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1、图形折叠 1 【例 1】 如图,在一张矩形纸片 ABCD 中,AB=4,BC=8,点 E,F 分别在 AD,BC 上,将纸片 ABCD 沿直 线 EF 折叠,点 C 落在 AD 上的一点 H 处,点 D 落在点 G 处,下列结论:四边形 CFHE 是菱 形; EC 平分DCH; 线段 BF 的取值范围为 3BF4; 当点 H 与点 A 重合时, EF=2 其 中结论正确的个数是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【例 2】 已知如图,长方形 ABCD,AB=8,BC=6,若将长方形顶点 A、C 重合折叠起来,则折痕 PQ 长 为_ 【例 3】 如图,ABCD 是一张矩形纸片,AD=
2、BC=1,AB=CD=5,在矩形 ABCD 的边 AB 上取一点 M,在 CD 上取一点 N,将纸片沿 MN 折叠,使 MB 与 DN 交于点 K,得到MNK。 图形折叠 2 (1)若1=70,求MKN 的度数; (2)MNK 的面积能否小于?若能,求出此时1 的度数;若不能,试说明理由; (3)如何折叠能够使MNK 的面积最大?请你用备用图探究可能出现的情况,求最大值。 【例 4】 将一矩形纸片 OABC 放在平面直角坐标系中,O(0,0),A(6,0),C(0,3),动点 Q 从点 O 出发以每秒 1 个单位长的速度沿 OC 向终点 C 运动,运动秒时,动点 P 从点 A 出发 以相等的速
3、度沿 AO 向终点 O 运动,当其中一点到达终点时,另一点也停止运动设点 P 的 运动时间为 t(秒)。 (1)用含 t 的代数式表示 OP=_,OQ_; (2)当 t=1 时,如图 1,将沿OPQ 沿 PQ 翻折,点 O 恰好落在 CB 边上的点 D 处,求点 D 的坐标; (3)连接 AC,将OPQ 沿 PQ 翻折,得到EPQ,如图 2,问:PQ 与 AC 能否平行?PE 与 AC 能否垂直?若能,求出相应的 t 值;若不能,说明理由。 图形折叠 3 【例 5】 将正方形 ABCD 折叠,使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合,折痕交 AD 于 E,交 BC 于 F,边 AB 折叠后与
4、BC 边交于点 G(如图) (1)如果 M 为 CD 边的中点,求证:DE:DM:EM=3:4:5; (2)如果 M 为 CD 边上的任意一点,设 AB=2a,问CMG 的周长是否有与点 M 的位置关系? 若有关,请把CMG 的周长用含 CM 的长 x 的代数式表示;若无关,请说明理由 【练习 1】 将正方形 ABCD 折叠,使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合,折痕交 AD 于 E,交 BC 于 F, 边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G(如图)如果 DM:MC=3:2,则 DE:DM:EM=( ) A、7:24:25 B、3:4:5 C、5:12:13 D、8:15:17 【练习 2
5、】 如图,将正方形 ABCD 折叠,使点 C 与点 D 重合于正方形内点 P 处,折痕分别为 AF、BE,如果正方形 ABCD 的边长是 2,那么EPF 的面积是 图形折叠 4 【练习】已知等边ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,BC 上,把BDE 沿直线 DE 翻折,使点 B 落在点 B处, DB, EB分别交边 AC 于点 F, G, 若ADF=80, 则EGC 的度数为_ 【练习】 如图, 已知四边形 ABCD 是矩形, 把矩形沿直线 AC 折叠,点 B 落在点 E 处, 连接 DE 若 DE: AC=3:5,则的值为_ 【练习】 如图,已知矩形 ABCD,把矩形沿直线 AC 折叠,
6、点 B 落在点 E 处,连接 DE、BE, 若ABE 是等边三角形,则DCE 和ABE 面积之比为_ 【练习】 如图,把矩形 OABC 放入坐标系,矩形纸片沿 AC 折叠,若 B(1,2), 点 D 坐标_ 图形折叠 5 【练习】如图,折叠矩形纸片 ABCD,使点 B 落在边 AD 上,折痕 EF 的两端分别在 AB、BC 上(含端点) ,且 AB=6cm,BC=10cm则折痕 EF 的最大值是 cm 【练习】 如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=3,BC=5,点 E、F 分别在线段 AB、BC 上,将BEF 沿 EF 折 叠,点 B 落在 B处如图,当 B在 AD 上时,B在 AD 上可移
