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1、1 河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十三河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十三 20192019 年年 2 2 月月 1414 日日 1、选择题 1对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得( ) Aa，b Ba，b Ca，b Da，b 2如图所示，点S在平面ABC外，SBAC，SBAC2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是( ) A1 B C. D 2 2 2 1 2 3.如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是 ( ) AA， M，O三点共线 BA，M，O，A1不共面 CA，M，C，O不共面 DB
2、，B1，O，M共面 4已知直线l平面，直线m平面，有以下四个命题： lm；lm；lm；lm. 其中正确的两个命题是( ) A B C D 5.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12,底面对角线的长为 2,则侧面与底面所 成的二面角为( ) A 30 B 45 C 60 D90 6已知互相垂直的平面、交于直线l.若直线m、n满足m，n，则( ) Aml Bmn Cnl Dmn 7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线 AC与MN所成的角为( ) A30 B45 (C)60(D)90 8已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，
3、且ABCD，ADBC，则直线BD与AC( ) A垂直 B平行 C相交 D位置关系不确定 二、填空题 9.如图,点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1的面对角线 BC1上运动,则下列四个命题: 三棱锥 A D1PC 的体积不变;A1P平面 ACD1; DPBC1;平面 PDB1平面 ACD1. 其中正确的命题的序号是 . 10已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为 9，则球O的表面积为_. 三、解答题 11.如图,在四棱锥 P ABCD 中,PA平面 ABCD,底面 ABCD 为直角梯形,ABAD,
4、ABCD,CD=AD=2AB=2AP. (1)求证:平面 PCD平面 PAD; (2)在侧棱 PC 上是否存在点 E,使得 BE平面 PAD,若存在,确定点 E 位置;若不存在,说明理由. 2 12如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，底面边长 为a，E是PC的中点 (1)求证：PA面BDE； (2)求证：面PAC面BDE； (3)若二面角EBDC为 30，求四棱锥PABCD的体积 13如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点. CD CD (1)证明：平面AMD平面BMC； (2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由 河
5、北安平中学高一年级数学学科寒假作业十三答案河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十三答案 1.解析：已知两条不相交的空间直线a和b，可以在直线a上任取一点A，使得Ab.过 A作直线cb，则过a，c必存在平面且使得a，b.答案：B 2.解析：取SA的中点H，连接EH、FH(图略)因为SBAC，则EHFH， 在EFH中，应用勾股定理得EF.答案：B 2 3.解析：连接A1C1，AC，则A1C1AC，所以A，C，C1，A1四点共面，所以A1C面 ACC1A1.因为MA1C，所以M面ACC1A1， 又M面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在面ACC1A1与面 AB1D1
6、的交线上，所以A，M，O三点共线，故选 A. 4.解析：若，l，则l，又m，所以lm，故正确；若，l，m，则l 与m可能异面，所以不正确；若lm，l，则m，又m，则，所 以正确；若l，lm，m，则与可能相交，故不正确综上可知， 选 D. 5.解析:如图,在正四棱锥 S ABCD 中,SO底面 ABCD,E 是 BC 边中点,则SEO 即为侧面 与底面所成的二面角的平面角.由题易得 SO=3,OE=,tanSEO=,所以SEO=60,故选 C. 6.解析 选项 A，只有当m或m时，ml；选项 B，只有当m时， mn；选项 C，由于l，nl；选项 D，只有当m或m时，mn，故选 C 3 7.解析
7、如图，连接A1C1、BC1、A1BM、N分别为棱BC和棱CC1的中点MNBC1又 A1C1ACA1C1B为异面直线AC与MN所成的角 A1BC1为正三角形A1C1B60.故选 C 8.解析 过点A作AO平面BCD，垂足为O，连结BO ABCD，由三垂线定理可得BOCD同理DOBC，O为ABC的垂心所以 COBD，BDAO，COAOO，BD平面ADC，所以BDAC故选 A 9 解析:如图,对于,容易证明 AD1BC1,从而 BC1平面 AD1C,故 BC1上任意一点到 平面 AD1C 的距离均相等,所以以 P 为顶点,平面 AD1C 为底面的三棱锥的体积不变,即 三 棱 锥 A D1PC 的体积
8、不变,正确;对于,连接 A1B,A1C1,容易证明 A1C1AC,由知,AD1BC1,所以平面 BA1C1平 面 ACD1,从而由线面平行的定义可得,正确;对于由于 DC平面 BCC1B1,所以 DCBC1,若 DPBC1,则BC1 平面 DCP,BC1PC,则 P 为中点,与 P 为动点矛盾,错误;对于,连接 DB1,由 DB1AC 且 DB1AD1,可得 DB1 平面 ACD1,从而由面面垂直的判定知正确.答案: 10解析 如图，连接OA，OB 由SAAC，SBBC，SC为球O的直径，知OASC，OBSC 由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OASC，知OA平面SCB 设球O
9、的半径为r，则OAOBr，SC2r 三棱锥SABC的体积V (SCOB)OA 1 3 1 2 r3 3 即9，r3，S球表4r236 r3 3 11(1)证明:因为 PA平面 ABCD,所以 PACD. 又因为 ABAD,ABCD,所以 CDAD. 由可得 CD平面 PAD.又 CD平面 PCD,所以平面 PCD平面 PAD. (2)解:当点 E 是 PC 的中点时,BE平面 PAD. 证明如下:设 PD 的中点为 F,连接 EF,AF,易得 EF 是PCD 的中位线,所以 EFCD,EF= CD.由题设可得 ABCD,AB= CD,所以 EFAB,EF=AB, 所以四边形 ABEF 为平行四
10、边形,所以 BEAF. 又 BE平面 PAD,AF平面 PAD,所以 BE平面 PAD. 12 解 (1)证明：连接OE，如图所示O，E分别为AC，PC的中点，OEPA.OE面BDE，PA面 BDE，PA面BDE. (2)证明：PO面ABCD，POBD. 在正方形ABCD中，BDAC，又POACO，BD面PAC.又BD面BDE，面PAC面BDE. (3)如图所示，取OC中点F，连接EF.E为PC中点， EF为POC的中位线，EFPO. 4 又PO面ABCD，EF面ABCD，EFBD. OFBD，OFEFF，BD面EFO，OEBD. EOF为二面角EBDC的平面角，EOF30. 在 RtOEF中
11、，OFOCACa，EFOFtan30a，OP2EFa. 1 2 1 4 2 4 6 12 6 6 VPABCD a2aa3. 1 3 6 6 6 18 13解析 (1)由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD 因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM CD 又BCCMC，所以DM平面BMC 而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC (2)当P为AM的中点时，MC平面PBD 证明如下：连结AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点 连结OP，因为P为AM 中点，所以MCOP MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD
