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1、- 1 - 浙江省杭州地区（含周边）重点中学浙江省杭州地区（含周边）重点中学 2018-2019 学年高一上学期期末考试学年高一上学期期末考试 数学试题数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题，共小题，共 40.040.0 分）分） 1.已知集合2，3，那么 A. B. C. 2， D. 2，3， 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用交集的定义进行运算即可 【详解】2，3，； 故选：B 【点睛】本题考查交集的定义及运算，考查了列举法表示集合的方法，属于基础题. 2.已知角 的终边经过点，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据角 的终边经过
2、点，可得，再根据计算求得结果 【详解】已知角 的终边经过点， ，则 ， 故选：B 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 3.在中，点D为边AB的中点，则向量 A. B. C. D. 【答案】A - 2 - 【解析】 【分析】 根据向量加法的平行四边形法则即可得出，从而得出 【详解】如图， 点D为边AB的中点； ； 故选：A 【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，中线向量的表示，向量的数乘运算，属于基础题 4.设，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 【详解】， ， ， ， ，b，c的大小关
3、系为 故选：B 【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 5.下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是 - 3 - A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的性质对选项依次进行判断即可 【详解】，则函数是奇函数，和在上都是增函数，是 增函数，满足条件 B.在上不单调，不满足条件 C.是增函数，但不是奇函数，不满足条件 D.是奇函数，在上不是单调函数，不满足条件 故选：A 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性 6.若函数局部图象如图所示，则函数
4、的解析式为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由的部分图象可求得A，T，从而可得 ，再由，结合 的范围可求得 ，从而可得 答案 【详解】， ； 又由图象可得：，可得：， - 4 - ， ， ， 又， 当时，可得：，此时，可得： 故选：D 【点睛】本题考查由的部分图象确定函数解析式，常用五点法求得 的值，属于中档题 7.已知函数为奇函数，为偶函数，且，则 A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性的性质，建立方程组进行求解即可 【详解】函数为奇函数，为偶函数，且， ， ， 即 由得， 则， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用
5、函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键 8.已知函数，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二倍角公式及两角和正弦公式，结合正弦函数的性质即可求出 - 5 - 【详解】， = ， 当时，有最大值，最大值为， 故选：C 【点睛】本题考查了函数的最值问题，考查了三角函数的化简和计算，属于中档题 9.已知向量满足，则的最小值是 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 由平面向量的坐标运算得： 所对应的点B在直线的左边区域 含边界 或在直线的右边区域 含边界 ，由向量模的几何意义得：的结合意义为 与 所对应的点A与B的距离，作图观
6、察可得解 【详解】不妨设如图所示的直角坐标系， ， ， 因为， 所以或， 即 所对应的点B在直线的左边区域 含边界 或在直线的右边区域 含边界 ， - 6 - 又的结合意义为 与 所对应的点A与B的距离， 由图知：当 B 位于时，最短，且为 1， 故的最小值是 1， 故选：D 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算及向量模的几何意义，属中档题 10.若函数在区间和上均为增函数，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，写成函数的解析式，当时，当时，结合二次函 数的性质分析可得a的取值范围，综合可得答案 【详解】根据题意，函数， 当时，若在区间上为增函
7、数，则有，解得； 当时，若在区间上为增函数，则有，解得； 综合可得：，即a的取值范围为； 故选：D 【点睛】本题考查分段函数的单调性，涉及二次函数的性质，考查了分类讨论的思想，属于基础题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 7 小题，共小题，共 28.028.0 分）分） 11.计算：_ 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用诱导公式化简求值即可 【详解】由 故答案为： - 7 - 【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角三角函数值，属于基础题 12.九章算术是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算 法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形
