+= （2） 2、复数形式的球谐函数： 本征函数( )mBmA mmm sincos+=，本征值lmL2 , 1 , 0= 由欧拉公式 i ee m ee m imimim
2、im 2 sin 2 cos = + = ( ) ()() L2, 1, 0 2 1 2 1 22 = += + + = meC eiBAeiBA i ee B ee A im m im mm im mm imim m imim mm 即 ( )lmeC im mm =,2, 1, 0L （3） 所以，复数形式的球谐函数可写为： ()()()LL, 2, 1, 0;, 2 , 1 , 0,cos,=mlePY imm l m l （4） 另外，由于()cos m l P的模 () ()12 2 ! ! + + = lml ml N m l ， im e的模为2 归一化的球函数写为： ()()
3、()() () ( )()lmlexP ml mll Y imm l m lm = + =, 2, 1, 0;, 2 , 1 , 0, !4 !12 1,LL （5） 其中，()m1是归一化常数的相角，l称为球谐函数的阶。 l球谐函数() ()lmYlm=, 2, 1, 0,L共有12 +l个不同函数，相互独立，均满足球函数 方程，这种情况，称为12 +l度简并。 这样定义的球谐函数(),Y的模为 1，即 ()() = 0 2 0 1sin,ddYY lmlm （6） 二、球谐函数的正交性二、球谐函数的正交性 由于() = = 2 0 , 0 ,2 mm mm dee miim ()()( )
4、( ) () () = + + = 1 1 0 , 0 , 12 2 ! ! sincoscos ll ll lml ml dxxPxPdPP m l m l m l m l 对于归一化的球谐函数(), lm Y具有如下的正交形式： ()() = = 0 2 0 , 0 , 1 sin, mmll mmll ddYY mllm （7） 三、球谐函数的广义傅里叶级数三、球谐函数的广义傅里叶级数 对于20 ,0上的单值有限函数(),f，可以以(), lm Y为基展开二重广 义傅里叶级数 ()() = = = l lm lmlm l YCf, 0 （8） 系数 ()() = 2 00 sin,ddY
5、fC lmlm （9） 四、四、2 , 1 , 0=l时球谐函数的表达式：时球谐函数的表达式： ()() ()() () ( ) imm l m lm exP ml mll Y !4 !12 1, + + = ()() ()()() ()() = = = ii i eYeY YeY YY 22 2212 2 2011 1000 sin 32 15 ,cossin 8 15 , 1cos3 16 5 ,sin 8 3 , cos 4 3 , 4 1 , m m 例题：将()1cossin3, 22 =f在20 ,0上展开 以(), lm Y为基的广义傅里叶级数 () () () ()()() ,
6、 5 2, 5 6 , 5 6 1cos3 2 1 sin 8 15 15 32 4 3 sin 8 15 15 32 4 3 1sin 2 3 sin 4 3 sin 4 3 12sin 4 3 1 2 sin31cossin3, 202, 222 22222 22222 222 2 222 YYY ee ee ee ee f ii ii ii ii += + = += += + = P269 12.16 （3） ()xzxyzx r 432 1 22 2 +展开以(), lm Y为基的广义傅立叶级数 = = = cos sinsin cossin rz ry rx () () ii iii
7、i ii iiii iiiiii ee e i e i ee ee e i e i ee ee i eeee xzxyzx r + += + += + + + + = += + cossin2cossin2 sin 4 3 sin 4 3 11cos3 2 1 sin 4 1 sin 4 1 cossin2cossin2 sin 4 3 sin 4 3 cos2sin 2 1 sin 4 1 sin 4 1 2 cossin4 2 sin 2 3 cos2 2 sin coscossin4cossinsin3cos2cossin 432 1 222222222 2222222222 22 22
8、 2 2 2222 22 2 ()() ()()() ()() = = = ii i eYeY YeY YY 22 2212 2 2011 1000 sin 32 15 ,cossin 8 15 , 1cos3 16 5 ,sin 8 3 , cos 4 3 , 4 1 , m mQ 代入上式 ()() 122122222000 122122 2222222000 122122 2200202222 15 2 4 15 2 431 15 2 31 15 2 5 22 15 2 4 15 2 4 15 2 3 15 2 3 15 2 15 2 5 22 15 8 2 15 8 2 15 32 4 3 15 32 4 3 4 5 16 2 1 15 32 4 1 15 32 4 1 += + += + += YYYiYiYY YYYi YiYYYY YYY i Y i YYYY 原式
