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1、1 河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十一河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十一 20192019 年年 2 2 月月 1212 日日 1、选择题 1在空间中，下列命题正确的是( ) A平行直线在同一平面内的射影平行或重合 B垂直于同一平面的两条直线平行 C垂直于同一平面的两个平面平行 D平行于同一直线的两个平面平行 2已知直线 m，n 是异面直线，则过直线 n 且与直线 m 垂直的平面( ) A有且只有一个 B至多有一个 C有一个或无数多个 D不存在 3.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D 为 A1B1的中点，ABBCBB12，AC2，则 5 异面直线 BD 与 AC 所成的角为
2、( ) A30 B45 C60 D90 4.如图,长方体 ABCD A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G 分别是 DD1,AB,CC1的中点,则 异面直线 A1E 与 GF 所成角为( ) (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 5PA，PB，PC 是从 P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 60，那么直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 ( ) A. B. C. D. 1 2 2 2 3 3 6 3 6如图,已知六棱锥 P ABCDEF 的底面是正六边形,PA平面 ABC,PA=2AB,则下列结论正确 的是( ) (A)PBAD (B)平面 PAB
3、平面 PBC (C)直线 BC平面 PAE (D)直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45 7如图，等腰直角三角形 ABC 中，BAC90，BC，DAAC，DAAB.若 DA1， 2 且 E 为 DA 的中点，则异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 2 2 5 2 10 5 10 10 8在正三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AB1，D 在棱 BB1上，且 BD1，设 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则 sin ( ) A. B. C. D. 3 2 2 2 10 4 6 4 二、填空题 9如图，AB 是O 的直径，C 是圆周上不同于 A，B
4、 的点，PA 垂直于O 所在的平面， AEPB 于 E，AFPC 于 F，因此，_平面 PBC.(填图中的一条直线) 10在正三棱锥 SABC 中，侧棱 SC 垂直侧面 SAB，且 SC2，则此三棱锥的外接球的 3 表面积为_ 三、解答题 11如图所示，边长为 2 的等边PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面， 2 BC2，M 为 BC 的中点 2 (1)求证：AMPM；(2)求二面角 PAMD 的大小 12. 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F 分别为 A1C1和 BC 的中点 (1)求证：EF平面 AA1B1B； (2)若 AA13，AB2，求直线 EF 与平面 ABC
5、 所成的角 3 13在矩形 ABCD 中，AB2，AD1，E 为 CD 的中点，沿 AE 将DAE 折起到D1AE 的位置，使平面 D1AE 平面 ABCE. (1)若 F 为线段 D1A 的中点，求证：EF平面 D1BC； (2)求证：BED1A. 3 河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十一答案河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十一答案 1.解析 A 中的射影也有可能是两个点，错误；C 中两个平面也可能相交，错误；D 中的两个平面也有可能 相交，错误所以只有 B 正确 2.解析：当异面直线互相垂直时满足条件的平面有 1 个，当异面直线互相不垂直时满足 条件的平面有 0 个故选 B. 3.
6、解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则ACA1C1DE，则BDE即为异面直 线BD与AC所成的角由条件可知BDDEEB，所以BDE60，故选 C. 5 4.解析:连接 EG,B1G,B1F,则 A1EB1G,故B1GF 为异面直线 A1E 与 GF 所成的角.由 AA1=AB=2,AD=1 可得 B1G=,GF=,B1F=,所以 B1F2=B1G2+GF2,所以B1GF=90,即异面直线 A1E 与 GF 所成 的角为 90.故选 D. 5.答案 C 构造正方体如图所示，连接AB，过点C作CO平面PAB，垂足为O，易知O是正三角形ABP的中 心，连接PO并延长交AB于D，于是CPO
7、为直线PC与平面PAB所成的角设PCa，则 PD，故POPDa，故 cosCPO.故选 C. 3a 2 2 3 3 3 PO PC 3 3 6.解析:A,B,C 显然错误.因为 PA平面 ABC,所以ADP 是直线 PD 与平面 ABC 所成的角.因 为 ABCDEF 是正六边形,所以 AD=2AB. 因为 tanADP=1,所以直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45.故选 D. 7.D 取AC的中点F，连接BF，EF.在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，EFCD，BEF即为所求异 面直线BE与CD所成的角(或其补角) 在 RtEAB中，AB1，AEAD ，BE. 1 2 1 2
8、5 2 在 RtAEF中，AFAC ，AE ，EF. 1 2 1 2 1 2 2 2 在 RtABF中，AB1，AF ，BF. 1 2 5 2 在等腰三角形EBF中，cosBEF，异面直线BE与CD所成角的余弦值为. 1 2EF BE 2 4 5 2 10 10 10 10 8.解析：如图，分别取AC，A1C1的中点E，E，连接EE，BE，B1E，在平面BEEB1中作DFEE，垂 足为F，连接AF.易知平面BEEB1平面ACC1A1，所以DF平面ACC1A1. 所以DAF是AD与平面AA1C1C所成的角. 由DFBE，AD.所以 sin .答案：D 3 22 DF AD 3 2 2 6 4 9
9、. AF连接AC，AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，BCAC，PA垂直于O所在的 平面，BCPA，又PAACA，BC平面PAC，AF平面PAC，AFBC，又 AFPC，BCPCC，AF平面PBC. 10.解析：由题意，可知三条侧棱SA，SB，SC两两垂直又三条侧棱相等，故可以三条侧棱为相邻三边作出 一个正方体，其棱长均为 2，其外接球的直径就是此正方体的体对角线，所以 2R2，即球的半径 333 R3，所以球的表面积S4R236. 11 解析：(1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA. PCD为正三角形，PECD，PEPDsinPDE2sin 60. 3 平面PCD
10、平面ABCD，PE平面ABCD， 而A M平面ABCD，PEAM.四边形ABCD是矩形， ADE，ECM，ABM均为直角三角形 由勾股定理可求得EM，AM，AE3，EM2AM2AE2.AMEM. 36 又PEEME，AM平面PEM，AMPM. (2)由(1)可知EMAM，PMAM，PME是二面角PAMD的平面角 4 tanPME1，PME45.二面角PAMD的大小为 45. PE EM 3 3 12.解 (1)证明：如图所示，取A1B1的中点D，连接DE，BD， E是A1C1的中点，D是A1B1的中点，DE綊B1C1. 1 2 又BC綊B1C1，BFBC，DEBF.四边形BDEF为平行四边形B
11、DEF，又BD平 1 2 面 AA1B1B，EF平面AA1B1B，EF平面AA1B1B. (2)如图所示，取AC的中点H，连接HF，EH， EHAA1，AA1平面ABC， EH平面ABC，EFH就是EF与平面ABC所成的角，在ABC中，H，F分别为 AC，BC的中点，HFAB. 1 23 在直角三角形EHF中，FH，EHAA13，tanEFH， 33 EFH60.故EF与平面ABC所成的角为 60. 13.证明 (1)取AB的中点G，连接EG，FG，则EGBC，FGD1B，且EGFGG，EG，FG平面 EFG；D1BBCB，D1B，BC平面D1BC.平面EFG平面D1BC，又EF平面EFG，EF平面D1BC. (2)易证BEEA，平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE，BE平面D1AE，且D1A平面 D1AE，BED1A.
