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1、大题精做8 立体几何:动点与设未知量2019遵义航天中学如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,为正三角形,且侧面底面,为线段的中点,在线段上(1)当是线段的中点时,求证:平面;(2)是否存在点,使二面角的大小为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由【答案】(1)见解析;(2)存在【解析】(1)证明:连接交于点,连接,四边形是菱形,点为的中点,又为的中点,又平面,平面,平面(2)是菱形,是的中点,又平面,以为原点,分别以,为,轴,建立空间直角坐标系,则,假设棱上存在点,设点坐标为,则,设平面的法向量为,则,解得令,则,得平面,平面的法向量,二面角的大小为,即,解得,或(舍去)在棱上存在点,当
2、时,二面角的大小为12019跃华中学如图所示,正四棱椎中,底面的边长为2,侧棱长为(1)若点为上的点,且平面,试确定点的位置;(2)在(1)的条件下,点为线段上的一点且,若平面和平面所成的锐二面角的余弦值为,求实数的值22019湖北联考如图,在四棱锥中,且,(1)证明:平面;(2)在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为?如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由32019西城44中如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,侧面底面,分别为,的中点,点在线段上(1)求证:平面;(2)若为的中点,求证:平面;(3)如果直线与平面所成的角和直线与平面所在的角相等,求的值1【答案】(1)为中点;(2)【解
3、析】(1)设交于点,连结,平面,平面平面,又为的中点,在中,为中点(2)连结,由题意得平面,且,以为原点,、所成直线为,轴,建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量,则,令,得平面的一个法向量,设平面的法向量,由,得,令,得,平面和平面所成的锐二面角的余弦值为,解得2【答案】(1)见证明;(2)见解析【解析】(1)在底面中,且,又,平面,平面,平面,又平面,又,平面,平面,平面(2)方法一:在线段上取点,使,则,又由(1)得平面,平面,又平面,作于,又,平面,平面,平面,又平面,又,是二面角的一个平面角,设,则,这样,二面角的大小为,即,即,满足要求的点存在,且方法二:取的中点,则、三条直线两两
4、垂直可以分别以直线、为、轴建立空间直角坐标系,且由(1)知是平面的一个法向量,设,则,设是平面的一个法向量,则,令,则,它背向二面角,又平面的法向量,它指向二面角,这样,二面角的大小为,即,即,满足要求的点存在,且3【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)【解析】(1)证明:在平行四边形中,分别为,的中点,侧面底面,且,底面,又,平面,平面,平面(2)证明:为的中点,为的中点,又平面,平面,平面,同理,得平面,又,平面,平面,平面平面,又平面,平面(3)解:底面,两两垂直,故以,分别为轴,轴和轴建立如图空间直角坐标系,则,设,则,易得平面的法向量,设平面的法向量为,则,即,令,得,直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等,即,解得或(舍去),故9