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1、练习（第二章）参考答案：一.判断题(每小题2分)1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( )2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( )3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( )4.T1、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.( )5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ ）6.从（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是连续的。（ ）7从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 8设是集合的两个拓扑，则不一定是集合的拓扑( )9.从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射（ ）10.设为离散拓扑空间的任意子集，则 （ ）11.设
2、为平庸空间（多于一点）的一个单点集，则 （ ）12.设为平庸空间的任何一个多于两点的子集，则 （ ）二填空题：(每空格3分)1、X=Z+,T=Z1,Z2,Zn,其中Zn=n,n+1,n+2,则包含3的所有开集为 包含3的所有闭集为 包含3的所有邻域为 设A=1,2,3,4,5 则A的导集为1,2,3,4 ，A的闭包为1,2,3,4,52、设X为度量空间,xX,则d（x）=3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_ R _.4、当且仅当对于的每一邻域有 ;答案： 5、设是有限补空间中的一个无限子集，则= ; = ;答案：；6、设是可数补空间中的一个不可数子集，则= ; = ;答案：；7、设,的拓扑
3、,则的子集 的内部为 ;答案：2三、单项选择题（每题2分）1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓扑. 答案：2、已知，拓扑,则=（ ） 答案：3、已知，拓扑,则=（ ） 答案：4、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） 1 2 3 4 答案：5、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为（ ） 0 1 2 3 答案：6、在实数空间中，有理数集的内部是（ ） Q R -Q R 答案：7、在实数空间中，有理数集的边界是（ ） Q R -Q R 答案：8、在实数空间中，整数集的内部是（ ） R-Z R 答案：9、在实数空间中，整数集的边界是（ ） R-Z R 答案：10、在实数空间中，区间的边界是
4、（ ） 答案：11、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中错误的是（ ） 答案: 12、已知是一个离散拓扑空间，A是的子集,则下列结论中正确的是（ ） 答案：13、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集,则下列结论中不正确的是（ ） 若,则 若,则 若A=,则 若, 则 答案：14、设，令,则由产生的上的拓扑是（ ） ,c,d,c,d,a,b,c ,c,d,c,d ,c,a,b,c ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：15、离散空间的任一子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：16、平庸空间的任一非空真子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：17、实数空间中的
5、任一单点集是 ( ) 开集 闭集 既开又闭 非开非闭 答案：18、实数空间R的子集A =1, ,则（ ） R A0 A 答案：19、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ） 整数集 有理数集 无理数集 答案：20、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ） 整数集Z 有理数集 无理数集 整数集Z的补集 答案： 21、已知上的拓扑,则点1的邻域个数是（） 1 2 3 4 答案：22、已知,则上的所有可能的拓扑有（） 1个 2个 3个 4个 答案： 23、在实数下限拓扑空间中，区间是（ ） 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案：24、设是一个拓扑空间，,且满足,则是（ ） 开集 闭集 既是开
6、集又是闭集 非开非闭 答案：四.证明题(52分):1. 设X有拓扑也是拓扑.证:所以也是拓扑.2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的.证:设度量空间X中序列有：若 则B(x,(x , y)/3)B(y, (x , y)/3)=.对于B(x , (x , y)/3),存在0,当i 时有 B(x , (x , y)/3)对于B(y , (x , y)/3),存在0,当i 时有 B(y , (x , y)/3)取N=max,则当i N时有 B(x , (x , y)/3)B(y , (x , y)/3)与B(x , (x , y)/3)B(y , (x , y)/3)=. 矛盾3.设X是一个拓扑空间,B是一个基, xX,则Bx=BB | xB是点x处的一个邻域基.见P.82 定理2.6.74.在欧氏平面R2中令Y=(0,y)|yR(x,0)|xR,证明:Y与实数空间R不同胚.(提示:用反证法)证:设Y与实数空间R同胚.则仍有Y-0,0与R-0同胚.但Y-0,0有四个连通分支,而R-0却只有两个连通分支.而连通性是拓扑不变的,得到矛盾.所以Y与实数空间R不同胚.