7、动的最大距离为_;如 图,当 B在矩形 ABCD 内部时,AB的最小值为_ 【练习】 如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm点 E、F 分别在 AB、CD 上,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠, 使点A、 D分别落在矩形ABCD外部的点A1、 D1处, 则整个阴影部分图形的周长为_ 【练习】 如图,已知在矩形 ABCD 中,点 E 在边 BC 上,BE=2CE,将矩形沿着过点 E 的直线翻折后,点 C、D 分别落在边 BC 下方的点 C、D处,且点 C、D、B 在同一条直线上,折痕与边 AD 交于点 F, DF 与 BE 交于点 G 设 AB=t, 那么EFG 的周长为(用含
8、 t 的代数式表示) 图形折叠 6 【练习】查看 折叠问题: (1)如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=8,将纸片折叠,使顶点 B 落在边 AD 的 E 点上,折痕的 一端 G 点在边 BC 上,BG=10 当折痕的另一端点 F 在 AB 边上时,如图,求EFG 的面积; 当折痕的另一端点 F 在 AD 边上时,如图,证明四边形 BGEF 为菱形,并求出折痕 GF 的 长 (2)在矩形纸片 ABCD 中, AB=5,AD=13 如图所示,折叠纸片,使点 A 落在 BC 边上的 A 处,折痕为 PQ当点 A在 BC 边上移动时,折痕的端点 P,Q 也随之移动若限定点 P,Q 分别在 AB,AD
9、边上移动,求点 A在 BC 边上可移动的最大距离答案和解析 【练习】 如图 1,一张矩形纸片 ABCD,其中 AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线 BD 折叠,点 C 落在点 C 的位置,BC交 AD 于点 G。 (1)求证:AG=CG; (2)如图 2,再折叠一次,使点 D 与点 A 重合,的折痕 EN,EN 角 AD 于 M,求 EM 的长。 图形折叠 7 【练习】 (1)操作发现: 如图,矩形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE,且点 G 在矩形 ABCD 内部将 BG 延长交 DC 于点 F,认为 GF=DF,你同意吗?说明理由 (2)问题解决:
10、 保持(1)中的条件不变,若 DC=2DF,求 AD DB 的值; (3)类比探求: 保持(1)中条件不变,若 DC=nDF,求 AD DB 的值 【练习】 如图,将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠(点 E、F 分别在边 AB、CD 上),使点 B 落在 AD 边上的点 M 处,点 C 落在点 N 处,MN 与 CD 交于点 P, 连接 EP 如图,若 M 为 AD 边的中点,AEM 的周长=_ _cm;求证:EP=AE+DP; 随着落点 M 在 AD 边上取遍所有的位置(点 M 不与 A、 D 重合), PDM 的周长是否发生变化? 请说明理由 图形折叠 8 【练习】
11、课程学习:正方形折纸中的数学 动手操作:如图 1,四边形 ABCD 是一张正方形纸片,先将正方形 ABCD 对折,使 BC 与 AD 重 合, 折痕为 EF, 把这个正方形展平, 然后沿直线 CG 折叠, 使 B 点落在 EF 上, 对应点为 B 数学思考: (1)求CBF 的度数; (2)如图 2,在图 1 的基础上,连接 AB,试判断B AE 与GCB的大小关系,并说明理由; 解决问题: (3)如图 3,按以下步骤进行操作: 第一步:先将正方形 ABCD 对折,使 BC 与 AD 重合,折痕为 EF,把这个正方形展平,然后继 续对折,使 AB 与 DC 重合,折痕为 MN,再把这个正方形展平,设 EF 和 MN 相交于点 O; 第二步:沿直线 CG 折叠,使 B 点落在 EF 上,对应点为 B,再沿直线 AH 折叠,使 D 点落 在 EF 上,对应点为 D; 第三步:设 CG、AH 分别与 MN 相交于点 P、Q,连接 BP、PD、DQ、QB,试判断四边 形 BPDQ 的形状,并证明你的结论