8、田，下周长（弧长）为 20 米，径长（两段半径的和） 为 24 米，则该扇形田的面积为_平方米 【答案】120 【解析】 扇形的半径为，故面积为（平方米） ，填 13.求值：_ 【答案】1 【解析】 【分析】 进行分数指数幂和对数的运算即可 【详解】原式 故答案为：1 【点睛】本题考查分数指数幂的运算，对数的运算及对数的换底公式，属于基础题 14.已知幂函数满足，则_ 【答案】2 【解析】 【分析】 由幂函数满足，能求出的值 【详解】幂函数满足， 故答案为：2 【点睛】本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 15.已知平面向量，向量夹角为，则_ 【答案】2
9、 【解析】 【分析】 - 8 - 由平面向量的数量积及其运算得：，即，即，得解 【详解】由， 所以， 又， 所以， 所以， 故答案为：2 【点睛】本题考查了平面向量的数量积及其运算，属于简单题 16.已知，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角和的正弦公式 的值 【详解】已知，还是锐角， 则， 故答案为： 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于基础题 17.已知函数的最小值为与t无关的常数，则t的范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 先利用换元法，将函数转化为当，的最小值为与t无关的常数，对t进行分类讨论，根
10、 据函数的单调性即可求出t的范围 - 9 - 【详解】， 设，则， 函数转化为的最小值为与t无关的常数， 当时，函数在单调递增，无最小值， 当时，时，函数在单调递减， 当时， ， 令，解得， 若，即时， 当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， ， 要使函数的最小值为与t无关的常数， ，即 解得， 若，即时，在单调递增， ， 综上所述：t的范围是 【点睛】本题考查了含绝对值函数的单调性与最值，关键是分类去绝对值符号，考查分类讨论的数学思想， 属于难题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 52.052.0 分）分） 18.已知函数； 求的值； 求函数的周期及单调
11、递增区间； 【答案】 （1）3；（2） - 10 - 【解析】 【分析】 利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为，由此求得的值； 代入周期公式即可求出函数的最小正周期，利用正弦函数的单调性解关于x的不等式，即可得到的单 调递增区间 【详解】， ， ； 函数的周期， 由， 可得 函数的周期，单调递增区间为 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查三角函数的周期性以及单调性的求法，属于中档 题 19.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，向量 若C是AB所在直线上一点，且，求C的坐标 若，当，求 的值 【答案】 （1）；（2）或 1 【解析】 【分析】 由向量共线的坐标运算得：设，可得，又
12、因为，即. 由题意结合向量加减法与数量积的运算化简得，所以 ，运算可得解. 【详解】， 因为C是AB所在直线上一点， - 11 - 设，可得， 又因为， 所以， 解得， 所以， 故答案为： 且， 显然，所以， 又 所以，即， 所以， 所以 即， 解得：或， 故答案为：或 1 【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及平面向量数量积的运算，属于中档题 20.已知函数 求函数的定义域及其值域 若函数有两个零点，求m的取值范围 【答案】 （1）；（2）. 【解析】 【分析】 由偶次根式被开方数非负，以及指数函数的单调性和值域，可得所求； 由零点的定义和换元法，以及二次函数的图象和性质，可得m的不等式组，
13、解不等式可得所求范围 【详解】由题意可知，函数的定义域为， - 12 - ，函数的值域为； ， 令， 可得， 所以原函数转化为，记， 要使函数有两个零点， 即方程在上有两个根， 所以，解得， 所以当时，函数有两个零点 【点睛】本题考查函数的定义域和值域，以及函数零点的求法，考查换元法和指数函数的单调性、二次函数 的图象和性质，考查运算能力，属于中档题 21.已知函数 当时，求函数在上的最大值与最小值 当时，记，若对任意，总有，求a的取值范围 【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 根据二次函数的性质即可求出函数的最值， 问题转化为只需当时，分类讨论，根据函数的单调性即可求出 【详解】当时， ， 当时， 当时， - 13 - 由题意可知： 要使得对任意，总有 只需当时， 当时，在上单调递增 即：，所以， 所以，不合题意 当时 当即时，在上单调递增，解得 即时，在上单调递增，上单调递减 可得， 解得 即时，在上单调递减，所以， 即得 综上 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的转化，注意运用函数的单调性，考查了函数最值的求法，同时考查 分类讨论的思想方法，属于中档题 - 14 -
